1、例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E,F分别是AO，AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则AEF的周长=_cm.重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：矩形，中位线，周长二联重要结论：先求出对角线AC，根据中位线定理求EF，进而求周长.重要方法：定理运用三解解：四悟掌握三角形中位线的性质是解决此类问题的关键.四边形ABCD为矩形，ABC=90，AC=BD,AD=BC，AB=6cm,BC=8cm,ACABBCcm2210AEF的周长=AE+AF+EF=9cm,故答案为9.点E,F分别是AO，AD的中点，EF是AOD的中位线，EFODBDAC.c
2、mAFADBCcm,AEAOAC.cm1112524411114252224举一反三举一反三思路分析:根据矩形的性质，可以得到AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AC的长，再利用三角形中位线定理得出BEF的周长为BOC周长的一半求出即可如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOB=60,点E、F分别是BO、BC的中点,若AB=6cm,则BEF的周长为_cm失误防范失误防范三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线；三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.例2.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那
3、么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A5.5 B5 C4.5 D4重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：一元二次方程，中点，周长二联重要结论：三角形的三边关系以及三角形的中位线性质.重要方法：定理运用三解解：四悟理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系是解题的关键.解一元二次方程x2-8x+15=0，得三角形两边分别为3和5.由三角形中位线定理得中点三角形周长m的范围是：5m8,故选A.设三角形第三边长为a,则2a8,三角形的周长l范围是：10l16举一反三举一反三思路分析:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，因式分解法解一元二
4、次方程，三角形的三边关系，熟记定理以及各性质并求出中点三角形的周长的取值范围是解题的关键如果三角形的两边分别是方程x29x+20=0的两个根，那么以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长可能是（）A5.5 B5C4.5 D4失误防范失误防范利用三角形中位线求周长：如果三角形的两边分别是一元二次方程的两个根，那么先解出一元二次方程，求出三角形的两边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后求出原三角形的周长，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求出中点三角形的周长的取值范围，再根据各
5、选项的数据选择即可例3.如图，ABC的周长为26，点D,E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长为（）A B C3 D43252重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：周长，垂直，中位线二联重要结论：利用等腰三角形的性质确定PQ是ADE的中位线.重要方法：定理运用三解解：四悟熟练运用中位线定理是解决此类问题的关键.BQ平分ABC，且BQAE，在ABQ和EBQ中，ABQ EBQ，AQ=EQ，BA=BE，同理，CD=CA，AP=DP，ABC的周长=AB+BC+CA=AB+10+CA=26AB+CA=16，B
6、E+CD=16,10+DE=16,DE=6在ADE中，AQ=EQ，AP=DP，PQ是ADE的中位线，PQ=DE=3故选C.ABQEBQBQBQAQBEQB 9012举一反三举一反三思路分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，然后判断出AFE的周长=1/2ABD的周长如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CE交AD与E，点F是AB的中点若ABD的周长是20，则AFE的周长为（）A5B10C12D15举一反三举一反三失误防范失误防范三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
7、与中点有关的概念：等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边例4.点O是ABC所在平面内一动点，连接OB,OC并将AB,OB,OC,AC中点D,E,F,G依次连接起来，设DEFG能构成四边形.（1）如图，当点O在ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当点O在ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，无须说明理由；）（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由重点中学与你有约重点中学与你有
8、约解题技巧解题技巧一读关键词：三角形，中点，四边形，判四边形形状.二联重要结论：平行四边形的判定，三角形中位线定理，菱形的判定.重要方法：逻辑推理三解解：（1）证明：AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，DG、EF分别为ABC和OBC的中位线，DG BC，EF BC，DG EF，四边形DEFG是平行四边形；（2）如图所示，成立，理由：由（1）知，DG BC，EF BC，DG EF，四边形DEFG是平行四边形；（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形理由：由题意，DG=BC，DE=OA，OA=BC,DG=DE,四边形DEFG是菱形 四悟熟练掌握特殊四边形的判定及三角形中位线定理
9、是解题的关键212121212121举一反三举一反三已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形思路分析:由菱形的性质结合三角形中位线定理，可得EF=FG=GH=HG，可证明四边形EFGH是菱形答案：E、F为OA、OB的中点，EF为OAB的中位线，EF=0.5AB，同理可得FG=0.5BC，GH=0.5CD，HE=0.5AD，又四边形ABCD为菱形，AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH为菱形失误防范失误防范菱形常用三种判别方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分例5.如图，M是
10、ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长等于（）A38B39C40D41重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：中点，角平分线，线段长，求周长.二联重要结论：三角形的周长，角的平分线定理，三角形中位线定理.重要方法：转化思想三解解：延长BN交AC于点D，AN平分BAD，BAN=DAN，又ANBD于点N，ANB=AND=90，ABD=ADB,AD=AB=10，BN=ND，又BM=NC，CD=2MN=23=6，AC=AD+CD=10+6=16，ABC的周长为：AB+AC+BC=10+16+15=41故选D四悟涉及到
11、三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键5.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长等于（）A38B39C40D41举一反三举一反三如图，D是ABC的BC边的中点，AE平分BAC，AECE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为 思路分析:延长AB，CE交于点F，通过ASA证明EAFEAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC=16，EF=EC，进一步得到BF=6，再根据三角形中位线定理即可求解答案：延长AB，CE交于点FAE平分BAC，AECE，EAF=EAC，AEF=AEC，又AE=AE,EAFEAC（AS
12、A），AF=AC=16，EF=EC，BF=6，又D是BC中点，BD=CD，DE是BCF的中位线，DE=0.5BF=3故答案为：3失误防范失误防范三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.例6.如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为 cm.重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：中点、垂直，角的关系，线段长，求线段长.二联重要结论：直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形中位线定理.重要方法：数学结合思想三解解：如图，取AB中点N，连接DN，MNADBD，N为AB中点，AB=10
13、，DN=0.5AB=BN=5NDB=B又M,N分别是BC，AB的中点MNAC，NMD=C又B=2C，NDB=2NMD又NDB=NMD+DNMNMD=DNMDM=DN=5故DM的长为5四悟涉及到中点、中线、垂直的题目，正确作出辅助线是解题的关键6.如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为 cm.举一反三举一反三如图，在ABC中，AB=12，AC=18，AD是BAC的平分线，过点B作AD的垂线，交AD于D，M是BC的中点，求MD的长思路分析:延长BD交AC于点N，易证ADNADB，则AN=AB，DN=BD，则DM是BCN的中位线，根据三角形的中位线定理
14、即可求解答案：延长BD交AC于点N在ADN和ADB中，NAD=BAD,AD=AD,ADN=ADB,ADNADB，AN=AB=12，ND=ND，CN=ACAN=1812=6，ND=BD，CM=BM，DM=0.5CN=0.56=3失误防范失误防范与中点有关的辅助线：秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。失误防范失误防范秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的.失误防范失误防范秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形
15、，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出失误防范失误防范秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系 其他位置的也要能看出例7.如图，以ABC的边AB,AC边为斜边向形外作RtABD和RtACE,且使ABD=ACE,M是BC的中点，求证：DM=ME.重点中学与你有约重点中学与你有约解题技巧解题技巧一读关键词：中点，角的关系，直角三角形，求证线段相等.二联重要结论：直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理.重要方法：逻辑推理三解解：如图，取AB中点
16、P，连接DP，PM，取AC中点Q，连接QE，QM.由题意，得DP=AB，QE=AC，PM AC，MQ AB，DP=QM，PM=QE，又DPM=1+2=2DAB+BAC，MQE=3+4=2EAC+BAC，ABD=ACE,DAB=EAC，DPM=EQM，DPMMQE，故DM=ME四悟求证DPM与MQE全等是解题的关键21217.如图，以ABC的边AB,AC边为斜边向形外作RtABD和RtACE,且使ABD=ACE,M是BC的中点，求证：DM=ME.2121举一反三举一反三如图，以任意ABC的边AB和AC向形外作等腰RtABD和等腰RtACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，求CD:FG的值.举一
17、反三举一反三思路分析:取BC的中点H，连接BE、FH、GH，求出BAE=DAC，然后利用“边角边”证明ABE和ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得ABE=ADC，然后求出BECD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FHCD且FH=0.5CD，GHBE且GH=0.5BE，然后求出HFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得FH:FG的值，然后求出CD:FG的值即可答案：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，BAD=CAE=90，BAD+BAC=CAE+BAC，即BAE=DAC，又AB=AD,AC=AE,ABEADC（SA
18、S），BE=CD，ABE=ADC，BDC+DBE=BDA+ABD=90，BECD，又F、G分别是线段BD和CE的中点，FH、GH分别是BCD和BCE的中位线，FHCD且FH=0.5CD，GHBE且GH=0.5BE，HFG是等腰直角三角形，.2FG:CD,22FGFH如图，以任意ABC的边AB和AC向形外作等腰RtABD和等腰RtACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，求CD:FG的值.失误防范失误防范1.构造三角形中位线：考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。“题
19、中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似功效 失误防范失误防范2.三角形中位线辅助线的应用：三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题：借助中位线定理选择结论；借助中位线定理求长度；借助中位线定理说理.失误防范失误防范3.与中点有关的概念：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三
20、线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形编后语 老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则
21、是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。2022-11-20最新中小学教学课件362022-11-20最新中小学教学课件37谢谢欣赏！
