1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算 主题一：主题一：复数的乘法复数的乘法 【自主认知自主认知】 1.1.复数范围内，平方差公式与完全平方公式是否成立？即若复数范围内，平方差公式与完全平方公式是否成立？即若z z1 1， z z2 2CC，是否有，是否有 =(z=(z1 1+z+z2 2)(z)(z1 1- -z z2 2) )，(z(z1 1+z+z2 2) )2 2= = 提示：提示：成立成立. .复数的乘法复数的乘法( (乘方乘方) )类似于实数范围内的多项式的乘法类似于实数范围内的多项式的乘法 ( (乘方乘方) )，只不过是在运算中遇到，只不过是在运算中遇到i i2 2时就将其换为时就将
2、其换为- -1 1，因此在复数范，因此在复数范 围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z z1 1，z z2 2CC， 则有则有(z(z1 1+z+z2 2) )2 2= =(z= =(z1 1+z+z2 2) )(z(z1 1- -z z2 2) )等等. . 22 12 zz 22 11 22 z2z zz？ 22 11 22 z2z zz, 22 12 zz 2.2.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？ 提示：提示：多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，多个复数的乘积运算类似多
3、项式相乘的规律，把复数逐一相乘， 再分别合并实部、虚部再分别合并实部、虚部. . 3.3.复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 提示：提示：三个运算律都满足三个运算律都满足. . 根据以上探究过程，总结出复数的乘法运算法则及运算律根据以上探究过程，总结出复数的乘法运算法则及运算律. . 1.1.设设z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)是任意两个复数，则是任意两个复数，则 (a+bi)(c+di)=_.(a+bi)(c+di)=_. 2.2.复数的乘
4、法满足的运算律：复数的乘法满足的运算律： 对任意对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CC，有，有 交换律：交换律：z z1 1z z2 2=_.=_. 结合律：结合律：(z(z1 1z z2 2) )z z3 3=_.=_. 分配律分配律：z z1 1(z(z2 2+ z+ z3 3)=_.)=_. (ac(ac- -bd)+(ad+bc)ibd)+(ad+bc)i z z2 2z z1 1 z z1 1(z(z2 2z z3 3) ) z z1 1z z2 2+ z+ z1 1z z3 3 【合作探究合作探究】 1.1.当当x x，yRyR时，若时，若x x2 2+y+y2 2=0
5、=0，则有，则有x=y=0x=y=0，那么当，那么当x x，yCyC时，该结论时，该结论 是否成立？是否成立？ 提示：提示：不成立不成立. .例如，当例如，当x=1+ix=1+i，y=1y=1- -i i时，时， x x2 2+y+y2 2=(1+i)=(1+i)2 2+(1+(1- -i)i)2 2=0=0，但这时并没有，但这时并没有x=y=0.x=y=0. 2.z2.z2 2与与|z|z|2 2有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：当当zRzR时，时，z z2 2=|z|=|z|2 2，当，当z z为虚数时，为虚数时，z z2 2|z|z|2 2，但，但|z|z|2 2=|z=|z2 2|
6、.|. ( (例如例如z=iz=i时，时，z z2 2= =- -1 1，|z|z|2 2=1=1，显然，显然z z2 2|z|z|2 2，但，但|z|z|2 2=|i=|i2 2|=1.)|=1.) 3.i3.in n具有什么规律？具有什么规律？ 提示提示：i in n具有周期性，其中周期具有周期性，其中周期T=4.T=4. 【拓展延伸拓展延伸】虚数单位虚数单位i i的周期性的周期性 (1)i(1)i4n+1 4n+1=i =i，i i4n+2 4n+2= =- -1 1， ，i i4n+3 4n+3= =- -i i， ，i i4n 4n=1(nN). =1(nN). (2)i(2)in
7、n+i+in+1 n+1+i +in+2 n+2+i +in+3 n+3=0(nN). =0(nN). n n也可以推广到整数集也可以推广到整数集. . 4.4.若若z z，z z1 1，z z2 2CC，m m，nNnN，则，则z zm mz zn n=z=zm+n m+n， ，(z(zm m) )n n=z=zmn mn， ，(z(z1 1z z2 2) )m m= = 成立吗？成立吗？ 提示：提示：成立成立. .事实上，在复数范围内，当指数幂是整数时，以上运算事实上，在复数范围内，当指数幂是整数时，以上运算 性质也依然成立性质也依然成立. . mm 12 zz 【过关小练过关小练】 1.
8、1.若复数若复数z z1 1=1+i=1+i，z z2 2=3=3- -i i，则，则z z1 1z z2 2等于等于( ( ) ) A.4+2iA.4+2i B.2+iB.2+i C.2+2iC.2+2i D.3D.3 【解析解析】选选A.zA.z1 1z z2 2=(1+i)(3=(1+i)(3- -i)=(3+1)+(3i)=(3+1)+(3- -1)i=4+2i.1)i=4+2i. 2.2.计算下列各式的值：计算下列各式的值： i i6 6= = ；i i29 29= = ；i i15 15= = . . 【解析解析】i i6 6=i=i2 2= =- -1 1；i i29 29=i
9、=i1 1=i=i；i i15 15=i =i3 3= =- -i.i. 答案：答案：- -1 1 i i - -i i 主题二：主题二：共轭复数及复数的除法共轭复数及复数的除法 【自主认知自主认知】 1.1.设复数设复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，复数，复数 =a=a- -bi(abi(a，bR)bR)，则两个复数在，则两个复数在 复平面内所对应的点的位置关系如何？复平面内所对应的点的位置关系如何？ 提示：提示：关于实轴对称关于实轴对称. . z 2.2.若复数若复数z z1 1=z=z2 2z z，则称复数，则称复数z z为复数为复数z z1 1除以除以z z2 2所得
10、的商，即所得的商，即z=zz=z1 1z z2 2. . 一般地，设复数一般地，设复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(c+di0)=c+di(c+di0)，如何求，如何求z z1 1z z2 2？ 提示：提示： 12 2222 abi cdi abiacbdbcad zzi. cdicdi cdicdcd 3.3.复数除法的实质是怎样的？复数除法的实质是怎样的？ 提示：提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先 把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复把它们的商写成分数的形式，
11、然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，再把结果化简即可数，再把结果化简即可. . 根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则. . 1.1.共轭复数共轭复数 (1)(1)条件：两个复数实部条件：两个复数实部_，虚部互为，虚部互为_._. (2)(2)记法：复数记法：复数z z的共轭复数的共轭复数. . 2.2.复数的除法法则复数的除法法则 (a+bi)(a+bi)(c+di)=_(c+di0).(c+di)=_(c+di0). 相等相等 相反数相反数 2222 acbdbc ad i cdcd 【合作探究合作探究】 1
12、.1.如果如果zRzR，那么，那么 与与z z有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：当当z zR R时，时， =z=z，即一个实数的共轭复数是它自身，即一个实数的共轭复数是它自身. . z z 2.2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系 是什么？是什么？ 提示：提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数. .事实事实 上，若上，若z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，那么，那么z z =(a+bi)=(a+bi)(a(a- -bi)=abi)=a2
13、 2+b+b2 2，且，且 有有z z =|z|=|z|2 2=| |=| |2 2. . z zz 【过关小练过关小练】 1.1.若若x x- -2+yi2+yi和和3x3x- -i i互为共轭复数，则实数互为共轭复数，则实数x x与与y y的值是的值是( )( ) A.x=3A.x=3，y=3 B.x=5y=3 B.x=5，y=1y=1 C.x=C.x=- -1 1，y=y=- -1 D.x=1 D.x=- -1 1，y=1y=1 【解析解析】选选D.D.由题意得由题意得 x23xx1 y1y1. ， 所以 ， 2.2.复数复数 等于等于( )( ) 【解析解析】选选A. =2A. =2-
14、 -i.i.故选故选A.A. 5 2i 21105 A.2 iB.iC.10 5iD.i 5533 5 2 i 5 2 i2 i (2 i) 【归纳总结归纳总结】 1.1.对复数的乘法运算法则的两点说明对复数的乘法运算法则的两点说明 (1)(1)复数的乘法运算可以把复数的乘法运算可以把i i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意看作字母，类比多项式的乘法进行，注意 要把要把i i2 2化为化为- -1 1，再把实部、虚部分别合并，将最后结果进行化简，再把实部、虚部分别合并，将最后结果进行化简. . (2)(2)对于能使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，对于能使用乘法公式计算的两个
15、复数的乘法，用乘法公式更简捷， 如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等. . 2.2.共轭复数的性质有：共轭复数的性质有： 1212 1212 11 2 22 1 zz. 2 zzzz . 3 z zz z . zz 4 ()z0 . zz (5)(5)对于复数对于复数z z，z= z= z z为实数为实数. . (6)(6)设设z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，则，则z z =a=a2 2+b+b2 2=|z|=|z|2 2. . (7)(7) (8)(8)若若z z1 1与与z z2 2互为共轭复数，即互为共轭复数，即 =z=z2 2
16、，则，则 也互为共轭复数，也互为共轭复数， 即即 z z n n zz. 1 z nn 12 zz与 nn 12 zz . 类型一：类型一：复数的乘法与除法运算复数的乘法与除法运算 【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014福建高考福建高考) )复数复数(3+2i)i(3+2i)i等于等于( ( ) ) A.A.- -2 2- -3i3i B.B.- -2+3i C.22+3i C.2- -3i3i D.2+3iD.2+3i (2)(2015(2)(2015全国卷全国卷)已知复数已知复数z z满足满足(z(z- -1)i=1+i1)i=1+i，则，则z=(z=( ) ) A.A.- -
17、2 2- -i i B.B.- -2+i2+i C.2C.2- -i i D.2+iD.2+i (3)(3)计算：计算： i2 i 1 . 1 i i 1i 【解题指南解题指南】(1)(1)利用复数的乘法运算法则进行计算利用复数的乘法运算法则进行计算. . (2)(2)利用复数的除法运算法则进行计算利用复数的除法运算法则进行计算. . (3)(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一 致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减. . 【解析解析】(1)(1)选选B.(3+2i)i=3i
18、+2iB.(3+2i)i=3i+2i2 2= =- -2+3i.2+3i. (2)(2)选选C.C.因为因为(z(z- -1)i=1+i1)i=1+i，所以，所以 2 1 2i i 1 2i z2 i. ii i2 i 1 3 1 i i 1i 1 i2i2 i 1 1 ii 1 3i2 i 1 3 i2 i2 i ( 2 i) 2 36 1 i 5 5i 1 i. 55 【规律总结规律总结】复数乘除运算的技巧复数乘除运算的技巧 (1)(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合 律运算，混合运算与实数的运算顺序一样律运
19、算，混合运算与实数的运算顺序一样. . (2)(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化分母实数化”的方法的方法. . (3)(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式对于复数的高次乘方运算，可利用公式(z(zm m) )n n=z=zmn mn进行转化运算 进行转化运算. . (4)(4)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序， 有括号先计算括号里面的有括号先计算括号里面的. . 【巩固训练巩固训练】1.(20151.(2015湖南高考湖南高考) )已知已知 =1+i(i=1+i(i
20、为虚数单位为虚数单位) )， 则复数则复数z=(z=( ) ) A.1+iA.1+i B.1B.1- -i i C.C.- -1+i1+i D.D.- -1 1- -i i 【解题指南解题指南】本题主要考查复数的加减乘除基本运算，验证即得本题主要考查复数的加减乘除基本运算，验证即得 结论结论. . 【解析解析】选选D.D.验证各选项，只有验证各选项，只有z=z=- -1 1- -i i时，时， 2 (1i) z 2 1 i 2i( 1 i) 1 i 1 i2 2.(20152.(2015广东高考广东高考) )已知已知i i是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数(1+i)(1+i)2 2=(=(
21、) ) A.A.- -2 2 B.2B.2 C.C.- -2i2i D.2iD.2i 【解题指南解题指南】本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解. . 【解析解析】选选D.(1+i)D.(1+i)2 2=1+2i+i=1+2i+i2 2=1+2i=1+2i- -1=2i.1=2i. 【补偿训练补偿训练】计算：计算：( (1 1)()(2 2+i)(+i)(2 2- -i)i). . ( (2 2)()(1 1+ +2 2i)i)2 2. . ( (3 3) ) 6 1i23i (). 1i32i 【解析解析】( (1 1)()(2 2+i)(+i)
22、(2 2- -i)=i)=4 4- -i i2 2= =4 4- -( (- -1 1)=)=5 5. . ( (2 2)()(1 1+ +2 2i)i)2 2= =1 1+ +4 4i+(i+(2 2i)i)2 2= =1 1+ +4 4i+i+4 4i i2 2= =- -3 3+ +4 4i i. . ( (3 3) )方法一：原式方法一：原式= = 2 6 22 (1i)( 23i)( 32i) 2 32 6 2 6 6 6 2i3i6 i1i. 5 (1i)( 23i)i 2( 32i)i ( 23i)i i1i. 23i 方法二：原式 类型二：类型二：共轭复数及其应用共轭复数及其应
23、用 【典例典例2 2】(1)(1)复数复数z= z= 的共轭复数是的共轭复数是( ( ) ) A.2+iA.2+i B.2B.2- -i C.i C.- -1+i1+i D.D.- -1 1- -i i (2)(2015(2)(2015广东高考广东高考) )若复数若复数z=i(3z=i(3- -2i)(i2i)(i是虚数单位是虚数单位) )，则，则 =(=( ) ) A.3A.3- -2i2i B.3+2iB.3+2i C.2+3iC.2+3i D.2D.2- -3i3i (3)(2015(3)(2015潍坊高二检测潍坊高二检测) )已知复数已知复数z z的共轭复数是的共轭复数是 ，且，且z
24、z- - = = - -4i4i，z z =13=13，试求，试求 . . 3 i 2i z zz z z z 【解题指南解题指南】( (1 1) )先利用复数的除法法则求出先利用复数的除法法则求出z z的代数形式的代数形式，再利用共再利用共 轭复数的定义求解轭复数的定义求解. . ( (2 2) )先求先求z z，再求再求 . . ( (3 3) )设出复数设出复数z z的代数形式的代数形式，利用共轭复数的定义利用共轭复数的定义、复数的运算法则以复数的运算法则以 及两复数相等的充要条件列方程组求解及两复数相等的充要条件列方程组求解. . z 【解析解析】(1)(1)选选D.z=D.z= 所以
25、所以z z的共轭复数为的共轭复数为- -1 1- -i.i.故选故选D.D. (2)(2)选选D.D.因为因为z=i3z=i32i=2+3i2i=2+3i，所以，所以 =2=23i.3i. (3)(3)设设z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)，则由条件可得，则由条件可得 3 i2 i 3 i6 1 3i2i5 5i 1 i 2 i2 i2 i55 ， z 22 xyixyi4i2yi4i xy13xyixyi13. ， 即 ， 2 2 x3x3 y2y2. z3 2iz3 2i. 3 2i z3 2i 3 2i3 2i (3 2i)z 5 12i512 i 131313 3 2i z
26、3 2i 3 2i3 2i ( 3 2i)z 5 12i512 i. 131313 ， 解得或 因此或 于是 ， 或 【规律总结规律总结】共轭复数的应用共轭复数的应用 (1)(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形 式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数. . (2)(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将 分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，
27、根据公式z =|z|z =|z|2 2= = | | |2 2进行化简并计算进行化简并计算. . z z 【巩固训练巩固训练】1.(20151.(2015吉林高二检测吉林高二检测) )复数复数 的共轭复数的共轭复数 是是( )( ) A.2i+1 B.A.2i+1 B.- -1 1- -2i2i C.2iC.2i- -1 D.11 D.1- -2i2i 【解析解析】选选C.C.因为因为 所以复数所以复数 的共轭复数是的共轭复数是- -1+2i1+2i，故选，故选C.C. 5 2i 1 5 2i 1 5 1 2i 2i 12i 1 2i 1 ， 5 2i 1 2.(20142.(2014安徽高考
28、安徽高考) )设设i i是虚数单位，是虚数单位， 表示复数表示复数z z的共轭复数的共轭复数. . 若若z=1+iz=1+i，则，则 =( )=( ) A.A.- -2 B.2 B.- -2i C.2 D.2i2i C.2 D.2i 【解析解析】选选C.C.因为因为z=1+iz=1+i，所以，所以 =1=1- -i i， 故故 = +i(1= +i(1- -i)=i)=- -i(1+i)+i(1i(1+i)+i(1- -i)=i)=- -2i2i2 2=2.=2. z z iz i z z iz i 1 i i 【补偿训练补偿训练】1.1.若若1|z|21|z|2，求，求u= (1+i)u=
29、(1+i)所对应的点所对应的点A A的集合表示的集合表示 的图形，并求其面积的图形，并求其面积. . 【解析解析】由由u= (1+i)u= (1+i)得：得： 又因为又因为|z|=| |= |z|=| |= ，1|z|21|z|2， 所以所以 |u|2 |u|2 ， 因此动点因此动点A A的图形是一个圆环的图形是一个圆环. . 设此圆环面积为设此圆环面积为S S，那么，那么S=(2 )S=(2 )2 2- -( )( )2 2=6.=6. z z u z 1 i ， z u 2 22 22 2.2.设设z z1 1，z z2 2CC，A=zA=z1 1 +z+z2 2 ，B=zB=z1 1 +
30、z+z2 2 ，则，则A A与与B B是否是否 可以比较大小？为什么？可以比较大小？为什么？ 【解题指南解题指南】设出设出z z1 1，z z2 2的代数形式，化简的代数形式，化简A A，B B，判断，判断A A，B B是否同为是否同为 实数即可实数即可. . 2 z 1 z 1 z 2 z 【解析解析】设设z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)， 则则 =a=a- -bibi， =c=c- -didi， 所以所以A=zA=z1 1 +z+z2 2 =(a+bi)(c=(a+bi)(c- -di)+(c+di)(adi)+(c+
31、di)(a- -bi)bi) =ac=ac- -adi+bciadi+bci- -bdibdi2 2+ac+ac- -bci+adibci+adi- -bdibdi2 2 = =2 2ac+ac+2 2bdRbdR， B=zB=z1 1 +z+z2 2 =|z=|z1 1| |2 2+|z+|z2 2| |2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2RR， 所以所以A A与与B B可以比较大小可以比较大小. . 1 z 2 z 2 z 1 z 1 z 2 z 类型三类型三：i in n的值的周期性及其应用的值的周期性及其应用 【典例典例3 3】(1)(2015(1)(2015
32、湖北高考湖北高考)i)i为虚数单位，为虚数单位，i i607 607的共轭复数 的共轭复数 为为( ( ) ) A.iA.i B.B.- -i i C.1C.1 D.D.- -1 1 (2)(2015(2)(2015福建高考福建高考) )若集合若集合A=iA=i，i i2 2，i i3 3，i i4 4(i(i是虚数单位是虚数单位) )， B=1B=1，- -11，则，则ABAB等于等于( ( ) ) A.A.- -11 B.1B.1 C.1C.1，- -11 D.D. (3)(3)若复数若复数z= z= ，求，求1+z+z1+z+z2 2+ +z+z2014 2014的值 的值. . 1 i
33、 1 i 【解题指南解题指南】( (1 1) )复数的四则运算；共轭复数的概念复数的四则运算；共轭复数的概念. . ( (2 2) )利用复数的周期性及集合之间的运算求解利用复数的周期性及集合之间的运算求解. . ( (3 3) )先化简先化简z z，再利用等比数列的求和公式求解再利用等比数列的求和公式求解. . 【解析解析】( (1 1) )选选A A. .因为因为i i607 607=(i =(i2 2) )303 303 i=i=- -i i，共轭复数为共轭复数为i i，所以应选所以应选A A. . ( (2 2) )选选C C. .A=iA=i，- -1 1，- -i i，1 1 ，B
34、=B=1 1，- -1 1 ，AB=AB=1 1，- -1 1 . . ( (3 3) )因为因为 所以所以1 1+z+z+z+z2 2+ +z+z2014 2014= = 2 1 i 1 i2i zi 1 i1 i 1 i2 ， 2 0152 0153 1 z1 i1 i1 i i. 1 z1 i1 i1 i 【规律总结规律总结】i in n和和n n(nN(nN* *) )的性质的性质 1.i1.in n(nN(nN* *) )的性质的性质 (1)(1)对任意对任意4 4个连续的正整数个连续的正整数a a，b b，c c，d d都有都有i ia a+i+ib b+i+ic c+i+id d
35、=0.=0. (2)i(2)i4n 4n=1 =1，i i4n+1 4n+1=i =i，i i4n+2 4n+2= =- -1 1， ，i i4n+3 4n+3= =- -i i， ，nNnN* *. . (3)(1(3)(1i)i)2 2= =2i2i， 1 i1 i ii. 1 i1 i ， 2.2.n n(nN(nN* *) )的性质的性质 设设1 1= = 2 2= = 则则1 1，2 2具有下列性质：具有下列性质： (1)(1) (2)1+(2)1+1 1+2 2=0.=0. (3) =(3) =2 2， =1 1. . (4)(4)1 1= = ，2 2= .= . (5)(5)1
36、 12 2=1=1，1 1= = ，2 2= = (6)(6)3n 3n=1 =1，3n+1 3n+1= =，3n+2 3n+2= =2 2. . 13i 2 ， 13i 2 ， 33 12 1. 2 1 2 2 2 1 1 1 . 2 1 【巩固训练巩固训练】1.(20141.(2014安徽高考安徽高考) )设设i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 等于等于( )( ) A.A.- -i B.i C.i B.i C.- -1 D.11 D.1 【解析解析】选选D.iD.i3 3+ + = =- -i+ =i+ =- -i+ii+i- -i i2 2=1=1，故选，故选D.D. 3 2i i
37、 1 i 2i 1 i 2i i 1 i1 i (1 i) 2i 1 i 2 2.(20152.(2015长沙高二检测长沙高二检测) )i i为虚数单位为虚数单位, ,则则 等于等于 ( ( ) ) A A.0.0 B B.2.2i i C C. .- -2 2i i D D.4.4i i 【解析解析】选选A A. . = =- -i i+ +i i+(+(- -i i)+)+i i=0.=0. 357 1111 iiii 3572468 1111iiii iiiiiiii 3 3. .计算：计算：i+ii+i2 2+i+i3 3+ +i+i2015 2015. . 【解题指南解题指南】可利用
38、可利用i in n的周期性化简的周期性化简，或者利用等比数列求和公式化或者利用等比数列求和公式化 简计算简计算. . 【解析解析】方法一：因为方法一：因为i i2 2= =- -1 1，i i3 3= =- -i i，i i4 4= =1 1，i i5 5=i=i， 所以所以i in n的值呈周期性出现的值呈周期性出现，且一个周期为且一个周期为4 4. . 又又i+ii+i2 2+i+i3 3+i+i4 4=i=i5 5+i+i6 6+i+i7 7+i+i8 8= =i=i2009 2009+i +i2010 2010+i +i2011 2011+i +i2012 2012= =0 0， ，
39、所以原式所以原式=i=i2013 2013+i +i2014 2014+i +i2015 2015=i+i =i+i2 2+i+i3 3=i=i- -1 1- -i=i=- -1 1. . 方法二：原式方法二：原式= = 22 0153 4 503 3 i 1 ii 1 i i 1 ii 1 i i(1 i) 1 i1 i1 i1 i1 i 1 i i 2i 1. 2 【补偿训练补偿训练】1.1.计算计算 【解析解析】i i2 009 2 009=i =i4 4 502+1502+1=i =i， ( + i)( + i)8 8= =2(1+i)2(1+i)2 24 4=(4i)=(4i)4 4
40、=2=28 8=256=256， 8 2 009508 22 3i22i i22i()() . 1 i1 2 3i13i 22 25 502 2525 88 i 1 2 3i 2222 3i ()() ()iii 1 i1 i2i1 2 3i1 2 3i 22i1 i13 ()16(i)8 8 3i 2213i13 i 22 i256 ii 8 8 3i2483 8 3 i. ， ， 所以原式 2 2. .计算计算i+i+2 2i i2 2+ +3 3i i3 3+ + +20002000i i2000 2000= = . . 【解析解析】设设S=i+S=i+2 2i i2 2+ +3 3i
41、i3 3+ + +20002000i i2000 2000， ， 则则iS=iiS=i2 2+ +2 2i i3 3+ +3 3i i4 4+ + +19991999i i2000 2000+ +2000 2000i i2001 2001. . 由由- -，得得( (1 1- -i)S=i+ii)S=i+i2 2+i+i3 3+i+i4 4+ +i+i2000 2000- -2000 2000i i2001 2001 = = - -20002000i i2001 2001= =- -2000 2000i i，故故S=S= = =10001000- -10001000i i. . 答案：答案：1
42、0001000- -10001000i i 2 000 i 1 i 1 i 2 000i 1 i 类型四：类型四：复数的综合应用复数的综合应用 【典例典例4 4】(1)(1)若等比数列若等比数列zzn n 中，中，z z1 1=1=1，z z2 2=a+bi=a+bi，z z3 3=b+ai(a=b+ai(a，bRbR 且且a0).a0).则则a=a= ，b=b= . . (2)(2)设设z z是虚数，是虚数，=z+ =z+ 是实数，且是实数，且- -10. 于是于是 当且仅当当且仅当2(x+1)= 2(x+1)= ，即，即x=0x=0时等号成立时等号成立. . 所以所以- - 的最小值为的最小值为1 1，此时，此时z=z=i.i. 1 2 2 1 z22 ()2 x 132 2(x 1)3 1. 1 z1 x1 x 2 1 x 2 1 z () 1 z 【规律总结规律总结】复数运算的综合问题解决方法复数运算的综合问题解决方法 在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角 函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数函数、函数、解析几
