1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.1 2.1.1 合情推理合情推理 猜座位猜座位 从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生生. .先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一” 字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个 “三”字“三”字. .学到这里，儿子就告诉父亲说：学到这里，儿子就告诉父亲说： “我已经学会了写字，不“我已经学会了写字，不 用先生再教了用先生再教了.”.”于是，于是， 财
2、主就把教书先生给辞退了财主就把教书先生给辞退了. . 一天，财主要邀请一位姓一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖万的朋友，叫儿子写张请帖. 财主的儿子怎么写的财主的儿子怎么写的? ? 1.1.结合数学实例，了解归纳推理的含义结合数学实例，了解归纳推理的含义，掌握归纳推，掌握归纳推 理、类比推理的方法技巧理、类比推理的方法技巧. .( (重点重点) ) 2.2.能利用归纳方法进行简单的推理，能利用归纳方法进行简单的推理，掌握归纳法的步掌握归纳法的步 骤，体会归纳推理、类比推理在数学发现中的作用骤，体会归纳推理、类比推理在数学发现中的作用 ( (难点难点) ) 探究点探究点1 1 归纳
3、推理归纳推理 17421742年哥德巴赫年哥德巴赫(Goldbach(Goldbach , ,1690169017641764, , 是德国是德国 一位中学教师一位中学教师, ,也是一位著名的数学家也是一位著名的数学家, , 17251725年当年当 选为俄国彼得堡科学院院士选为俄国彼得堡科学院院士) )观察到观察到: : 6 = 3+3,6 = 3+3, 8 = 3+5,8 = 3+5, 10 = 5+5,10 = 5+5, 12 = 5+7,12 = 5+7, 14 = 7+7,14 = 7+7, 16 = 5+11,16 = 5+11, 1000 = 29+971,1000 = 29+9
4、71, 1002 =139+863,1002 =139+863, 猜想猜想: :任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之的偶数都等于两个奇质数之 和和. . 任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶的偶 数都等于两个奇质数之和数都等于两个奇质数之和. . 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 ) 3N(2 21 nnppn， 哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料具体的材料 观察分析观察分析 猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论 【3 3】成语“一叶知秋”成语“一叶知秋” 【2 2】统计初步中的用样本估计总体统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验通
5、过从总体中抽取部分对象进行观测或试验, , 进而对整体作出推断进而对整体作出推断. . 意思是从一片树叶的凋落意思是从一片树叶的凋落, ,知道秋天将要来到知道秋天将要来到. . 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化比喻由细微的迹象看出整体形势的变化, ,由部分推知由部分推知 全体全体. . 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征, ,推出推出 该类事物的该类事物的 都具有这些特征的推理都具有这些特征的推理, ,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理（简简 称归纳称归纳）. . 归纳推理归纳推理 特点：部分特点：部分 整体，个别整体，个别 一般一般. .
6、 部分对象部分对象 全部对象全部对象 个别事实个别事实 一般结论一般结论 铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 猜想猜想: :所有金属都导电所有金属都导电. . 又如又如 232212222 , 331332333 猜想猜想: : ( , , bbm a b m aam 均均为为正正整整数数).). 数列数列2,5,11,20,x,472,5,11,20,x,47中的中的x x等于等于( ( ) ) A.28 B.32 A.28 B.32 C.33 C.33 D.27D.27 B B 【即时训练即时训练】 分析：分析：数列的通项公式表示的是数列数列的通项公式表示
7、的是数列an的第的第 n n项项an与序号与序号n n之间的对应关系之间的对应关系. .为此，我们先根据为此，我们先根据 已知的递推公式，算出数列的前几项已知的递推公式，算出数列的前几项. . 例例1.已知数列已知数列an的第的第 1 项项a1=1,且且 (n=1, 2,3,)，试归纳出这个数列的通项公式，试归纳出这个数列的通项公式. 1 1 n n n a a a 解解:当当n=1时，时，a1=1; 当当n=2时，时， ; 2 1 11 1 2 a 1 . n a n 当当n=3时，时， 2 3 2 1 21 ; 113 1 2 a a a 当当n=4时，时， 3 4 3 1 31 . 11
8、4 1 3 a a a 观察可得，数列的前观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为由此猜想，这个数列的通项公式为 如图为一串白黑相间排列的珠子如图为一串白黑相间排列的珠子, ,按这种规律往下排按这种规律往下排 起来起来, ,那么第那么第3636颗珠子应是什么颜色颗珠子应是什么颜色( ( ) ) A.A.白色白色 B.B.黑色黑色 C.C.白色可能性大白色可能性大 D.D.黑色可能性大黑色可能性大 A A 【变式练习变式练习】 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手手, ,他由此受到启发他
9、由此受到启发, ,从而发明了锯从而发明了锯. . 探究点探究点2 2 类比推理类比推理 类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这 样得到的样得到的. . 鱼类鱼类 潜水艇潜水艇 蜻蜓蜻蜓 直升机直升机 形状，沉浮原理形状，沉浮原理 外形，飞行原理外形，飞行原理 仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的得到的. . 可能有生命存在可能有生命存在 有生命存在有生命存在 温度适合生物的生存温度适合生物的生存 一年中有四季的变更一年中有四季的变更 有大气层有大气层 大部分时间的温度适合地大部分时间的温度
10、适合地 球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存 一年中有季节的变更一年中有季节的变更 有大气层有大气层 行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕 轴自转轴自转 行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕 轴自转轴自转 火星火星 地球地球 火星上是否有生命？火星上是否有生命？ 火星与地球类比的思维过程：火星与地球类比的思维过程： 火星火星 地球地球 存在类存在类 似特征似特征 地球上有生命存在地球上有生命存在 猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在 类比推理的过程（步骤）类比推理的过程（步骤） 观察、比较观察、比较 联想、类推联想、类推 猜想新结论猜想新结论 由两类对象
11、具有某些类似特征和其中一类对象由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征的某些已知特征, ,推出另一类对象也具有这些特征的推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理推理称为类比推理. . 类比推理类比推理 (1)(1)类比推理是由类比推理是由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理. . ( (2 2) )运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, , 我们可以从不同的角度出发确定类比对象我们可以从不同的角度出发确定类比对象, ,基本原则基本原则 是要根据当前问题的需要是要根据当前问题的需要, ,选择适当的类比对象选择适当的类比对象. . ( (
12、1 1) )类比是从人们已经掌握的事物的属性类比是从人们已经掌握的事物的属性, ,推断正在推断正在 研究中的事物的属性研究中的事物的属性, ,它以已有知识为基础它以已有知识为基础, ,类比出类比出 新的结论新的结论. . ( (2 2) )是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊 属性属性. . ( (3 3) )类比的结果具有猜测性类比的结果具有猜测性. . 类比推理的特点类比推理的特点 下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的 是是( ( ) ) A.A.三角形三角形 B.B.梯形梯形 C.C.平行四边
13、形平行四边形 D.D.矩形矩形 【即时训练即时训练】 C C 例例2 2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. . 分析：分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算， 都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0 0”和和 “1 1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位分别在加法和乘法中占有特殊的地位. .因此，我因此，我 们可以从上述们可以从上述4 4个方面来类比这两种运算个方面来类比这两种运算. . 解：解：（1 1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所）两个实数
14、经过加法运算或乘法运算后，所 得的结果仍然是一个实数得的结果仍然是一个实数. . (2)(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换 律和结合律，即律和结合律，即 )()( )()( bcacabcbacba baababba (3)(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法 的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使 得方程得方程 )0( 1 0aa xxa 都有唯一解都有唯一解 a xax 1 (4)在加法中，任意实数与在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；相加
15、都不改变大小； 乘法中的乘法中的1与加法中的与加法中的0类似，即任意实数与类似，即任意实数与1的积的积 都等于原来的数都等于原来的数.即即 aaaa1 0 【解答解答】三角形三角形 你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体 的类比对象？的类比对象？ 【变式训练变式训练】 例例3 3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想 分析：分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们 可以选取有可以选取有3 3个面两两垂直的四面体，作为直角
16、三角个面两两垂直的四面体，作为直角三角 形的类比对象形的类比对象. . a a b b c c D D P P E E F F s s1 1 s s2 2 s s3 3 ) 1 ( )2( 解：解：如上图，在如上图，在RtABC中，中，C=90.设设a,b,c分分 别表示三条边的长度，由勾股定理，得别表示三条边的长度，由勾股定理，得 . 222 bac 类地 o o 似 似，在在四四面面体体P- DEF中P- DEF中，PDF =PDF = PDE =PDE =EDF = 90 .EDF = 90 . 设别 积应图 两条边一条边图 三个个 123123 123123 S ,S ,S 和 S ,
17、S ,S 和S分S分表表示示PDF, PDF, PDE, PDE, EDFEDF 和和PEF的PEF的面面，相相于于（1）1）中中直直角角三三角角形形的的 直直角角a,b和a,b和斜斜c，c，（2）2）中中的的四四面面体体 有有“直直角角面面”S ,S ,S 和S ,S ,S 和一一 “斜斜面面”S.S. 类比勾股定理的结构，我们猜想类比勾股定理的结构，我们猜想 2 3 2 2 2 1 2 SSSS 成立成立. . 归纳推理归纳推理 由由部分到整体部分到整体、特殊到一般特殊到一般的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础, 推测新的结论推测新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定
18、成立结论不一定成立 类比推理类比推理 由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新的结论推测新的结论; 具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立 【总结提升总结提升】 提出猜想提出猜想 观察、分观察、分 析、比较、析、比较、 联想联想 归纳、归纳、 类比类比 从具体问从具体问 题出发题出发 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. . 合情推理合情推理 归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 (2015(2015菏泽高二检测菏泽高二检测) )有两种花色的正六边形地面砖有两种花色的正六边形地面砖, , 按如
19、图的规律拼成若干个图案按如图的规律拼成若干个图案, ,则第则第6 6个图案中有菱形个图案中有菱形 花纹的正六边形的个数是花纹的正六边形的个数是( ( ) ) A.26A.26 B.31B.31 C.32C.32 D.36D.36 【变式练习变式练习】 B B 例例4 4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金 属片属片. .按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另 一根针上一根针上. . 1 1 2 2 3 3 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片；个金属片； 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上
20、面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. . 试推测：把试推测：把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需最少需 要移动多少次要移动多少次? ? 分析：分析：我们从移动我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探个金属片的情形入手，探 究其中的规律性，进而归纳出移动究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的个金属片所需的 次数次数. 解：解：当当n=1时，只需把金属片从时，只需把金属片从1号针移到号针移到3号针，用号针，用 符号（符号（13）表示，共移动了）表示，共移动了1次次. 当当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金时，为了避免将较大的金属片
21、放在较小的金 属片上面，我们利用属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动顺号针作为“中间针”，移动顺 序是：序是： （1）把第）把第1个金属片从个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第2个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把第）把第1个金属片从个金属片从2号针移到号针移到3号针；号针； 用符号表示为用符号表示为：（：（12）（）（13）（）（23） 共移动了共移动了3次次. 当当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2的情形，移动顺序是：的情形，移动顺序是： （1）把上面两个金属片从）把上面两
22、个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第3个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把上面两个金属片从）把上面两个金属片从2号针移到号针移到3号针；号针； 其中（其中（1）和（）和（3）都需要借助中间针）都需要借助中间针.用符号表示为用符号表示为： （13）（）（12）（）（32）；（）；（13）；（）；（21）（）（23）（）（13） 共移动了共移动了7次次. 当当n=4时，把上面时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺个金属片作为一个整体，移动顺 序是：序是： （1）把上面）把上面3个金属片从个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第
23、4个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把上面）把上面3个金属片从个金属片从2号针移到号针移到3号针；号针； 用符号表示为用符号表示为： （12）（）（13）（）（23）（）（12）（）（31）（）（32）（）（12）；）； （13）；（）；（23）（）（21）（）（31）（）（23）（）（12）（）（13） （23）. 共移动了共移动了15次次. 至此，我们得到依次移动至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构个金属片所需次数构 成的数列成的数列. 1,3,7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： .
24、1215, 127 , 123 , 121 4321 由此我们猜想：若把由此我们猜想：若把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3 号针，最少需要移动号针，最少需要移动an n次，则数列次，则数列 an n 的通项公式的通项公式 为：为： 思考：思考：把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, , 怎样移动怎样移动 才能达到最少的移动次数呢才能达到最少的移动次数呢? ? 通过探究上述通过探究上述n=1,2,3,4n=1,2,3,4时的移动方法，我们时的移动方法，我们 可以归纳出对可以归纳出对n n个金属片都适用的移动方法个金属片都适用的移动方法. .当移
25、动当移动 n n个金属片时，可分为下列个金属片时，可分为下列3 3个步骤：个步骤： （1 1）把上面（）把上面（n n- -1 1）个金属片从）个金属片从1 1号针移到号针移到2 2号针；号针； （2 2）把第）把第n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针；号针； （3 3）把上面）把上面(n(n- -1)1)个金属片从个金属片从2 2号针移到号针移到3 3号针号针. . 这样就把移动这样就把移动n n个金属片的任务，转化为移动两次（个金属片的任务，转化为移动两次（n n- - 1 1）个金属片和移动一次第）个金属片和移动一次第n n个金属片的任务个金属片的任务. . 而移动
26、（而移动（n n- -1 1）个金属片需要移动两次（）个金属片需要移动两次（n n- -2 2）个金属）个金属 片和移动一次第（片和移动一次第（n n- -1 1）个金属片，移动（）个金属片，移动（n n- -2 2）个金）个金 属片需要移动两次（属片需要移动两次（n n- -3 3）个金属片和移动一次第（）个金属片和移动一次第（n n- - 2 2）个金属片）个金属片如此继续如此继续. .直到转化为移动直到转化为移动1 1个金属片个金属片 的情形的情形. .根据这个过程，可得递推公式根据这个过程，可得递推公式 1 1 1 21(N*,1 . nn a aann ， 且且） 从这个递推公式出发
27、，可以证明（从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的）式是正确的. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅 是一种猜想，未必可靠是一种猜想，未必可靠. . ,1712, 512 21 22 3434 2222 2+1= 257, 2+1= 65 537,2+1= 257, 2+1= 65 537, 都都是是质质数数 费马猜想：费马猜想： 同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠， 你能举一个例子吗？你能举一个例子吗？ 半个世纪之后，欧拉发现：半个世纪之后，欧拉发现： 猜想：猜想： n n 2*2* 2+1(nN )
28、2+1(nN )是是质质数数. . 不是质数，从而推翻了费马的猜想不是质数，从而推翻了费马的猜想 (2015(2015临沂高二检测临沂高二检测) )用火柴棒摆“金鱼”用火柴棒摆“金鱼”, ,如图所如图所 示：按照上面的规律示：按照上面的规律, ,第第n n个“金鱼”图需要火柴棒的个“金鱼”图需要火柴棒的 根数为根数为( ( ) ) A.6nA.6n- -2 2 B.8nB.8n- -2 2 C.6n+2C.6n+2 D.8n+2D.8n+2 【变式练习变式练习】 C C 【解题关键解题关键】先计算各个图形中的火柴棒先计算各个图形中的火柴棒, ,然后从中探寻规律然后从中探寻规律, , 并进行归纳
29、并进行归纳. . 1.1.下列说法中下列说法中, ,正确的是正确的是( ( ) ) A.A.合情推理就是正确的推理合情推理就是正确的推理 B.B.合情推理就是归纳推理合情推理就是归纳推理 C.C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程类比推理是从特殊到特殊的推理过程 D D 2.2.根据给出的数塔猜测根据给出的数塔猜测123 456123 4569+79+7等于等于( ( ) ) 1 19+2=119+2=11 12129+3=1119+3=111 1231239+4=1 1119+4=1 111 1 2341 2349+5=
30、11 1119+5=11 111 12 34512 3459+6=111 1119+6=111 111 A.1 111 110 B.1 111 111A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113C.1 111 112 D.1 111 113 B B 3.3.观察下列等式：观察下列等式： 1 13 3+2+23 3=3=32 2,1,13 3+2+23 3+3+33 3=6=62 2,1,13 3+2+23 3+3+33 3+4+43 3=10=102 2,根据上根据上 述规律述规律, ,第五个等式为第五个等式为 . . 【解析解析】由前由前3
31、3个式子可看出个式子可看出, ,等式的左边为自然等式的左边为自然 数的立方和数的立方和, ,而右边正好等于各个自然数和的平而右边正好等于各个自然数和的平 方方, ,即即1 13 3+2+23 3+3+33 3+ +n+n3 3 =(1+2+=(1+2+n)+n)2 2. .故第五个等式为故第五个等式为 1 13 3+2+23 3+3+33 3+4+43 3+5+53 3+6+63 3=(1+2+3+4+5+6)=(1+2+3+4+5+6)2 2. .即即 1 13 3+2+23 3+3+33 3+4+43 3+5+53 3+6+63 3=21=212 2. . 答案：答案：1 13 3+2+2
32、3 3+3+33 3+4+43 3+5+53 3+6+63 3=21=212 2 4.4.正方形的面积为边长的平方正方形的面积为边长的平方, ,则在空间中则在空间中, ,与之与之 类比的结论是类比的结论是 . . 【解析解析】由平面中面积为边长的平方由平面中面积为边长的平方, ,则在空间则在空间 中可类比得到正方体的体积为棱长的立方中可类比得到正方体的体积为棱长的立方. . 答案：正方体的体积为棱长的立方答案：正方体的体积为棱长的立方 观察、分析观察、分析 概括、推广、类比概括、推广、类比 提出猜想提出猜想 合情推理合情推理 归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 没有礁石，就没有美丽的浪花；没有挫 折，就没有壮丽的人生.
