1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |平均变化率与平均速度 概念 说明 一般地,已知函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,我们把 称为函数y=f(x)从x1到x2的 平均变化率 .习惯上用x表示x2-x1,即x= x2-x1,类似地,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 x=x2-x1,不是与x 的乘积 设物体运动位移与时间的关系是s=f(t),则t0到t0+t这段时间内,物体运动 的平均速度是= = 物理情景的平均变 化率 21
2、 21 f(x )- (x ) x -x f y x v 00 f(tt)-f(t ) t s t 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |瞬时变化率与瞬时速度 概念 说明 设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近的改变量为 x时,函数值相应地改变y= f(x0+x)-f(x0) ,当x0时,平均变 化率=l(常数),则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化 率.记作: =l x0表示x趋近于0, 但x0 设物体运动位移与时间的关系是s=f(t),当
3、t0时,函数f(t)在t0到t0+t 之间的平均变化率 趋近于常数,我们把这个常数 称为t0时刻的瞬时速度 物理情景的瞬时变化率 y x 00 f(xx)-f(x ) x x0 lim 00 f(xx)-f(x ) x 00 f(tt)-f(t ) t 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 3 |平均变化率的几何意义 4 |导数的概念 设A(x1, f(x1),B(x2, f(x2)是曲线y= f(x)上任意不同的两点,平均变化率= 为割线AB的 斜率 . 说明:与函数的增减相对应. y x 21 21 ()- ( ) - f xf x x
4、x 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率就是函数y=f(x)在x=x0处的 导数 ,记作 f(x0)或y ,即 f(x0)=. 说明: f(x)在x0处有定义且存在. 0 x x 0 lim x y x 0 lim x 00 ( )- () f xx f x x 0 lim x y x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.x趋近于0表示x=0.( ) 提示:x趋近于0,即x无限小,但不等于零,否则无意义. 2.中,若x、y都趋近于0,则它们的比值为0.( ) 提示:x、y都趋近于0时,它们的比值是定值,不一定为0. 3.平均速度与瞬
5、时速度有可能相等.( ) 4.平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量.( ) 5.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度是at0.( ) 6.函数f(x)在x=x0的导数值与x的正负无关.( ) 7.函数f(x)在x=x0处有意义,则 f(x0)存在.( ) 提示:f(x)在x0处有意义,只能说明x0属于定义域,而f(x0)存在,需要存在极限. y x 0 lim x y x 1 2 y x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ”. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 | 多角度理解导数的
6、概念 导数的定义是高中数学中的重要概念之一,我们需要从以下几个方面加以理解: (1)函数y=f(x)在x=x0处可导,必须满足两个条件: f(x)在x0处及其附近有定义; 当x0时,的极限存在. (2)x是x的改变量,且x0;y是函数值的改变量,可以为零. y x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (3)导数定义的等价形式 y=; y=; y=. (4)x与y要相互对应,即自变量之差与函数值之差要相互对应,例如,若2x=x1-x0, 则y=f(x1)- f(x0)=f(x0+2x)-f(x0). -0 lim x ( )- ( ) - f
7、 x f xx x -0 lim x ( - )- ( ) - f xx f x x 0 lim xx 0 0 ( )- () - f x f x x x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()设f(x)为可导函数,且 f(2)=,则的值为( B ) A.1 B.-1 C. D.- 解析解析 =-2=-2f (2)=-2 =-1. 1 2 0 lim h (2- )- (2)fh fh h 1 2 1 2 0 lim h (2- )- (2)fhfh h 0 lim h (2- )- (2) -2 fhfh h 1 2 易错警示易错警示
8、注意导数定义中x与y相互对应,即分式的分母一定是自变量的增量(x0+x)-x0,分 子为函数值的增量f(x0+x)- f(x0). 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()若 f(x0)=4,则=( ) A.2 B.4 C. D.8 答案答案 D 根据题意得 0 lim x 00 (2 )- () f xx f x x 1 8 0 lim x 00 (2 )- () f xx f x x =2 =2f(x0)=8, 故选D. 0 lim x 00 (2 )- () 2 f xx f x x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描
9、述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限. 2 | 求函数在某一点处的导数的方法与技巧 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知f(x)=x-,若 f(1)=2,求a的值. 解析解析 y=(1+x)-=x+a-=x+a-=x+, =1+, f(1)=1+a=2, a=1. a x 1 a x 1- 1 a 1 a x (1 )- 1 ax a x x 1 a x x y x 1 a x x x x 1 a x 0 lim x y x 0 lim x 1 1 a x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()求函数y=x2+ax+b在x=x0处的导数. 思路点拨 计算y . y x 0 lim x y x 解析解析 令y=f(x), y=f(x0+x)-f(x0) =(x0+x)2+a(x0+x)+b-ax0-b =2x0 x+ax+(x)2, =2x0+a+x, =(2x0+a+x)=2x0+a. 2 0 x y x 0 lim x y x 0 lim x
