1、第三课时利用导数证明不等式专题第三课时利用导数证明不等式专题专题概述专题概述利用导数证明不等式是高考的热点问题利用导数证明不等式是高考的热点问题,常作为解答题的一问出现常作为解答题的一问出现,难度较大难度较大,解决此类问题一般是通过构造函数把不等式问题转化为求函数单调性或最值解决此类问题一般是通过构造函数把不等式问题转化为求函数单调性或最值问题解决问题解决.考点一考点一 构造函数证明不等式构造函数证明不等式考查角度考查角度1:1:移项构造函数证明不等式移项构造函数证明不等式【例例1 1】(2016(2016全国全国卷卷)设函数设函数f(x)=ln x-x+1.f(x)=ln x-x+1.(1)
2、(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性;考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识(2)(2)证明当证明当x(1,+)x(1,+)时时,1 x;,1 1,c1,证明当证明当x(0,1)x(0,1)时时,1+(c-1)xc,1+(c-1)xcx x.反思归纳反思归纳 当不等式左、右两边都含有自变量时当不等式左、右两边都含有自变量时,可以移项后构造函数可以移项后构造函数,证明所构造函数的最值与证明所构造函数的最值与0 0的大小关系的大小关系.常见方法是常见方法是:若证明若证明f(x)g(x)f(x)g(x)在在区间区间D D上恒成立上恒成立,则构造函数则构造函数h(x)=f
3、(x)-g(x),h(x)=f(x)-g(x),再根据函数单调性或最值再根据函数单调性或最值,证明证明h(x)0.h(x)0.考查角度考查角度2:2:最值转化法证明不等式最值转化法证明不等式【例例2 2】(2017(2017忻州质检忻州质检)已知已知a a为实数为实数,函数函数f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,x-2x+2a,xR R.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值;(1)(1)解解:由由f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,x-2x+2a,xR R,知知f(x)=ef(x)=ex x-2,x-2,xR R.令令f(x)=0,f(x)=0,得得
4、x=ln 2.x=ln 2.于是当于是当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如表的变化情况如表:x x(-,ln 2)(-,ln 2)ln 2ln 2(ln 2,+)(ln 2,+)f(x)f(x)-0 0+f(x)f(x)减减2-2ln 2+2a2-2ln 2+2a增增故故f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,ln 2),(-,ln 2),单调递增区间是单调递增区间是(ln 2,+),(ln 2,+),f(x)f(x)在在x=ln 2x=ln 2处取得极小值处取得极小值,极小值为极小值为f(ln 2)=ef(ln 2)=eln 2ln 2-2l
5、n 2+2a=2-2ln 2+2a.-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a.(2)(2)求证求证:当当aln 2-1aln 2-1且且x0 x0时时,e,ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.(2)(2)证明证明:设设g(x)=eg(x)=ex x-x-x2 2+2ax-1,x+2ax-1,xR R,于是于是g(x)=eg(x)=ex x-2x+2a,x-2x+2a,xR R.由由(1)(1)知当知当aln 2-1aln 2-1时时,g(x)g(x)取最小值为取最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意于是对任意xxR R,
6、都有都有g(x)0,g(x)0,所以所以g(x)g(x)在在R R内单调递增内单调递增.于是当于是当aln 2-1aln 2-1时时,对任意对任意x(0,+),x(0,+),都有都有g(x)g(0),g(x)g(0),而而g(0)=0,g(0)=0,从而从而e ex x-x-x2 2+2ax-10,+2ax-10,故当故当aln 2-1aln 2-1且且x0 x0时时,e,ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.考查角度考查角度3:3:变形转化后证明不等式变形转化后证明不等式【例例3 3】(2017(2017沈阳质检沈阳质检)已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-
7、1-x-ax2 2.(1)(1)当当a=0a=0时时,求证求证:f(x)0;:f(x)0;(1)(1)证明证明:当当a=0a=0时时,f(x)=e,f(x)=ex x-1-x,f(x)=e-1-x,f(x)=ex x-1.-1.当当x(-,0)x(-,0)时时,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上单调递减上单调递减,在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增,f(x)f(x)minmin=f(0)=0,=f(0)=0,所以所以f(x)0.f(x)0.(2)(2)当当x0 x0时时,若不等式若不等式f(x)0f(x)0恒成立恒成立,求实数求实数
8、a a的取值范围的取值范围;(2)(2)解解:f(x)=ef(x)=ex x-1-2ax,-1-2ax,令令h(x)=eh(x)=ex x-1-2ax,-1-2ax,则则h(x)=eh(x)=ex x-2a.-2a.当当2a12a1时时,在在0,+)0,+)上上,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)单调递增单调递增,h(x)h(0),h(x)h(0),即即f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,所以所以f(x)f(x)在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数,所以所以f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,所以当所以当a a 时满足条件时满足条件.12当当2a12a1时时,令令h
9、(x)=0,h(x)=0,解得解得x=ln 2a,x=ln 2a,在在0,ln 2a)0,ln 2a)上上,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)单单调递减调递减,所以当所以当x(0,ln 2a)x(0,ln 2a)时时,有有h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,即即f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(0,ln 2a)(0,ln 2a)上为减函数上为减函数,所以所以f(x)f(0)=0,f(x)0,x0,证明证明(e(ex x-1)ln(x+1)x-1)ln(x+1)x2 2.考点二考点二 构造函数证明与函数零点构造函数证明与函数零点(方
10、程根方程根)有关的不等式有关的不等式【例例4 4】导学号导学号 18702122 18702122 已知函数已知函数f(x)=ln x+.f(x)=ln x+.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小值的最小值;ax(2)(2)若方程若方程f(x)=af(x)=a有两个根有两个根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x2a.2a.反思归纳反思归纳 若函数若函数y=f(x)y=f(x)的极值点是的极值点是x x0 0,且且x x1 1,x,x2 2是函数是函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点,则关则关于于x x1 1,x,x2 2,x,x0 0的不等式常用证明方法如下的不等式常用证明方法如下
11、:(1)(1)构造一元函数构造一元函数F(x)=f(xF(x)=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0-x);-x);(2)(2)求求F(x),F(x),确定函数确定函数F(x)F(x)的单调性的单调性;(3)(3)结合结合F(0)=0F(0)=0判断判断F(x)F(x)的符号的符号,确定确定f(xf(x0 0+x)+x)与与f(xf(x0 0-x)-x)的大小关系的大小关系;(4)(4)结合结合y=f(x)y=f(x)的单调性确定的单调性确定x x1 1+x+x2 2与与x x0 0的大小关系的大小关系.跟踪训练跟踪训练1:1:已知函数已知函数f(x)=xef(x)=xe-x-x(x
12、(xR R).).(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间和极值的单调区间和极值;(1)(1)解解:f(x)=(1-x)ef(x)=(1-x)e-x-x.令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=1.x=1.当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:(2)(2)已知函数已知函数y=g(x)y=g(x)的图象与函数的图象与函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称,证明当证明当x1x1时时,f(x)g(x);,f(x)g(x);(2)(2)证明证明:由题意可知由题意可知g(x)=f(2-x),g(
13、x)=f(2-x),得得g(x)=(2-x)eg(x)=(2-x)ex-2x-2.令令F(x)=f(x)-g(x)=xeF(x)=f(x)-g(x)=xe-x-x+(x-2)e+(x-2)ex-2x-2.于是于是F(x)=(x-1)(eF(x)=(x-1)(e2x-22x-2-1)e-1)e-x-x.当当x1x1时时,2x-20,2x-20,从而从而e e2x-22x-2-10.-10.又又e e-x-x0,0,所以所以F(x)0,F(x)0,从而函数从而函数F(x)F(x)在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数.又又F(1)=eF(1)=e-1-1-e-e-1-1=0,=0,所以所以x1x
14、1时时,有有F(x)F(1)=0,F(x)F(1)=0,即即f(x)g(x).f(x)g(x).(3)(3)如果如果x x1 1xx2 2,且且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),证明证明x x1 1+x+x2 22.2.(3)(3)证明证明:因为因为f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)且且x x1 1xx2 2,设设x x1 1x0,0,知知x x1 11,x1.1.由由(2)(2)可知可知,f(xf(x2 2)g(x)g(x2 2),g(x),g(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2),),所以所以f(xf(x2 2)f(2-x)f(2-x2 2),),从而
15、从而f(xf(x1 1)f(2-x)f(2-x2 2).).因为因为x x2 21,1,所以所以2-x2-x2 21.2-x2-x2 2,即即x x1 1+x+x2 22.2.1e考点三考点三 证明与数列有关的不等式证明与数列有关的不等式【例例5 5】导学号导学号 18702123 18702123 若函数若函数f(x)=ef(x)=ex x-ax-1(a0)-ax-1(a0)在在x=0 x=0处取极值处取极值.(1)(1)求求a a的值的值,并判断该极值是函数最大值还是最小值并判断该极值是函数最大值还是最小值;(1)(1)解解:因为因为x=0 x=0是函数极值点是函数极值点,所以所以f(0)
16、=0,f(0)=0,所以所以a=1.a=1.f(x)=ef(x)=ex x-x-1,-x-1,易知易知f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.当当x(0,+)x(0,+)时时,f(x)0,f(x)0,当当x(-,0)x(-,0)时时,f(x)0,f(x)x+1x+1可可化为化为ln(x+1)xln(x+1)x等等.备选例题备选例题 【例题例题】(2017(2017湖南娄底质检湖南娄底质检)已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间;211xx(2)(2)证明证明:当当f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)(x)(x1 1xx2
17、 2)时时,x,x1 1+x+x2 20.0.以下为附加内容不需要的朋友下载后可以编辑删除，谢谢让更多的农民成为新型职业农民中央农业广播电视学校中央农业广播电视学校 刘天金刘天金20130507 陕西 农业部部长韩长赋：这是一项基础性工程、创新性工作，要大抓特抓、坚持不懈。让更多的农民成为新型职业农民（目标）生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）一、为什么要大力培育新型职业农民二、什么是新型职业农民三、如何加快培育新型职业农民一、为什么要大力培育新型职业农民（一）深刻背景农村劳动力持续转移农村劳动力持续转移,“,“人走村空人走村空”问题愈演愈问题愈演愈烈烈 2012年我国农民工数量达到2.
18、62.6亿亿，每年新增900-1000900-1000万万。四川抽样调查：26%26%举家外出农户20%20%留守农户转移比例平均60%60%，高的70-80%70-80%一、为什么要大力培育新型职业农民（一）深刻背景农村青壮年劳动力大量外出，农村青壮年劳动力大量外出，“老人农老人农业业”“”“妇女农业妇女农业”“”“小学农业小学农业”问题日益凸显问题日益凸显陕西抽样调查：72%72%“80后”“90后”青壮年劳动力（农民工）5555岁岁 务农农民平均年龄63%63%妇女83%83%初中及以下文化程度 四川抽样调查：务农农民50岁以上54%，60岁以上30%，70岁以上13%；妇女60%；初中
19、及以下90%。一、为什么要大力培育新型职业农民（一）深刻背景农村新生劳动力离农意愿强烈，农业后农村新生劳动力离农意愿强烈，农业后继乏人问题步步紧逼继乏人问题步步紧逼新生代农民工76%76%不愿再回乡务农85%85%从未种过地（国家统计局2010年10省调查：90%的新生代农民工没有从事过一天的农业生产活动）一、为什么要大力培育新型职业农民（二）紧迫课题“谁来种地谁来种地”“”“地如何种地如何种”？党的党的十八大：十八大：坚持和完善农村基本经营制度，构建集约化、专业化、组织化、社会化相结合的新型农业经营体系。国务院常务会议：国务院常务会议：要采取有效措施，使一部分年轻人愿意在农村留下来搞农业，培
20、养和稳定现代农业生产队伍。中央经济工作会议、中央农村工作会议：中央经济工作会议、中央农村工作会议：要稳定完善强农惠农富农政策，充分保护和调动农民生产经营积极性，使务农种粮有效益、不吃亏、得实惠。20132013年中央一号文件：年中央一号文件：农村劳动力大量流动，农户兼业化、村庄空心化、人口老龄化趋势明显，农民利益诉求多元，加强和创新农村社会管理势在必行。十二届全国人大一次会议（政府工作报告）：十二届全国人大一次会议（政府工作报告）：要采取有效措施，稳定农业生产经营队伍，积极培育新型农民。聚焦聚焦“谁来种地谁来种地”“”“地如何种地如何种”一、为什么要大力培育新型职业农民（二）紧迫课题“谁来种地
21、”“地如何种”是一个问题的两个方面 农村劳动力结构性不足：“不是不是没人种地，而是这地由什么人来种没人种地，而是这地由什么人来种”创新农业生产经营方式：“不是不是种不过来，而是怎么种得更好种不过来，而是怎么种得更好”一、为什么要大力培育新型职业农民（三）历史使命回答好回答好“谁来种地谁来种地”“”“地如何种地如何种”的问的问题，历史性地落在了培育新型职业农民题，历史性地落在了培育新型职业农民上。上。2012年中央一号文件聚焦农业科技，着力解决农业生产力发展问题，明确提出大力培育新型职业农民；2013年中央一号文件突出农业经营体制机制创新，着力完善与现代农业发展相适应的农业生产关系，进一步强调加
22、强农业职业教育和职业培训。创新农业生产经营方式创新农业生产经营方式（现代）家庭经营+合作组织+社会化服务 =新型农业经营体系新型职业农民 新型生产经营主体 新型农业经营体系 现代农业 新型职业农民新型职业农民是伴随农村生产力发展和生产关系完善产生的新型生产经营主体，是构建新型农业经营体系的基本基本细胞细胞，是发展现代农业的基本支撑基本支撑，是推动城乡发展一体化的基本力量基本力量。一、为什么要大力培育新型职业农民（四）重大意义不失时机地大力培育新型职业农民：一是有利于促进农民从身份向职业一是有利于促进农民从身份向职业的转变，的转变，在推动城乡发展一体化中加快剥离“农民”的身份属性，使培育起来的新
23、型职业农民逐步走上具有相应社会保障和社会地位的职业化路子，解决有人愿意在农村留下来搞农业的问题；一、为什么要大力培育新型职业农民（四）重大意义不失时机地大力培育新型职业农民：二是有利于促进农民从传统农业生二是有利于促进农民从传统农业生产向现代农业生产经营的转变，产向现代农业生产经营的转变，在加大强农惠农富农政策力度中加快发展现代农业，使培育起来的新型职业农民逐步走上专业化、规模化、集约化、标准化生产经营的现代化路子，解决务农种粮有效益、不吃亏、得实惠的问题；一、为什么要大力培育新型职业农民（四）重大意义不失时机地大力培育新型职业农民：三是有利于促进农民从传统小农生三是有利于促进农民从传统小农生
24、产向社会化大生产的转变，产向社会化大生产的转变，在坚持和完善农村基本经营制度中加快培育新型生产经营主体，使培育起来的新型职业农民逐步走上“家庭经营+合作组织+社会化服务”新型农业经营体系的组织化路子，解决保供增收长效机制的问题。培育新型职业农民的过程，就是激活农民自身活力和增强农业农村发展活力的过程，就是培养高素质现代农业和新农村建设者的过程，就是培育“三农”事业发展未来的过程。农业部部长韩长赋农业部部长韩长赋 应对农业后继乏人问题的挑战，必须在稳定提高农业比较效益的基础上，大力培育种养大户、家庭农场、专业合作社等各类新型农业经营主体，让更多的农民成为新型职业农民。世界性课题世界性课题比如在英
25、国，农场主平均年龄达到59岁。欧盟一直关注农民老龄化和培养青年农民问题，在CAP新一轮改革议案中提出，将2%的直接支付专门用于支持40岁以下的青年农民从事农业。世界性课题世界性课题法国经验 统筹农村劳动力转留 加强农业后继者培养 重视农业劳动力教育培训 切实把培育新型职业农民放在三农工作突出位置予以推动落实。农村劳动力向城镇和二三产业转移，是伴随现代化进程的必然趋势。目前我国农业劳动力供求结构已进入总量过剩与结构性、区域性短缺并存新阶段，关键农时缺人手、现代农业缺人才、新农村建设缺人力问题日显普遍，“谁来种地”“地如何种”事关13亿人的饭碗。各级农业部门要把培育新型职业农民作为一项重要职责和基
26、本任务，积极争取当地政府和有关部门的重视支持，将其放在三农工作的突出位置，坚持“政府主导、农民主体、需求导向、综合配套”的原则，采取更加有力的措施加以推动落实，培养和稳定现代农业生产经营者队伍，壮大新型生产经营主体。二、什么是新型职业农民（一）基本表述 传统农业向现代农业转型，必然要求传统农民向新型职业农民转变。从我国农村基本经营制度和农业生产经营现状及发展趋势看，新新型职业农民是指以农业为职业、具有一型职业农民是指以农业为职业、具有一定的专业技能、收入主要来自农业的现定的专业技能、收入主要来自农业的现代农业从业者。代农业从业者。二、什么是新型职业农民（二）主要类型生产经营型：生产经营型：专业大户、家庭农场主专业技能型：专业技能型：农业工人、农业雇员等社会服务型：社会服务型：农村信息员、农产品经纪人、跨区作业农机手、统防统治植保员、村级动物防疫员等农业社会化服务人员
