1、第一讲坐标系一平面直角坐标系【自主预习自主预习】1.1.直角坐标系直角坐标系(1)(1)数轴数轴.定义定义:规定了原点、正方向和规定了原点、正方向和_的直线的直线.对应关系对应关系:数轴上的点与数轴上的点与_之间一一对应之间一一对应.单位长度单位长度实数实数(2)(2)直角坐标系直角坐标系.定义定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系简称直角坐标系.相关概念相关概念:数轴的正方向数轴的正方向:水平放置的数轴水平放置的数轴_的方向、竖直放的方向、竖直放置的数轴置的数轴_的方向分别是数轴的正方
2、向的方向分别是数轴的正方向.向右向右向上向上x x轴或横轴轴或横轴:坐标轴坐标轴_的数轴的数轴.y y轴或纵轴轴或纵轴:坐标轴坐标轴_的数轴的数轴.坐标原点坐标原点:坐标轴的坐标轴的_._.对应关系对应关系:平面直角坐标系内的点与平面直角坐标系内的点与_之间一一对应之间一一对应.水平水平竖直竖直公共原点公共原点O O有序实数对有序实数对(x,y)(x,y)公式公式:设平面直角坐标系中设平面直角坐标系中,点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),线段线段P P1 1P P2 2的中点为的中点为P,P,填表填表:两点间的距离公式两点间的距离公
3、式中点中点P P的坐标公式的坐标公式|P|P1 1P P2 2|=_|=_221212(xx)(yy)1212xxyy(22，）2.2.平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换设点设点P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换在变换:_:_的作用下的作用下,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,P(x,y),y),称称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称简称伸缩变换伸缩变换.xx(0)yy(0)，【即时小测即时小测】1.1.函数函数y=ln|x|y=ln|x|的图象为的图象为()【解析解析
4、】选选D.D.函数函数y=ln|x|y=ln|x|是偶函数是偶函数,图象关于图象关于y y轴对称轴对称,又又y=lnxy=lnx在在(0,+(0,+)上为增函数上为增函数,故选故选D.D.2.2.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后,对应曲线的方程对应曲线的方程为为:x:x2 2+y+y2 2=1,=1,则曲线则曲线C C的方程为的方程为()1xx,2y3y 22222222xyA.9y1 B.4x149xyC.1 D.4x9y149【解析解析】选选A.A.曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换 后后,对应对应曲线的方程为曲线的方程为xx2 2+y+y2 2=1=1,把代入得到把代入得
5、到:+9y:+9y2 2=1.=1.1xx,2y3y 2x4【知识探究知识探究】探究点探究点平面直角坐标系中点的位置平面直角坐标系中点的位置1.1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?提示提示:平面直角坐标系内的点平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正第一象限符号全正,第二第二象限横坐标为负象限横坐标为负,纵坐标为正纵坐标为正,第三象限全负第三象限全负,第四象限第四象限横坐标为正横坐标为正,纵坐标为负纵坐标为负,即一三同号即一三同号,二四异号二四异号.2.2.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?提示提示:不一定不一
6、定.伸缩变换对原点的位置没有影响伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会但是会改变除原点外的点的坐标和位置改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限变换后仍在原来的象限.【归纳总结归纳总结】1.1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台状和位置的平台.建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,常常利用垂直常常利用垂直直线为坐标轴直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征充分利用图形的对称性等特征.2.2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换的类型与特
7、点伸缩变换包括点的伸缩变换伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换以及曲线的伸缩变换,曲曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.特别提醒特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置实数就能确定数轴上一个点的位置.类型一类型一坐标法求轨迹方程坐标法求轨迹方程【典例典例】已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a,2a,若若BCBC的中线为定长的中线为定长m,m,求顶点求顶点C C的
8、轨迹方程的轨迹方程.【解题探究解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么求轨迹方程的一般步骤是什么?提示提示:建系建系-设点设点-列条件列条件-得方程、整理得方程、整理.【解析解析】由题意由题意,以线段以线段ABAB的中点为原点的中点为原点,AB,AB边所在的边所在的直线为直线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,如图所示如图所示,则则A(-a,0),B(a,0).A(-a,0),B(a,0).设设C(x,y),C(x,y),则线段则线段BCBC的中点为的中点为 因为因为|AE|=m,|AE|=m,所以所以 xa yE(,).2222xay(a)()m22，化简得化简得(x+3a)(x+3a)2
9、 2+y+y2 2=4m=4m2 2.由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时上时,不能构成三角形不能构成三角形,故去掉曲线与故去掉曲线与x x轴的两个交点轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2(y0).(y0).(建系不同建系不同,轨迹方程不同轨迹方程不同)【方法技巧方法技巧】1.1.建立平面直角坐标系的技巧建立平面直角坐标系的技巧(1)(1)如果平面几何图形有对称中心如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为可以选对称中心为坐标原点坐标原点.(2)(2)如果平面几何图形有对称轴如果平面几何图形有对称轴,可以选
10、择对称轴为坐可以选择对称轴为坐标轴标轴.特别提醒特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上标轴上.2.2.运用解析法解决实际问题的步骤运用解析法解决实际问题的步骤(1)(1)建系建系建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系.建系原则是利于运建系原则是利于运用已知条件用已知条件,使表达式简明使表达式简明,运算简便运算简便.因此因此,要充分利要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)(2)建模建模选取一组基本量选取一组基本量,用字母表示出题目涉及用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程的点的坐标和曲线的方程.
11、(3)(3)运算运算通过运算通过运算,得到所需要的结果得到所需要的结果.(4)(4)回归回归回归到实际问题作答回归到实际问题作答.【变式训练变式训练】1.1.已知点已知点(5-m,3-2m)(5-m,3-2m)不在第四象限不在第四象限,求实求实数数m m的取值范围的取值范围.【解析解析】若点若点(5-m,3-2m)(5-m,3-2m)在第四象限在第四象限,则则5-m0,5-m0,且且3-2m0,3-2m0,解得解得 m5,m5,故点故点(5-m,3-2m)(5-m,3-2m)不在第四象限时不在第四象限时,实数实数m m的取值范围是的取值范围是m m 或或m5.m5.32322.2.四边形四边形
12、ABCDABCD为矩形为矩形,P,P为矩形为矩形ABCDABCD所在平面内的任意所在平面内的任意一点一点,求证求证:PA:PA2 2+PC+PC2 2=PB=PB2 2+PD+PD2 2.【证明证明】如图所示如图所示,以以A A为原点为原点,AB,AB所在直线为所在直线为x x轴轴,AD,AD所在所在直线为直线为y y轴轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,设设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),则则PAPA2 2=x=x2 2+y+y2 2,PB,PB2 2=(x-a)=(x-a)2
13、2+y+y2 2,PCPC2 2=(x-a)=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2,PD,PD2 2=x=x2 2+(y-b)+(y-b)2 2.所以所以PAPA2 2+PC+PC2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2-2ax-2by+a-2ax-2by+a2 2+b+b2 2,PBPB2 2+PD+PD2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2-2ax-2by+a-2ax-2by+a2 2+b+b2 2.故故PAPA2 2+PC+PC2 2=PB=PB2 2+PD+PD2 2.类型二类型二伸缩变换公式与应用伸缩变换公式与应用【典例典例】求曲线求曲线x x2 2+y+y2 2=1
14、=1经过经过:变换后得到的变换后得到的新曲线的方程新曲线的方程.x3x,y4y 【解题探究解题探究】如何求变换后的新曲线的方程如何求变换后的新曲线的方程?提示提示:将将x,yx,y表示出来表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的代入到原方程即可得到新曲线的方程方程.【解析解析】曲线曲线x x2 2+y+y2 2=1=1经过经过:变换后变换后,即即 代入到圆的方程代入到圆的方程,可得可得 即所求新曲线的方程为即所求新曲线的方程为 x3x,y4y xx3yy4，22xy1916，22xy1916【延伸探究延伸探究】1.1.若曲线若曲线C C经过经过 变换后得到圆变换后得到圆x x2 2+y+y2 2
15、=1,=1,求曲线求曲线C C的方程的方程.1xx21yy3 ，【解析解析】将将 代入到方程代入到方程xx2 2+y+y2 2=1,=1,得得 即曲线即曲线C C的方程的方程.1xx21yy3 ，22xy149，2.2.若圆若圆x x2 2+y+y2 2=1=1经过变换经过变换后得到曲线后得到曲线 求变换求变换的坐标变换公式的坐标变换公式.22xyC1,2516：【解析解析】设设:代入到代入到CC中得中得 与圆的方程比较得与圆的方程比较得=5,=4.=5,=4.故故的变换公式为的变换公式为xxyy ，2222xy12516，x5xy4y.，【方法技巧方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法与伸缩
16、变换相关问题的处理方法(1)(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲求变换后的曲线方程的方法线方程的方法:利用伸缩变换用利用伸缩变换用(x,y)(x,y)表示出表示出(x,y),(x,y),代入变换前的曲线方程代入变换前的曲线方程.(2)(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲求变换前的曲线方程线方程:利用伸缩变换用利用伸缩变换用(x,y)(x,y)表示表示(x,y),(x,y),代入变代入变换后的曲线方程换后的曲线方程.(3)(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后将变换
17、前后的方程变形的方程变形,确定出确定出(x,y)(x,y)与与(x,y)(x,y)的关系即为所求的关系即为所求的伸缩变换的伸缩变换,也可用待定系数法也可用待定系数法.【补偿训练补偿训练】1.(20161.(2016蚌埠高二检测蚌埠高二检测)在同一平面直在同一平面直角坐标系中角坐标系中,经过伸缩变换经过伸缩变换 后后,曲线曲线C C变为曲线变为曲线xx2 2+y+y2 2=1,=1,则曲线则曲线C C的方程为的方程为()x4xy3y，22222222A 9x16y1 B 16x9y1xyxyC1 D1169916【解析解析】选选B.B.设曲线设曲线C C上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为P(x
18、,y),P(x,y),按按:变换后的对应的坐标为变换后的对应的坐标为P P(x(x,y,y),),代入代入x x2 2+y+y2 2=1,=1,得得16x16x2 2+9y+9y2 2=1.=1.x4xy3y，2.2.将曲线将曲线y=sin(2016x)y=sin(2016x)按按:变换后的曲线变换后的曲线与直线与直线x=0,x=,y=0 x=0,x=,y=0围成图形的面积为围成图形的面积为_._.x2 016x1yy2，【解析解析】设曲线设曲线y=sin(2016x)y=sin(2016x)上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为P(x,y),P(x,y),按按变换后的对应点的坐标为变换后的对应
19、点的坐标为P(x,y),P(x,y),由由:代入代入y=sin(2016x),y=sin(2016x),得得2y=sinx,2y=sinx,所以所以y=sinx,y=sinx,即即y=sinx,y=sinx,所以所以y=sinxy=sinx与直线与直线x=0,x=,y=0 x=0,x=,y=0围成图围成图1x2 016xxx2 0161yyy2y2，得，121212形的面积为形的面积为S=S=答案答案:1 100111sin xdxcos x|(coscos 0)1222 自我纠错自我纠错伸缩变换公式的应用伸缩变换公式的应用【典例典例】将曲线将曲线 按照按照:变换为曲线变换为曲线 求曲线求曲线
20、y=cos4xy=cos4x在在变换后变换后的曲线的最小正周期与最大值的曲线的最小正周期与最大值.y3sin(2x)3xx0yy0 ，（），（）ysinx3（），【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方错误代入方程程.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析解析】由由:得得:将曲线将曲线 按照按照:变换为曲线的方程为变换为曲线的方程为 xx0yy0 ，（），（），1xx01yy0 ，（），（），y3sin2x3（）xx0yy0 ，（），（）2y3 sinx3 （），由题意由题意,得得3=1,3=1,故故=2,=2,则曲线则曲线y=cos4xy=cos4x在在变换后的曲线的方程为变换后的曲线的方程为 所以变换后的曲线的最小正周期为所以变换后的曲线的最小正周期为,最大值为最大值为 21，1.3 1ycos 2x3，1.3
