1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共 11页） 绝密启用前试卷类型：（A） 2020 年深圳市普通高中高三年级线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1. B2.A3. D4. B5. D6. C 7. B8. B9. C10. B11. B12. B 二、填空题： 13. 7 9 14. 4 3 15.416. 4 1 5 ，. 12.【解析】设 ( )( )F xx f x ，则( )F x ( )( )(1) x xfxf xx e， 因此， (0,1)x ，( )0F x ， ( )F x递增；(1,)x，( )0F x ，
2、( )F x递减 因为当0x 时， (0)0F ，且有 (2)0F 所以由 ( )( )F xx f x 图象可知，当 (0,2)x 时， ( )( )0F xxf x ，此时 ( )0f x 16.解析：为使 211 3FFAFPA恒成立，只需 21 3FF max1) (AFPA ， 由椭圆的定义可得，aAFAF2 21 ， 所以aPFaAFPAAFPA22 221 ， 当且仅当AFP, 2 三点共线时取等号( 2 F 在线段PA上)， 又点P的轨迹是以O为圆心， 半径为a2的圆， 所以圆上点P到圆内点 2 F的最大距离为 半径与 2 OF的和，即caPF 2 2 ， 所以aPFAFPA2
3、 21 caaca422， 所以cac 46，ac45 ， 5 4 a c e， 又1e，所以C的离心率的取值范围为 1 5 4， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 2 页（共 11页） 三 、 解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 2 1 题 为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 (一 ) 必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a， 1 4a ， 1 (1)4(1) nn nanan ()n N. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1
4、 1 n nn b aa ，求数列 n b前n项和为 n T 解：解：（1）由 1 (1)4(1) nn nanan ()n N可得， 21 28aa，1 分 32 3212aa， 43 4316aa， ， 1 (1)4 nn nanan ，(2)n 2 分 累加得 1 8 12+4 n naan，3 分 所以 (4+4 ) =4+8 12+4 = 2 n n n nan， 4 分 得=22(2) n ann，5 分 由于 1 4a ，所以=22() n ann N 6 分 （2） 1 11111 () (22)(24)2 2224 n nn b aannnn ，9 分 11111111 11
5、 ()()()() 2466822242 424 n T nnn 816 n n 12 分 【命题意图】 本题主要考查已知递推公式用累加法求通项， 注重思维的完整性和严密性， 另外考查裂项相消法求数列的前n项和重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推 理等核心素养 18（本小题满分 12 分） 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月 销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x(1,2,3,6)i 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答
6、案第 3 页（共 11页） 月销售单价x（元/件）456789 月销售量y（万件）898382797467 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回 归直线方程分别为：4105yx ，453yx和1043 xy ，其中有且仅有一位实习 员工的计算结果是正确的 请结合统计学的相关知识， 判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由； （ 2 ） 若 用cbxaxy 2 模 型 拟 合 y 与x之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 25.90875. 0375. 0 2 xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2 R 分 别
7、 为9702. 0和9524. 0， 请 用 2 R 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 ； （3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月 销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01. 0） 参考数据：91.806547 . 解：解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故乙不对， 因为5 . 6 6 987654 x，79 6 677479828389 y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确4 分 （2）因为9524. 09702. 0且 2 R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好， 所以选用25.90875. 03
8、75. 0 2 xxy更好（言之有理即可得分）7 分 （3）由题意可知，xxxyxz25.90875. 0375. 0 23 ，8 分 即xxxz 4 361 8 7 8 3 23 ，则 4 361 4 7 8 9 2 xxz，9 分 令0 z ，则 9 76547 x（舍去）或 9 76547 x，10 分 令 9 76547 0 x，当 0 , 0 xx时，z单调递增，当 0 xx时z单调递减， 所以当 0 xx 时，商品的月销售额预报值最大，11 分 因为91.806547 ，所以77. 9x， 所以当77. 9x时，商品的月销售额预报值最大12 分 19（本小题满分 12 分） 如图，
9、 四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中点， 将ADF 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 4 页（共 11页） 沿AF折到AD F的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面AD F底面 AECF，平面B CE底面AECF，连接B D ， （1）求证：B D / /平面AECF； （2）求三棱锥 B AD F的体积 解：解：（1）证明：作D M AF于点M，作BNEC于点N，1 分 2ADD F，2B CB E，90ADFCB E， M，N为AF，CE中点，且D M 2B N2 分 平面AD F 底面AECF，平面AD F 底
10、面AECF AF， D M AF，D M平面AD F D M底面AECF，3 分 同理：BN底面AECF，4 分 / /DMBN， 四边形D B NM 为平行四边形, / /B DMN 5 分 BD 平面AECF，MN 平面AECF， B D / /平面AECF6 分 （2）设点 B 到平面AD F的距离为h，连接NF7 分 / /DMBN，D M平面AD F，BN 平面AD F BN/ /平面AD F，8 分 故点 B 到平面AD F的距离与点N到平面AD F的距离相等8 分 N为CE中点，2EFCE， NFCE， / /AFCE， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科
11、）参考答案第 5 页（共 11页） NFAF，9 分 平面AD F 底面AECF， 平面AD F底面AECF AF，NF 底面AECF， NF 平面AD F，10 分 点N到平面AD F的距离为 2NF ， 点 B 到平面AD F的距离 2h 11 分 1 2 22 2 AD F S ， 三棱锥 B AD F的体积 112 2 22 333 BAD FAD F VSh 12 分 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 过点 )0 , 2(F 的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径， 设点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）过点 )4 , 2(A 的任意直线l与曲线
12、C交于点M,B为AM的中点，过点B作x轴的 平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它 公共点？说明理由 【解析】（1）如图，过P作y轴的垂线，交y轴于点H，交直线2x于点 1 P， -1 分 设动圆圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性 质得，22 rPH，-2 分 所以rrPP2222 1 ，又rPF2， 所以 1 PPPF ，-3 分 由抛物线的定义知， 点P是以 )0 , 2(F 为焦点， 直线2x为 准线的抛物线，所以曲线C的方程为xy8 2 -4 分 (2) 由 )4 , 2(A 得，A在曲线C上， (i)当l的斜
13、率存在时，设 )2)(,( 111 xyxM，则 1 2 1 8xy， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 6 页（共 11页） AM的中点) 2 4 , 2 2 ( 11 yx B，即)2 2 , 1 2 ( 11 yx B，-5 分 在方程xy8 2 中令2 2 1 y y得 21 )2 2 ( 8 1 y x， 所以)2 2 ,)2 2 ( 8 1 ( 121 yy D-6 分 设),( 22 yxN， 由中点坐标公式 2 2 )2 2 ( 4 1 121 2 xy x， 又 1 2 1 8xy，代入化简得 2 1 2 y x ， 所以)2 2 , 2
14、 ( 11 yy N，-7 分 直线MN的斜率为 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 28 2 2 2 )2 2 ( yyy y y x y y ， 直线MN的方程为 11 1 )( 4 yxx y y ， 将 8 2 1 1 y x 代入式化简得 2 4 1 1 y x y y ，-8 分 将 8 2 y x 代入式并整理得02 2 11 2 yyyy， 式判别式04)2( 2 1 2 1 yy，-9 分 所以直线MN与抛物线C相切， 所以除M以外，直线MN与C没有其它公共点-10 分 (ii)当l的斜率不存在时， )4, 2( M ， )0 , 2(B ， )0 , 0(D ， )0
15、, 2(N ， 直线MN方程为 2xy ，代入xy8 2 得044 2 xx ，-11 分 上式方程判别式0，除M以外，直线MN与C没有其它公共点 综上，除M以外，直线MN与C没有其它公共点-12 分 【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识 导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线 与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等 数学核心素养及思辨能力 21（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ln11.fxxxaxa x 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（
16、文科）参考答案第 7 页（共 11页） （1）当1a 时，判断函数的单调性； （2）讨论 fx零点的个数. 解：解：（1）因为1a ，所以 2 1 ln211ln1fxxxxxxxx 又 1 ln23fxxx x ，设 1 ln23h xxx x ， -2 分 又 22 21 111 2 xx h x xxx ， 所以 h x在0,1为单调递增；在1,为单调递减，-3 分 所以 h x的最大值为 10h，所以 0fx， 所以 fx在0,单调递减.-4 分 （2）因为 1ln1fxxxax 所以1x 是 fx一个零点 设 ln1g xxax， 所以 fx的零点个数等价于 g x中不等于1的零点个
17、数再加上1. -5 分 （i） 当1a 时， 由 （1） 可知， fx单调递减， 又1x 是 fx零点， 所以此时 fx 有且只有一个零点；-6 分 （ii）当0a 时， g x单调递增，又 10,g 2 2131 ln11 11 xaxax g xxaxax xx 01x 又 22 31431411axaxaxaxaxx 所以 1 0 4 g a ， 综上可知 g x在0,有一个零点且 10g， 所以此时 fx 有两个零点；-8 分 （iii）又 1ax gx x ，所以当10a ， g x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a 单调递减. 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测
18、试数学（文科）参考答案第 8 页（共 11页） g x的最大值为 11 ln0g aa 又 2121 110 11 xx g xax xx 1 0 3 g ，又 1 0 a g ee 所以 g x在 1 0, a 有一个零点，在 1 , a 也有一个零点且 10g. 所以此时 fx共有 3 个零点；-10 分 （iv）又 1ax gx x ，所以当1a 时， g x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a 单调递减. g x的最大值为 11 ln0g aa ，所以 g x没有零点，此时 fx共有1个 零点. 综上所述，当1a 时， fx共有 1 个零点；当10a 时， fx共有 3 个零点；
19、 当0a 时， fx有两个零点.-12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜 角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin4 （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）直线 1 C与 2 C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，
20、若 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 9 页（共 11页） PFPEEF2，求直线 1 C的普通方程 解： （1） 由题意得， 2 C的极坐标方程为sin4， 所以 sin4 2 ， 1 分 又 sin,cosyx ，2 分 代入上式化简可得，04 22 yyx，3 分 所以 2 C的直角坐标方程 4)2( 22 yx4 分 （2）易得点P的直角坐标为)0 ,32(， 将 ,sin ,cos32 ty tx 代入 2 C的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34( 2 tt，5 分 22 (4 3cos4sin )48=8sin()480 3 ， 解
21、得 3 sin() 32 ，或 3 sin() 32 ， 不难知道必为锐角，故 3 sin() 32 ， 所以 2 333 ，即 0 3 ,6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1 t， 2 t，则 sin4cos34 21 tt， 12 21 tt，7 分 所以 1 t与 2 t同号， 由参数t的几何意义可得， 1212 8 sin() 3 PEPFtttt， 22 12121 2 ()44 4sin ()3 3 EFttttt t，8 分 所以 2 24 4sin ()38 sin() 33 ， 两边平方化简并解得 sin()1 3 ，所以 2 6 k，kZ, 深圳市 2020 年普通高中
22、高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 10 页（共 11页） 因为 0 3 ，所以 6 ，9 分 所以直线 1 C的参数方程为 , 2 1 , 2 3 32 ty tx 消去参数t，可得直线 1 C的普通方程为 0323yx10 分 【命题意图】 本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中 参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理 等核心素养，考察考生的化归与转化能力 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1.abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 . 27 a
23、cbcababc 证明：证明：（1）因为 111111 abc abcabc 3 bacacb abacbc 3222=9 b ac ac b a ba cb c （当且仅当 1 3 abc时，等号成立）. 5 分 （2）（证法一）因为, ,a b c为正数，且满足1abc， 所以1cab ，且10a，10b，10c， 所以acbcababc ()abab cab () 1abababab （） (1)(1)()baab 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共 11页） (1)(1)(1)abc 3 (1)(1)(1)8 327 abc ， 所以 8 . 27 acbcababc （当且仅当 1 3 abc时，等号成立）. 10 分 （证法二）因为, ,a b c为正数，且满足1abc， 所以1cab ，且10a，10b，10c， 1acbcababcabcacbcababc 1111ab ac abca 11abcbc 111abc 3 38 327 abc 所以 8 . 27 acbcababc （当且仅当 1 3 abc时，等号成立）. 10 分 【命题意图】 本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式 （三元均值不等式） 的证明， 涉及代数恒等变形等数学运算、 充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力 的考察
