1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 【自主预习自主预习】 1.1.复数的有关概念复数的有关概念 (1)(1)复数复数 定义定义: :形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数, ,其中其中i i叫做叫做 _,_,满足满足i i2 2= _,a= _,a叫做复数的叫做复数的_,b_,b叫做复叫做复 数的数的_._. 虚数单位虚数单位 - -1 1 实部实部 虚部虚部 表示方法表示方法: :复数通常用复数通常用_表示表示, ,即即_ _,_,这一表示形式叫做复数的代数形式这一表示形式叫做复数的代数形式.
2、. 字母字母z z z=a+bi(a,bz=a+bi(a,b R)R) (2)(2)复数集复数集 定义定义:_:_所成的集合叫做复数集所成的集合叫做复数集. . 表示表示: :通常用大写字母通常用大写字母C C表示表示. . 全体复数全体复数 2.2.复数的分类复数的分类 (1)(1)对于复数对于复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)而言而言, , z z为实数为实数b=0,b=0, z z为虚数为虚数b0,b0, z z为纯虚数为纯虚数 a0, b0. (2)(2)集合表示集合表示: : 3.3.复数相等的充要条件复数相等的充要条件 设设a,b,c,da,b,c,d都是实数都是
3、实数, ,那么那么a+bi=c+dia+bi=c+di_._. a=ca=c且且b=db=d 【即时小测即时小测】 1. i1. i- -1 1的实部和虚部分别是的实部和虚部分别是 ( ( ) ) A. ,A. ,- -1 B.1 B.- -1, 1, C.1, D. ,1C.1, D. ,1 【解析解析】选选B. iB. i- -1=1=- -1+ i=a+bi,1+ i=a+bi, 所以实部所以实部a=a=- -1,1,虚部虚部b= .b= . 5 55 5 55 5 5 2.3i2.3i2 2+7i+7i的实部为的实部为_,_,虚部为虚部为_._. 【解析解析】因为因为3i3i2 2+7
4、i=+7i=- -3+7i,3+7i,所以实部为所以实部为- -3,3,虚部为虚部为7.7. 答案答案: :- -3 3 7 7 3.3.如果复数如果复数z=(az=(a2 2- -1)+(a1)+(a- -1)i1)i为纯虚数为纯虚数, ,则则a a的值等于的值等于 _._. 【解析解析】由题意知由题意知 解得解得a=a=- -1.1. 答案答案: :- -1 1 2 a10, a 10 ， 4.4.若若x,yx,y为实数且满足为实数且满足(2x(2x- -y)i+(xy)i+(x- -y)=3+2i,y)=3+2i,则则 x=_,y=_.x=_,y=_. 【解析解析】由题意知由题意知 解得
5、解得 答案答案: :- -1 1 - -4 4 2xy2, xy3. x1, y4. 【知识探究知识探究】 探究点探究点1 1 复数的有关概念复数的有关概念 1.1.复数复数a+bia+bi的实部是的实部是a,a,虚部是虚部是b b吗吗? ? 提示提示: :不一定不一定, ,只有当只有当a,ba,bR R时时,a,a才是实部才是实部,b,b才是虚部才是虚部. . 2.i2.i可以与任何实数作任何运算吗可以与任何实数作任何运算吗? ? 提示提示: :不可以不可以.i.i既然与实数之间建立了四则运算关系既然与实数之间建立了四则运算关系, , 运算与实数一致运算与实数一致, ,由于在实数运算中由于在
6、实数运算中0 0不能作除数不能作除数, ,故故i i 不可以除以任何实数不可以除以任何实数. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.数系扩充的脉络数系扩充的脉络 自然数系自然数系整数系整数系有理数系有理数系实数系实数系复数系复数系. . 2.2.虚数单位虚数单位i i性质的两个关注点性质的两个关注点 (1)i(1)i2 2= =- -1 1的理解的理解: :并没有规定并没有规定i=i= 还是还是i= i= 或或 i=i=- - . . 11 1 (2)i(2)i与实数之间可以进行四则运算与实数之间可以进行四则运算: :这条性质是数系扩这条性质是数系扩 充的原则之一充的原则之一, ,这里只提到加、乘
7、运算这里只提到加、乘运算, ,没提到减、除没提到减、除 运算运算, ,并不是对减法与除法不成立并不是对减法与除法不成立, ,而是为了与后面讲而是为了与后面讲 复数的四则运算时复数的四则运算时, ,只对加法、乘法法则作出规定只对加法、乘法法则作出规定, ,而而 把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致. . 特别提醒特别提醒: :数系扩充后在复数的代数形式数系扩充后在复数的代数形式a+bia+bi的表示中的表示中 注意注意a,bRa,bR这一条件这一条件. . 探究点探究点2 2 复数的分类复数的分类 1.a=01.a=0是是z=a+bi(a,
8、bR)z=a+bi(a,bR)为纯虚数的什么条件为纯虚数的什么条件? ? 提示提示: :当当a=0,b=0a=0,b=0时时z=0z=0R;a=0,bR;a=0,b0 0时时,z,z为纯虚数为纯虚数, ,所所 以以a=0a=0是是z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR)R)为纯虚数的必要不充分条件为纯虚数的必要不充分条件. . 2.2.若若z z1 1,z,z2 2R,R, z z1 12 2+ z+ z2 22 2=0,=0,则则z z1 1=z=z2 2=0,=0,此命题对此命题对z z1 1,z,z2 2CC 还成立吗还成立吗? ? 提示提示: :不一定成立不一定成立. .比如比如z
9、 z1 1=1,z=1,z2 2=i=i满足满足z z1 12 2+ z+ z2 22 2=0,=0,但但 z z1 10,z0,z2 20.0. 【归纳总结归纳总结】 1.1.复数分类的依据复数分类的依据 复数分类的依据是虚数单位复数分类的依据是虚数单位i,i,若含有若含有i i则为虚数则为虚数, ,不含不含 有有i i则为实数则为实数; ;对于虚数对于虚数, ,若实部为零若实部为零, ,则又称其为纯虚则又称其为纯虚 数数. . 2.2.两个复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件 (1)(1)在两个复数相等的充要条件中在两个复数相等的充要条件中, ,注意前提条件是注意前提条件是 a,b,c
10、,dR,a,b,c,dR,即当即当a,b,c,dRa,b,c,dR时时,a+bi=c+di,a+bi=c+dia=ca=c且且b=d.b=d. 若忽略前提条件若忽略前提条件, ,则结论不能成立则结论不能成立. . (2)(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来利用该条件把复数的实部和虚部分离出来, ,达到达到 “化虚为实化虚为实”的目的的目的, ,从而将复数问题转化为实数问题从而将复数问题转化为实数问题 来求解来求解. . 易错警示易错警示: :两个复数不一定能比较大小两个复数不一定能比较大小, ,当两个复数都当两个复数都 是实数时是实数时, ,可以比较大小可以比较大小; ;两个虚数、或一个
11、虚数与一两个虚数、或一个虚数与一 个实数不能比较大小个实数不能比较大小, ,即两个复数除去都是实数外即两个复数除去都是实数外, ,没没 有大小关系有大小关系. . 类型一类型一 复数的概念复数的概念 【典例典例】1.1.给出下列三个命题给出下列三个命题: :若若zC,zC,则则z z2 20;0; 2i2i- -1 1虚部是虚部是2i;2i;2i2i的实部是的实部是0.0.其中真命题的个数其中真命题的个数 为为 ( ( ) ) A.0A.0 B.1B.1 C.2C.2 D.3D.3 2.(20162.(2016启东高二检测启东高二检测) )已知复数已知复数z=az=a2 2- -(2(2- -
12、b)ib)i的实部的实部 和虚部分别是和虚部分别是2 2和和3,3,则实数则实数a,ba,b的值分别是的值分别是_._. 3.3.判断下列命题的真假判断下列命题的真假. . (1)(1)若若x,yC,x,yC,则则x+yi=1+2ix+yi=1+2i的充要条件是的充要条件是x=1,y=2.x=1,y=2. (2)(2)若实数若实数a a与与aiai对应对应, ,则实数集与纯虚数集一一对应则实数集与纯虚数集一一对应. . (3)(3)实数集的补集是虚数集实数集的补集是虚数集. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中虚数的平方是否大于等于中虚数的平方是否大于等于0?0?复复 数中的虚部是
13、否一定为实数数中的虚部是否一定为实数? ? 提示提示: :虚数的平方不一定大于等于虚数的平方不一定大于等于0,0,复数中的虚部一定复数中的虚部一定 为实数为实数. . 2.2.典例典例2 2中复数中复数z=az=a2 2- -(2(2- -b)ib)i的实部与虚部分别是什么的实部与虚部分别是什么? ? 提示提示: :实部为实部为a a2 2, ,虚部为虚部为- -(2(2- -b).b). 3.3.典例典例3(1)3(1)中数中数x,yx,y是否一定为实数是否一定为实数? ? 提示提示: :(1)(1)中数中数x,yx,y不一定为实数不一定为实数, ,也可能是虚数也可能是虚数. . 【解析解析
14、】1.1.选选B.B.对于对于, ,当当zRzR时时,z,z2 200成立成立, ,否则不否则不 成立成立, ,如如z=i,zz=i,z2 2= =- -1b,则则a+ib+i;a+ib+i; 若若x x2 2+y+y2 2=0,=0,则则x=y=0;x=y=0; 两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小. . 其中其中, ,正确命题的个数是正确命题的个数是 ( ( ) ) A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 【解析解析】选选B.B.对于对于, ,因为因为i i2 2= =- -1,1,所以所以1+i1+i2 2=0,=0,故正故正 确确. . 对于对于, ,两个虚数不能比
15、较大小两个虚数不能比较大小, ,故错故错. . 对于对于, ,当当x=1,y=ix=1,y=i时时,x,x2 2+y+y2 2=0=0成立成立, ,故错故错. . 正确正确. . 【补偿训练补偿训练】判断下列命题的真假判断下列命题的真假. . (1)(1)复数复数a+bia+bi不是实数不是实数. . (2)(a+bi)(2)(a+bi)2 20.0. (3)(3)复数复数z=3+bi0(bR),z=3+bi0(bR),则则b=0.b=0. 【解析解析】根据复数的有关概念判断命题的真假根据复数的有关概念判断命题的真假. . (1)(1)是假命题是假命题, ,因为当因为当aRaR且且b=0b=0
16、时时,a+bi,a+bi是实数是实数. . (2)(2)假命题假命题, ,当当b0b0时时,(a+bi),(a+bi)2 2是虚数是虚数, ,与零不能比较大与零不能比较大 小小. . (3)(3)只有实数才可以比较大小只有实数才可以比较大小, ,既然有既然有3+bi0,3+bi0,则说明则说明 z=3+biz=3+bi为实数为实数, ,故故b=0,(3)b=0,(3)是真命题是真命题. . 类型二类型二 复数的分类复数的分类 【典例典例】(2016(2016青岛高二检测青岛高二检测) )当实数当实数m m为何值时为何值时, ,复复 数数z= +(mz= +(m2 2- -2m)i2m)i为为(
17、1)(1)虚数虚数.(2).(2)纯虚数纯虚数. . 2 mm6 m 【解题探究解题探究】复数复数z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),在什么条件下在什么条件下z z为为 虚数虚数? ?在什么条件下为纯虚数在什么条件下为纯虚数? ? 提示提示: :当当b b0 0时时z z为虚数为虚数, ,当当a=0,ba=0,b0 0时时z z为纯虚数为纯虚数. . 【解析解析】(1)(1)要使要使z z为虚数为虚数, ,则则m m必须满足必须满足m m2 2- -2m0,2m0,且且 m0,m0, 即即m0m0且且m2,m2,所以当所以当m0m0且且m2m2时复数时复数z z是虚数是虚数.
18、. (2)(2)要使要使z z为纯虚数为纯虚数, , 则则m m必须满足必须满足 解得解得m=m=- -3,3, 即当即当m=m=- -3 3时时, ,复数复数z z是纯虚数是纯虚数. . 2 2 mm 6 0, m m2m0, 【延伸探究延伸探究】 1.1.条件不变条件不变, ,当当m m为何值时为何值时z z为实数为实数? ? 【解析解析】要使要使z z为实数为实数, ,则则m m必须满足必须满足 解得解得m=2,m=2, 即当即当m=2m=2时时, ,复数复数z z是实数是实数. . 2 m2m0, m0, 【解析解析】(1)(1)当当z z为虚数时为虚数时,a,a的取值满足的取值满足
19、所以所以aa1 1且且a6.a6. 2 2 a5a60,a1a6, a1, a10, 且 即 2.2.将复数改为将复数改为 求相应的问题求相应的问题. . 2 2 2 a7a6 z(a5a6)i a1 ， (2)(2)当当z z为纯虚数时为纯虚数时,a,a的取值满足的取值满足 所以所以 所以不存在实数所以不存在实数a a使使z z为纯虚数为纯虚数. . 2 2 2 a5a60, a10, a7a60, a1a6, a1, a6a1, 且 或 【方法技巧方法技巧】解决复数分类问题的方法与步骤解决复数分类问题的方法与步骤 (1)(1)化标准式化标准式: :解题时一定要先看复数是否为解题时一定要先看
20、复数是否为 a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形式的形式, ,以确定实部和虚部以确定实部和虚部. . (2)(2)定条件定条件: :复数的分类问题可以转化为复数的实部与复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题虚部应该满足的条件问题, ,只需把复数化为代数形式只需把复数化为代数形式, , 列出实部和虚部满足的方程列出实部和虚部满足的方程( (不等式不等式) )即可即可. . (3)(3)下结论下结论: :设所给复数为设所给复数为z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR), z z为实数为实数b=0;b=0; z z为虚数为虚数b0;b0;z z为纯虚数为纯虚数
21、a=0a=0且且b0.b0. 【拓展延伸拓展延伸】复数分类的应用复数分类的应用 (1)(1)参数自身参数自身: :判断一个含有参数的复数在什么情况下判断一个含有参数的复数在什么情况下 是实数、虚数、纯虚数是实数、虚数、纯虚数, ,首先要保证参数值使表达式有首先要保证参数值使表达式有 意义意义, ,其次对参数值的取舍其次对参数值的取舍, ,是取是取“并并”还是还是“交交”, ,非非 常关键常关键, ,解答后进行验算是很必要的解答后进行验算是很必要的. . (2)(2)整体与局部整体与局部: :对于复数对于复数z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),既要从整体既要从整体 的角度去认识它
22、的角度去认识它, ,把复数把复数z z看成一个整体看成一个整体, ,又要从实部与又要从实部与 虚部的角度分解成两部分去认识它虚部的角度分解成两部分去认识它. .这是解决复数问题这是解决复数问题 的重要思路之一的重要思路之一. . 【补偿训练补偿训练】实数实数m m取什么值时取什么值时, ,复数复数z=(mz=(m2 2- -3m+2)+3m+2)+ (m(m2 2- -4)i4)i是是: : (1)(1)实数实数.(2).(2)虚数虚数.(3).(3)纯虚数纯虚数. . 【解析解析】(1)(1)要使要使z z为实数为实数, ,必须有必须有m m2 2- -4=0,4=0,得得m=m=- -2
23、2或或m=2,m=2, 即当即当m=m=- -2 2或或m=2m=2时时,z,z为实数为实数. . (2)(2)要使要使z z为虚数为虚数, ,必须有必须有m m2 2- -40,40,即即mm- -2 2且且m2,m2,故当故当 mm- -2 2且且m2m2时时,z,z为虚数为虚数. . (3)(3)要使要使z z为纯虚数为纯虚数, ,必须有必须有 所以所以 所以所以m=1,m=1,所以当所以当m=1m=1时时,z,z为纯虚数为纯虚数. . 2 2 m40, m3m20, m2m2, m1m2, 且 或 类型三类型三 复数相等复数相等 【典例典例】1.1.已知已知x,yx,y均是实数均是实数
24、, ,且满足且满足(2x(2x- -1)+i=1)+i=- -y y- - (3(3- -y)i,y)i,则则x=_,y=_.x=_,y=_. 2.2.已知集合已知集合M=(a+3)+(bM=(a+3)+(b2 2- -1)i,8,1)i,8,集合集合N=3i,(aN=3i,(a2 2- - 1)+(b+2)i,1)+(b+2)i,同时满足同时满足MNMN M,MNM,MN , ,求整数求整数a,b.a,b. 【解题探究解题探究】1.1.复数复数(2x(2x- -1)+i1)+i的实部与虚部分别是多的实部与虚部分别是多 少少? ?复数复数- -y y- -(3(3- -y)iy)i的实部与虚部
25、分别是多少的实部与虚部分别是多少? ? 提示提示: :复数复数(2x(2x- -1)+i1)+i的实部为的实部为2x2x- -1,1,虚部为虚部为1;1;复数复数- -y y- - (3(3- -y)iy)i的实部为的实部为- -y,y,虚部为虚部为- -(3(3- -y).y). 2.2.由条件由条件MNMN M,MNM,MN 能得到的结论是什么能得到的结论是什么? ? 提示提示: :M MN N M M知两个集合知两个集合M,NM,N不能相等不能相等. .由由M MN N 能能 得到两个集合得到两个集合M,NM,N中有公共元素中有公共元素. . 【解析解析】1.1.由复数相等的充要条件得由
26、复数相等的充要条件得 解得解得 答案答案: :- - 4 4 2x 1y, 1y 3. 3 x, 2 y4. 3 2 2.2.由条件由条件MNMN M,MNM,MN , , 得得(a+3)+(b(a+3)+(b2 2- -1)i=3i;1)i=3i; 或或8=(a8=(a2 2- -1)+(b+2)i.1)+(b+2)i. 或或(a+3)+(b(a+3)+(b2 2- -1)i=(a1)i=(a2 2- -1)+(b+2)i.1)+(b+2)i. 由得由得a=a=- -3,b=3,b=2,2, 当当a=a=- -3,b=23,b=2时时,M=3i,8,N=3i,8+4i,M=3i,8,N=3i
27、,8+4i满足题意满足题意. . 经检验经检验,a=,a=- -3,b=3,b=- -2 2不合题意不合题意, ,舍去舍去. . 由得由得b=b=- -2,a=2,a=- -3 3或或b=b=- -2,a=3,2,a=3, 当当b=b=- -2,a=2,a=- -3 3时不合题意时不合题意, ,舍去舍去. . 当当b=b=- -2,a=32,a=3时时,M=6+3i,8,N=3i,8,M=6+3i,8,N=3i,8满足题意满足题意. . 由得由得 得得a,ba,b不是整数舍去不是整数舍去. . 故故a=a=- -3,b=23,b=2或或a=3,b=a=3,b=- -2.2. 2 2 a3a1,
28、 b1b2, 【方法技巧方法技巧】化复为实转化求解化复为实转化求解 应用两个复数相等的充要条件时应用两个复数相等的充要条件时, ,首先要把首先要把“= =”左右左右 两侧的复数写成代数形式两侧的复数写成代数形式, ,即分离出实部与虚部即分离出实部与虚部, ,然后然后 确定两个独立参数方程确定两个独立参数方程, ,化复数问题为实数问题化复数问题为实数问题. . 【变式训练变式训练】已知已知x,yR,(x+2yx,yR,(x+2y- -1)+(x1)+(x- -3y+4)i=103y+4)i=10- -5i,5i, 求求x,y.x,y. 【解析解析】因为因为x,yR,x,yR,所以所以x+2yx+
29、2y- -1,x1,x- -3y+43y+4是实数是实数, ,所以所以 由复数相等的条件得由复数相等的条件得 解得解得 所以所以x=3,y=4.x=3,y=4. x2y 1 10, x3y45, x3, y4. 【补偿训练补偿训练】已知已知P=P=- -1,1,4i,M=1,(m1,1,4i,M=1,(m2 2- -2m)+(m2m)+(m2 2+m+m- - 2)i.2)i.若若MP=P,MP=P,求实数求实数m m的值的值. . 【解析解析】因为因为MP=P,MP=P,所以所以M M P,P, 即即(m(m2 2- -2m)+(m2m)+(m2 2+m+m- -2)i=2)i=- -1 1
30、或或(m(m2 2- -2m)+(m2m)+(m2 2+m+m- -2)i=4i.2)i=4i. 由由(m(m2 2- -2m)+(m2m)+(m2 2+m+m- -2)i=2)i=- -1 1得得m m2 2- -2m=2m=- -1,m1,m2 2+m+m- -2=0,2=0,解得解得 m=1.m=1. 由由(m(m2 2- -2m)+(m2m)+(m2 2+m+m- -2)i=2)i=- -4i4i得得m m2 2- -2m=0,m2m=0,m2 2+m+m- -2=4,2=4,解得解得 m=2.m=2. 综上可知综上可知,m=1,m=1或或m=2.m=2. 自我纠错自我纠错 复数概念的
31、理解复数概念的理解 【典例典例】在下列命题中在下列命题中, ,正确命题的个数是正确命题的个数是 ( )( ) (1)(1)两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小. . (2)(2)若若z z1 1和和z z2 2都是虚数都是虚数, ,且它们的虚部相等且它们的虚部相等, ,则则z z1 1=z=z2 2. . (3)(3)若若a,ba,b是两个相等的实数是两个相等的实数, ,则则(a(a- -b)+(a+b)ib)+(a+b)i必为纯虚数必为纯虚数. . A.0A.0 B.1B.1 C.2C.2 D.3D.3 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并
32、写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是对基本概念的理解不到位错误的根本原因是对基本概念的理解不到位, ,实实 际上两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等际上两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等, ,一个一个 复数为纯虚数的条件是实部为零虚部不为零复数为纯虚数的条件是实部为零虚部不为零, ,两个复数两个复数 都为实数时可以比较大小都为实数时可以比较大小. .正确的解答过程如下正确的解答过程如下: : 【解析解析】选选A.A.两个复数两个复数, ,当它们都是实数时当它们都是实数时, ,是可以比是可以比 较大小的较大小的, ,故故(1)(1)是错误的是错误的; ; 设设z
33、 z1 1=a+bi(a,bR,b0),z=a+bi(a,bR,b0),z2 2=c+di(c,dR,=c+di(c,dR,且且d0),d0), 因为因为b=d,b=d,所以所以z z2 2=c+bi.=c+bi.当当a=ca=c时时,z,z1 1=z=z2 2, ,当当acac 时时,z,z1 1zz2 2, ,故故(2)(2)是错误的是错误的; ; (3)(3)当当a=b0a=b0时时,(a,(a- -b)+(a+b)ib)+(a+b)i是纯虚数是纯虚数, ,当当a=b=0a=b=0 时时,(a,(a- -b)+(a+b)i=0b)+(a+b)i=0是实数是实数, ,故故(3)(3)错误错误. .
