1、四柱坐标系与球坐标系简介【自主预习自主预习】1.1.柱坐标系柱坐标系如图如图,在柱坐标系中在柱坐标系中,:_:_:_:_z:_z:_范围范围:0,_,_z _.:0,_,_z _.|OQ|OQ|xOQxOQQPQP0 022-+2.2.球坐标系球坐标系如图如图,在球坐标系中在球坐标系中,r:_r:_:_:_:_:_范围范围:r0,_,_.:r0,_,_.|OP|OP|zOPzOPxOQxOQ0002023.3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P P的直角坐的直角坐标为标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),球坐标为球坐标为
2、(r,(r,),),则则空间直角坐标空间直角坐标(x,y,z)(x,y,z)转换公式转换公式柱坐标柱坐标(,z)(,z)球坐标球坐标(r,)(r,)coscossinsinz zrsinrsincoscosrsinrsinsinsinrcosrcos【即时小测即时小测】1.1.柱坐标系中柱坐标系中,点的柱坐标点的柱坐标 化为直角坐标为化为直角坐标为()A.(2,2,3)A.(2,2,3)B.(2,3,0)B.(2,3,0)C.(0,2,3)C.(0,2,3)D.(2,0,3)D.(2,0,3)(2,3)2【解析解析】选选C.C.设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z
3、),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),因为因为(,z)=(,z)=(2,3)2x2cos2xcosx0ysiny2siny22zzz3.z3 ，由，得，即，所以点所以点P P 的直角坐标为的直角坐标为(0,2,3).(0,2,3).(2,3)22.2.将球坐标将球坐标 化为直角坐标为化为直角坐标为()A.(1,1)A.(1,1)B.(1,0)B.(1,0)C.(1,0,)C.(1,0,)D.(0,1)D.(0,1)(2)3 2，3333【解析解析】选选D.D.点的球坐标点的球坐标(r,(r,),)化为直角坐标为化为直角坐标为(x,y,z)=(rsin(x,y,z)=(rsincos,rsin
4、cos,rsinsin,rcossin,rcos),),所以所以 化为直角坐标为化为直角坐标为 (2)3 2，(2sincos,2sinsin,2cos)(0,3,1).32323【知识探究知识探究】探究点探究点柱坐标系与球坐标系柱坐标系与球坐标系1.1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点有什么特点?提示提示:(1)(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景为背景,柱坐标系在平面柱坐标系在平面xOyxOy内构造平面极坐标系内构造平面极坐标系,球坐球坐标系是构造点标系是构造点P P到原点
5、的距离到原点的距离|OP|=r|OP|=r与射线与射线OzOz构成极坐构成极坐标系标系,且且OPOP在平面在平面xOyxOy内的射影与射线内的射影与射线OxOx也构成平面极也构成平面极坐标系坐标系.(2)(2)点点P P的直角坐标是有序实数组的直角坐标是有序实数组(x,y,z),(x,y,z),柱坐标是含柱坐标是含有一个极角的有序数组有一个极角的有序数组(,z),(,z),球坐标是含有两个球坐标是含有两个极角的有序数组极角的有序数组(r,(r,).,).2.2.要刻画空间一点的位置要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什就距离和角的个数来说有什么限制么限制?提示提示:空间点的坐标都是三个
6、数值空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离至少有一个是距离.【归纳总结归纳总结】1.1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱柱坐标系中一点在平面坐标系中一点在平面xOyxOy内的坐标是极坐标内的坐标是极坐标,竖坐标和竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中球坐标系中,则以一点则以一点到原点的距离和两个角到原点的距离和两个角(高低角、极角高低角、极角)刻画点的位置刻画点的位置.2.2.对球坐标系的三点说明对球坐标系的三点说明(
7、1)(1)在球心为在球心为O,rO,r为半径的球中为半径的球中,建立球坐建立球坐标系标系,如图如图,其中其中,|OP|=r,|OP|=r与射线与射线OzOz构成极坐标系构成极坐标系,且且OPOP在平面在平面xOyxOy内的射影内的射影OQOQ与射线与射线OxOx也构成极坐标系也构成极坐标系,所所以球坐标系也称为空间极坐标系以球坐标系也称为空间极坐标系.(2)(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在在测量实践中测量实践中,球坐标球坐标P(r,P(r,),)中的角中的角称为被测点称为被测点P P的方位角的方位角,90,90-称为高低角称为高低角.(
8、3)(3)在球坐标系中在球坐标系中,方程方程r=rr=r0 0(r(r0 0为正常数为正常数)表示球心在表示球心在原点原点,半径为半径为r r0 0的球面的球面;方程方程=0 0(0(00 02)2)表示过表示过z z轴的半平面轴的半平面,且与平且与平面面xOzxOz所成的二面角为所成的二面角为0 0;方程方程=0 0(0(00 0)表示顶点在原点表示顶点在原点,半顶角为半顶角为0 0的的“圆锥面圆锥面”,其中心轴为其中心轴为z z轴轴,当当0 0=时时,“,“圆锥圆锥面面”为平面为平面xOy;xOy;当当0 0 时时,“,“圆锥面圆锥面”在平面在平面xOyxOy下方下方.222类型一类型一柱
9、坐标与直角坐标的转化柱坐标与直角坐标的转化【典例典例】把点把点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标.3【解题探究解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?提示提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式直角坐标与柱坐标互化的依据是公式xcosysinzz.，【解析解析】点点P P的直角坐标的直角坐标(2,2 ,4)(2,2 ,4)化为柱坐标化为柱坐标 解得解得 所以点所以点P P的柱坐标为的柱坐标为 2cos,2 3sin,z4,4z43 ，(44).3，3【方法技巧方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式点的柱坐标与直
10、角坐标的互相转化公式设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),(1)(1)柱坐标化为直角坐标的公式为柱坐标化为直角坐标的公式为即柱坐标即柱坐标(,z)(,z)的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z)=(cos,(x,y,z)=(cos,sin,z).sin,z).xcos ysin zz ，(2)(2)直角坐标化为柱坐标的公式为直角坐标化为柱坐标的公式为即直角坐标即直角坐标(x,y,z)(x,y,z)的柱坐标为的柱坐标为 其中其中,且且的终边经过的终边经过(x,y).(x,y).22xyytan x0 x ，（），22(z)=(x+
11、yz)，ytan x0 x（），【变式训练变式训练】1.1.将点的柱坐标将点的柱坐标 化为直角坐标化为直角坐标为为()A.(,1,-1)A.(,1,-1)B.(,-1,-1)B.(,-1,-1)C.(-,1,-1)C.(-,1,-1)D.(-,-1,-1)D.(-,-1,-1)5(2,1)63333【解析解析】选选C.C.因为因为M M点的柱坐标为点的柱坐标为 设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),所以所以 即即 所以所以 5(2,1)6 ，5x2cos,65y2sin,6z1,x3,y1,z1.M311.（，）2.2.将点的直角坐标将点的直角坐标(-,-3,4
12、)(-,-3,4)化为柱坐标为化为柱坐标为_._.3【解析解析】设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为(,z),(,z),因为因为(x,y,z)=(-,-3,4),(x,y,z)=(-,-3,4),由公式由公式 且且的终边经过点的终边经过点(-,-3),(-,-3),故故=,=,322yxy2 3,tan3x ，343所以点的直角坐标所以点的直角坐标(-,-3,4)(-,-3,4)化为柱坐标为化为柱坐标为 .答案答案:34(2 3,4)34(2 3,4)3类型二类型二球坐标与直角坐标的转化球坐标与直角坐标的转化【典例典例】已知点已知点M M的球坐
13、标为的球坐标为 求它的直角坐标求它的直角坐标.(1)3 6，【解题探究解题探究】球坐标与直角坐标互化的依据是什么球坐标与直角坐标互化的依据是什么?提示提示:球坐标与直角坐标互化的依据是公式球坐标与直角坐标互化的依据是公式xrsin cos,yrsin sin,zrcos.【解析解析】设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),因为点因为点M M的球坐标为的球坐标为 所以所以 所以所以M M的直角坐标为的直角坐标为 (1,)3 6，331xsincosysinsinzcos,36436432，33 1(,).442【延伸探究延伸探究】1.1.若点若点M M的球坐标变为的
14、球坐标变为 则它的直角坐标是什么则它的直角坐标是什么?2(1,)33，【解析解析】因为因为 故直角坐标为故直角坐标为 23xsincos334，231ysinsinzcos33432，3 3 1(,).44 22.2.求点求点M M的柱坐标的柱坐标.【解析解析】设点设点M M的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),因为点因为点M M的球坐标为的球坐标为 所以所以所以所以M M的直角坐标为的直角坐标为 (1,)3 6，331xsincosysinsinzcos,36436432，33 1(,)442，所以所以 由由 02,02,得得 故柱坐标为故柱坐标为 2222333xy()(
15、),442 3y34tan,3x34 6，31(,).26 2【方法技巧方法技巧】点的球坐标与直角坐标的互相转化公式点的球坐标与直角坐标的互相转化公式设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),球坐标为球坐标为(r,(r,),),(1)(1)球坐标化为直角坐标的公式为球坐标化为直角坐标的公式为xrsin cos yrsin sin zrcos，即球坐标即球坐标(r,(r,),)的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z)=(x,y,z)=(rsin(rsincos,rsincos,rsinsin,rcossin,rcos).).(2)(2)直角坐标化为球坐标的公式为直角坐标
16、化为球坐标的公式为222rxyzzcos 0rytan x0 02 x ，（），（，），即直角坐标即直角坐标(x,y,z)(x,y,z)化为球坐标的步骤为化为球坐标的步骤为:先求先求 再求再求,最后求最后求,将球坐标表示为将球坐标表示为(r,(r,).,).222OPrxyz，【变式训练变式训练】1.1.在球坐标系中在球坐标系中,点的球坐标点的球坐标(2,0)(2,0)化为直角坐标为化为直角坐标为()A.(0,0,2)A.(0,0,2)B.(0,0,-2)B.(0,0,-2)C.(0,2,0)C.(0,2,0)D.(0,-2,0)D.(0,-2,0)【解析解析】选选B.B.点的球坐标点的球坐标
17、(r,(r,),)化为直角坐标为化为直角坐标为(x,y,z)=(rsin(x,y,z)=(rsincos,rsincos,rsinsin,rcossin,rcos),),所以球坐标所以球坐标(2,0)(2,0)化为直角坐标为化为直角坐标为(2sincos0,(2sincos0,2sinsin0,2cos)=(0,0,-2).2sinsin0,2cos)=(0,0,-2).2.2.求球坐标求球坐标 对应的点的直角坐标与柱坐标对应的点的直角坐标与柱坐标.【解析解析】因为点的球坐标为因为点的球坐标为 所以所以(2,)6 3 x2sincos63y2sinsin63z2cos6，(2,)6 3，即球坐
18、标即球坐标 对应的点的直角坐标是对应的点的直角坐标是 又由又由 得得即对应点的柱坐标是即对应点的柱坐标是 (2,)6 3 13(,3).221cos,23sin,2z3 ，1,3z3 ，(1,3).3自我纠错自我纠错坐标互化公式的应用坐标互化公式的应用【典例典例】求直角坐标求直角坐标 对应的球坐标对应的球坐标.(2,6,2 2)【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:出错的根本原因是判断角出错的根本原因是判断角的终边所在的象限的终边所在的象限,求求值时出错值时出错.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析解析】由由(x,y,z)=,(x,y,z)=,得得 由由z=rcosz=rcos(0(0),),得得 由由 (2,6,2 2)222r(2)(6)(2 2)4,2 22cos,424 得6tan 3,2 及及的终边过点的终边过点 得得 故点的直角坐标故点的直角坐标 化为球坐标为化为球坐标为 (2,6),5,3(2,6,2 2)5(4,).43
