1、1.1.11.1.1空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算第一章第一章2021内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.了解空间向量的概念.(数学抽象)2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(逻辑推理)3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.(数学运算)4.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.(数学抽象)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路面上有一辆装满了食物的车子,于是就想把车子从路面上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也不动.原
2、来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道为什么车会一动不动吗?知识点拨 一、空间向量的定义及相关概念1.定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.2.空间向量及其模的表示方法空间向量用字母a,b,c,表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 ,其模记为|a|或 .3.空间向量的相关概念 名称概念记法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量-a相等向量方向相同且模相等的向量要点笔记1.空间向量只有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或
3、相等向量,即向量可以在空间中平移.2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0a.微思考涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用?提示 适用.微练习(多选题)下列说法正确的是()A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量B.零向量没有方向C.若a是单位向量,则|a|=1D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确.答案 CD二、空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法 类似平面向量,定义空
4、间向量的加法、减法运算(如图).空间向量的数乘 运算律交换律:a+b=b+a;结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,(a)=()a;分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+b.(其中,R)微思考空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别?提示 没有区别.微练习已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,答案 A三、共线向量与共面向量1.共线(平行)向量共面向量定义如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在
5、实数,使a=b如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 共线(平行)向量共面向量推论 如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ,如图所示.2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得 =a.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量
6、表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.名师点析 共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因为零向量0=0a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若ab,bc,则ac不一定成立.因为当b=0时,a0,0c,但a与c不一定共线.(2)空间三点共线的充要条件微练习1满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是()答案 C微练习2对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量解析 因为2a-b=2a+(-1)b,所以2a-b与a,b共面.答案
7、 A微判断(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.()(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()(3)若ab,则存在唯一的实数,使a=b.()答案(1)(2)(3)课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一空间向量及相关概念的理解空间向量及相关概念的理解解析 错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;答案 反思感悟 空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;(3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,
8、但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.变式训练1下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若|a|b|,|b|c|,则ac解析 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.答案 B探究二探究二空间向量的线性运算空间向量的线性运算思路分析根据数乘向量及三角形法则、平行四边形法则求解.反思感悟 空间向量线性运算的技巧
9、和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.(2)化简空间向量的常用思路分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选
10、择途径).探究三探究三空间共线向量定理及其应用空间共线向量定理及其应用反思感悟 利用空间向量共线定理可解决的主要问题(1)判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b0)是否共线,即判断是否存在实数,使a=b.(2)求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若ab,则a=b(R)”.(3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:变式训练3如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断 否共线.探究四探究四空间共面向量定理及其应用空间共面向量定理及其应用反思感悟 证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示:设法证明其中一个
11、向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有变式训练4已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:素养形成素养形成一题多变一题多变空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算典例在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简【规范答题】(2)因为六边形ABCDEF是正六边形,所以BCEF,BC=EF,又因为E1F1EF,E1F1=EF,所以BCE1F1,BC=E1F1,所以四边形BCE1F1是平行四边形,方法总结 在进行减法运算时,可将减去一个向
12、量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.当堂检测当堂检测1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.答案 B2.在平行六面体ABCD-ABCD中,与向量 相等的向量共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C答案 B 4.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM MC=2 1,N为PD中点,求满足本本 课课 结结 束束
