1、 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 1 页 第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷 本卷共九题，满分140分。 一、（15分）填空 1a原子大小的数量级为_m。 b原子核大小的数量级为_m。 c氦原子的质量约为_kg。 d一个可见光光子的能量的数量级为_J。 e在标准状态下，1cm3 气体中的分子数约为_。 （普朗克常量 h6.6310 34Js 阿伏加德罗常量 N A6.0210 23 mol1） 2已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。 a 反射光子数为入射光子数的80； b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。 二、（15分）质量分别
2、为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角 30的光滑斜面顶端的轻 滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上， 用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空， m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求ml与m2之比。 2004.9.5 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 2 页 三、（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量m之比qm）的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出 的电子，经阳极A与阴极K之间的高电压加速后，形成一束很
3、细的电子流，电子流以平行于平板电容器极 板的速度进入两极板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的 O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂 直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。现已知极板的 长度l5.00cm， C、 D间的距离dl.50cm， 极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L12.50cm， U200V， P点到O点的距离3.0yOPcm；B6.310 4T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。 四、（15分）要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆
4、盖赤道上东经75.0到东经135.0之间的区域， 则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R06.37106m。 地球表面处的重力加速度g9.80m/s2。 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 3 页 五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l， 电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨 无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物 体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金
5、属细 杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静 止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？ 六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球 面的半径R1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。 这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯 底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n11.56，酒的折射率n21.34。试通过分析计算与 论证解释
6、这一现象。 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 4 页 七、（15分）如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半 球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆， 被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。 碗和杆的质量关系为：mB2mA。初始时，A杆被握住，使 其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静 止开始释放A，A、B便开始运动。设A杆的位置用 表示， 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖 直方向之间的夹角。 求A与B速度的大小 （表示成 的函数） 。 八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0的电
7、阻和2.0的电 阻构成的无穷组合电路相接。求图中10F的电容器与E点相接的极板上的电荷量。 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 5 页 九、（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑 轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码 托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根 用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在 托盘底上， 弹簧的下端与托盘底固连， 上端放有砝码1 （两者未粘连） 。 已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量 为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便
8、伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在 以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至 再次接触经历的时间。 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 6 页 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答 一、1a10 10 b10 15 c6.610 27 d 10 19 e 2.71019 2a 正确，b 不正确理由：反射时光频率不变，这表明每个光子能量 h 不变 评分标准： 本题 15 分第 1 问 10 分，每一空 2 分第 2 问 5 分，其中结论占 2 分，理由占 3 分 二、第一次，小物块受力情况如图所示，设 T1为绳中张力，a1为 两物块加
9、速度的大小， l 为斜面长，则有 1111 amTgm (1) 1221 sinamgmT (2) 2 1 2 1 tal (3) 第二次，m1与 m2交换位置设绳中张力为 T2，两物块加速度的大小为 a2，则有 2222 amTgm (4) 2112 sinamgmT (5) 2 2 32 1 t al (6) 由 (1)、(2) 式注意到 =30得 g mm mm a 21 21 1 2 2 (7) 由 (4)、(5) 式注意到 =30得 g mm mm a 21 12 2 2 2 (8) 由 (3)、(6) 式得 9 2 1 a a (9) 由 (7)、(8)、(9) 式可解得 19 1
10、1 2 1 m m (10) 评分标准 本题 15 分， （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （6）式各 2 分，求得（10）式再给 3 分 m1g m2 N1 T1 T1 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 7 页 三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为 v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度 为 l 的极板区域所需的时间 01 vlt (1) 当两极板之间加上电压时， 设两极板间的场强为 E， 作用于电子的静电力的大小为 qE 方向垂直于极板由 C 指向 D，电子的加速度 m qE a (2) 而 d U E (3) 因电子在垂直于极板方向
11、的初速度为 0，因而在时间 t1内垂直于极板方向的位移 2 11 2 1 aty (4) 电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度 1 at y v (5) P 点所需时间为 t2 02 2 vlLt (6) 在 t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移 22 ty y v (7) P 点离开 O 点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移 21 yyy (8) 由以上各式得电子的荷质比为 y UlL d m q 2 0 v (9) 加上磁场 B 后， 荧光屏上的光点重新回到 O 点， 表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与 磁场力相等，即 BqqE 0 v (10
12、) 注意到 (3) 式，可得电子射入平行板电容器的速度 Bd U 0 v (11) 代入(9)式得 y lLdB U m q 2 (12) 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 8 页 代入有关数据求得 C/kg106 . 1 11 m q (13) 评分标准 本题15 分 （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （6） 、 （7） 、 （8）式各1 分， （10）式3 分， （12） 、 （13）式各2 分 四、如图所示，圆为地球赤道，S 为卫星所在处，用 R 表示卫星运动轨道的半径由万有 引力定律、牛顿运动定律和卫星周期 T（亦即地球自转周期）可得 2 2 2 T
13、 mR R Mm G (1) 式中 M 为地球质量，G 为引力常量，m 为卫星质量 另有 gRGM 2 0 (2) 由图可知 0 cosRR (3) 由以上各式，可解得 31 2 0 2 4 arccos gT R (4) 取 T = 23 小时 56 分 4 秒（或近似取 T = 24 小时） ，代入数值，可得 3 .81 （5） 由此可知，卫星的定位范围在东经 7 .533 .810 .135到 3 .1563 .810 .75之间的上空 评分标准 本题 15 分 （1） 、 （2） 、 （3）式各 2 分，(4) 、(5)式共 2 分，得出最后结论再给 7 分 五、 用 E 和 I 分别
14、表示 abdc 回路的感应电动势和感应电流的大小， 根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可 知 12 vv BlE (1) R I 2 E (2) 令 F 表示磁场对每根杆的安培力的大小，则 IBlF (3) 令 a1和 a2分别表示 ab 杆、cd 杆和物体 M 加速度的大小，T 表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知 1 maF (4) 2 maTMg (5) 2 maFT (6) R R0 O S 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 9 页 由以上各式解得 Rm lB a 2 12 22 1 vv (7) RmM lBMgR a 2 2 12 22 2 vv (8) 评分标准 本题 15
15、 分 （1）式 3 分， （2）式 2 分， （3）式 3 分， （4） 、 （5） 、 （6）式各 1 分， （7） 、(8)式各 2 分 六、 把酒杯放平， 分析成像问题 1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1和 n01在图 1 中，P 为画片中心，由 P 发出经 过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中； 由P发出的与PO成角的另一光线PA在A处折射 设 A 处入射角为 i，折射角为 r，半径 CA 与 PO 的夹角为，由折射定律和几何关系可得 rninsinsin 01 i2 在PAC 中，由正弦定理，有 i PCR sinsin 3 考虑近轴光线成像，、i、r 都是
16、小角度，则有 i n n r 0 1 (4) i PC R (5) 由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R 的数值及cmCOPOPC8 . 4，可得 i31. 1 6 ir56 . 1 由6、式有 r 由上式及图 1 可知，折射线将与 PO 延长线相交于 P ， P 即为 P 点的实像画面将成实像于 P 处 在CA P中，由正弦定理有 r PCR sinsin (9) 又有 r 考虑到是近轴光线，由9)、式可得 R r r PC (11) 图预解 71 O i C A P r P n1 n0=1 图 1 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 10 页 又有 RPCPO (12)
17、由以上各式并代入数据，可得 cmPO9 . 7 (13) 由此可见， 未斟酒时， 画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处 已知O到杯口平面的距离为8.0cm， 当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物 2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为 n1和 n2，如图 2 所示，考虑到近轴光线 有 i n n r 2 1 (14) 代入 n1和 n2的值，可得 ir16. 1 15 与式比较，可知 r 16 由上式及图 2 可知，折射线将与 OP 延长线相交于 P ， P 即为 P 点的虚像画面将成虚像于 P 处计算 可得 R r r PC (17
18、) 又有 RPCPO (18) 由以上各式并代入数据得 P O 13cm （19） 由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于 P处，距 O 点 13cm即距杯口 21cm虽然该虚像还要因酒 液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离， 但仍然离杯口处足够远， 所以人眼在杯口处向杯底方向观看时， 可以看到画片上景物的虚像 评分标准: 本题 15 分求得（13）式给 5 分，说明“看不出”再给 2 分；求出（19）式，给 5 分，说明“看到” 再给 3 分 七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A 沿竖直方向运动， 设其速度为 vA，B 沿水平方向运动，设其速度为 vB若以 B 为参考系，从 B
19、观测，则 A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为 R 的圆周 运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为 VA杆相对地面的速度是杆相对 碗的速度与碗相对地面的速度的合速度， 速度合成的矢量图如图中的平行四边 形所示由图得 A Vvsin A (1) BAcos vV (2) C i r A 图 2 P O P n1 n2 O R vB vA VA A B 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 11 页 因而 cot AB vv (3) 由能量守恒 2 BB 2 AAA 2 1 2 1 cosvvmmgRm (4) 由(3)、(4) 两式及 AB 2mm得 2 A cos1 co
20、s2 sin gR v (5) 2 B cos1 cos2 cos gR v (6) 评分标准： 15）分 （1） 、 （2）式各 3 分， （4）式 5 分， （5） 、 （6）两式各 2 分 八、设 B、C 右方无穷组合电路的等效电阻为 BC R，则题 图中通有电流的电路可以简化为图 1 中的电路B、C 右 方的电路又可简化为图 2 的电路，其中 CB R 是虚线右方 电路的等效电阻由于 B 、 C 右方的电路与 B、C 右方 的电路结构相同，而且都是无穷组合电路， 故有 CBBC RR (1) 由电阻串、并联公式可得 CB CB BC R R R 2 2 1 (2) 由式(1)、(2)两
21、式得 02 2 BCBC RR 解得 0 . 2 BC R (3) 图 1 所示回路中的电流为 AAI10. 0 2183010 241020 (4) 电流沿顺时针方向。 设电路中三个电容器的电容分别为 C1、C2和 C3，各电容器极板上的电荷分别为 Q1、Q2和 Q3，极性如 图 3 所示由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即 0 231 QQQ (5) A、E 两点间的电势差 3 3 1 1 C Q C Q UU EA (6) 2 Q 10V 18 Q 24V 20V 10 Q C C2 B A C D C3 E 30 图 3 20V 30 10 24V 18 10V
22、BC R B C B C CB R 1.0 2.0 B C 图 1 图 2 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 12 页 又有 VVUU EA 0 . 710. 03010 （7） B、E 两点间的电势差 3 3 2 2 C Q C Q UU EB （8） 又有 V26V10. 02024 EB UU （9） 根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 式并代入 C1、C2和 C3之值后可得 C103 . 1 4 3 Q （10） 即电容器 C3与 E 点相接的极板带负电，电荷量为C103 . 1 4 评分标准： 17 分求得（3）式给 3 分， （4）式 1 分， （5） 、 （6）
23、 、 （7） 、 （8） 、 （9） 、 （10）式各 2 分，指出所 考察的极板上的电荷是负电荷再给 1 分 九、设从烧断线到砝码 1 与弹簧分离经历的时 间为t， 在这段时间内， 各砝码和砝码托盘的受 力情况如图 1 所示：图中，F 表示t 时间内任 意时刻弹簧的弹力， T 表示该时刻跨过滑轮组的 轻绳中的张力，mg 为重力，T0为悬挂托盘的绳 的拉力因 D 的质量忽略不计，有 TT2 0 (1) 在时间t 内任一时刻，砝码 1 向上运动，托盘向下运动，砝码 2、3 则向上升起，但砝码 2、3 与托盘 速度的大小是相同的设在砝码 1 与弹簧分离的时刻，砝码 1 的速度大小为 v1，砝码 2
24、、3 与托盘速度的 大小都是 v2，由动量定理，有 1 vmII mgF (2) 2 vmII mgT (3) 2 vmII mgT (4) 2 0 vmIII TmgF (5) 式中 IF、Img、IT、 0 T I分别代表力 F、mg、T、T0在t 时间内冲量的大小。注意到式(1)，有 TT II2 0 (6) 由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得 12 3 1 vv (7) 在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码 1 一起向上运动，下端与托盘一起向下运动以l1表示在t 图 1 F mg 1 T mg 2 T mg 3 F T0 mg 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第 13
25、 页 时间内弹簧上端向上运动的距离，l2表示其下端向下运动的距离由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘 的速度都为砝码 1 的速度的 1/3，故有 12 3 1 ll (8) 另有 021 lll (9) 在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有 221 2 2 2 1 2 0 2 2 1 3 2 1 2 1 lmglmglmgmmklvv (10) 由(7)、(8)、(9)、(10) 式得 0 2 0 2 1 2 1 2 3 mglkl m v (11) 砝码 1 与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为 t1，有 11 gtv (12)
26、砝码 2、3 和托盘的受力情况如图 2 所示，以a表示加速度的大小，有 maTmg (13) maTmg (14) mamgT 0 (15) TT2 0 （16） 由 (14)、(15) 和(16)式得 ga 3 1 (17) 托盘的加速度向上，初速度 v2向下，设经历时间 t2，托盘速度变为零，有 22 atv (18) 由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得 g tt 1 21 v (19) 即砝码 1 自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等由对称性可知， 当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历 t1，砝码与弹簧相遇题中要求的时间 1 2tt 总 (20) 由 (11)、(12)、(20) 式得 0 2 0 2 1 2 32 mglkl mg t总 (21) 评分标准： 本题 18 分.求得（7）式给 5 分，求得（11）式给 5 分， （17） 、 （19） 、 （20） 、 （21）式各 2 分 T mg 2 T mg 3 T0 mg 图 2
