1、人教版普通高中课程标准实验教科书 A 版 必修 4 2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的 物理背景及其含义物理背景及其含义 教学设计教学设计 洛阳外国语学校洛阳外国语学校 马娜娜马娜娜 Phone：13903794691 E-mail: lymana 2 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计 一、教材分析一、教材分析 1.1.地位与作用地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书 A 版必修 4 第二章平面向量的第 4 节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主 要研究数量积的坐标运算，本
2、节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的 一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角 的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。 2.2.学情分析学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运 算及其几何意义。学生会产生这样的疑问平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算 吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体 系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量 积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识
3、的学习。 二、教学目标二、教学目标 1.1.知识与技能知识与技能 理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； 掌握平面向量数量积的性质与运算律； 会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系； 以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业 术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英 语理解能力。 2 2. .过程与方法过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景， 学习“投影”后，通过设置例 1 让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完
4、成的表格 发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活 动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双 语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学 3 习的兴趣。 3 3. .情感态度与价值观情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、 类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和 意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提 高参与意识和合作精神。 三、教学重难点
5、三、教学重难点 重点：重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的 垂直关系。 难点：难点：平面向量数量积概念与运算律的理解，平面向量数量积的应用。 四、教学准备四、教学准备 实物投影仪，多媒体课件，数学专业术语词汇表。 五、教学基本流程五、教学基本流程 六、教学过程（三三六、教学过程（三三式）式） （）第一段（）第一段 第一段第一段 1 提出问题提出问题 2 引入课题引入课题 3 出示目标出示目标 第二第二段段 3 运用所学解决问题运用所学解决问题 2 探究性质与运算律探究性质与运算律 1 概念明晰概念明晰 第三第三段段 1 课堂练习课堂练习 3 布置作业
6、布置作业 2 课堂小结课堂小结 4 1.1. 提出问题提出问题 问题问题 1：物理中力对物体所做的功是什么？ 功是力与力的方向上位移的乘积. 问题问题 2 2：给出图示，如何计算“功”？ |cosWFS 【设计意图设计意图】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量题为背景，使学生初步认识向量 的数量积，为引入向量的数量积，为引入向量数量积数量积的概念的概念做铺垫。做铺垫。 2.2.引入新课引入新课 既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在 数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用F
7、 S来替代W，这就是平面向量的数 量积，从而引入本节课2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。 3 3. .出示出示目标目标 理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； 掌握平面向量数量积的性质，会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角； 掌握平面向量数量积的运算律。 【设计意图】【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。 （）第二段）第二段 1.1. 概念明晰概念明晰 已知两个非零向量a与b，我们把数量| cosa b叫做a与b的数量积（inner product/dot product
8、） （或内积） ，记作a b，即|cosa ba b 问题问题 3 3：向量的夹角的范围； 问问题题 4 4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小 的因素是什么？ 【设计意图设计意图】引导学生分析定义中的要点】引导学生分析定义中的要点内容，明确内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量数量积这一种新运算与之前所学的向量 的线性运算的区别，运算结果是一个数量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。 之后利用课件向学生介绍投影（projection）的内容. F S 5 任 务 任 务 一一 任 务 任 务 二二 a在b方向上的投影为cosa，b在a方向上的投影为c
9、osb. 问题问题 5 5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)(positive)，什么时候为负，什么时候为负 (negative)(negative)，是否可能为零呢，是否可能为零呢？ 学生分为两大组分别完成例 1 中的任务一与任务二： 例 1：计算a b以及b在a方向上的投影（为a与b的夹角）. 5 4 a b 0 30 90 120 180 投影 数量积 3 6 a b 0 60 90 150 180 投影 数量积 当0,) 2 时，0a b ；当(, 2 时，0a b ；当 2 时，0a b . 问题问题 6
10、6： 你从表格中还发现了什么？你发现数量积： 你从表格中还发现了什么？你发现数量积a b与与b在在a方向上的投影方向上的投影有什么关系有什么关系 吗？吗？ 数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积. 【设计意图】【设计意图】通过例通过例 1,1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学 生通过自己的动手动脑总结归纳出问题生通过自己的动手动脑总结归纳出问题 6 6 的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察的答案，进而教师又提出新的问题，引导学
11、生观察 并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功” 的数学本质的数学本质. . 2.2. 探究数量积的性质与运算律探究数量积的性质与运算律 教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学 生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。 问题问题 7 7：?ab 当a与b同向时，a b= =？ 当a与b反向时，a b= =？ ?a a 或 ?a cos? a ba b（什么时候取等号？） 问题问题 8 8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，我
12、们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，数量积是一种运算，那么类那么类 比实数乘法，数量积比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗运算律吗？ 6 a bb a ；()()()aba bab；()abca cb c . 的证明较为简单，学生可以完成；对于，若按照数量积的定义展开会出现困难 教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对0和0两种情况下 分别证明；的证明有难度，由师生共同完成。 问题问题 9 9：()a b c与()a b c相等吗？如果0a b ，那么0a 或0b ，对吗？ 如果a
13、cb c ，0c ，那么能得出ab吗？为什么？ 【设计意图】【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能 动性进行自主学习；对于数量积的运算律，动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论 试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完 成。问题成。问题 9 9 的的设置设置让学生体会向量的数量积与实数
14、乘法运算的区别，强化对数量积的理解。让学生体会向量的数量积与实数乘法运算的区别，强化对数量积的理解。 3. 3. 运用所学，解决问题运用所学，解决问题 活动一活动一（自主探究）（自主探究） ：学生自主学习课本 105 页，例 2、例 3、例 4 问题问题 1010：例 2 研究后补充两题：(3 ) (2)abab；(2 ) (3 )abab. 例 3 后给出变式题： 已知6a ，4b ，(2 ) (3 )72abab ， 求a与b的夹角？ 【设计意图】【设计意图】使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂直问使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂
15、直问 题。题。 活动二活动二（合作探究（合作探究） ： 已知向量, a b夹角为45 , 且| 1,|2|10,aab则|b _ 解：|2|10ab (2)10ab 即 22 4410aa bb | 1, ,aa b夹角为 45 2 44|cos45|10bb 解得| 3 2b ，|2b （舍去） 【设计意图】【设计意图】小组合作探究题能小组合作探究题能激发学生钻研探索的欲望，激发学生钻研探索的欲望，提高学生的合作意识，提高学生的合作意识，让学生有让学生有 更多的机会论及自己的思想，学会如何应用数量积解决向量的模的问题。更多的机会论及自己的思想，学会如何应用数量积解决向量的模的问题。 （）第（
16、）第三段三段 1.1. 课堂练习课堂练习 7 基础练习：基础练习：课本 106 页 1、2、3 题 (1,2(1,2 题进行口答题进行口答，3 3 题由学生在黑板上作图题由学生在黑板上作图) ) 综合综合练习：练习： 向量, a b的夹角为 60，| 2,| 1,ab则|ab_ 答案：3 在ABC中，若 2 0,AB BCAB则ABC的形状为_ 答案：直角三角形 2.2. 课堂小结课堂小结 学生谈收获 教师总结：本节课共学习三个内容平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义； 平面向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律。在学习新知的过程中还渗透 着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。 3.
17、3. 布置作业布置作业 课本 108 页 2、3、6 题 思考题：已知向量a与b夹角为 45，|2,| 1,ab当向量ab与ab夹角为锐角 时，求实数的取值范围. 【设计意图】【设计意图】课堂练习中，课堂练习中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标课标”的基本要求，因的基本要求，因 此此先让学生练习课后题目先让学生练习课后题目，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后 续学习打好基础。其次，为了续学习打好基础。其次，为了使学生使学生所学知识所学知识得到得到拓展拓展，我又安排了，我又安排了两道两道综合综合题目，题目，难度适难度适 中，中，供学供学生练习。课堂生练习。课堂作业作业选用课后习题中的三道题，进而通过作业的批改发现学生还存在选用课后习题中的三道题，进而通过作业的批改发现学生还存在 的问题，进行针对性解决，再的问题，进行针对性解决，再给出一道给出一道思考题，供学生课下研究讨论思考题，供学生课下研究讨论。 板书板书设计：设计： 2.4.1平面向量数平面向量数量积的物理背景及其含义量积的物理背景及其含义 专业词汇表专业词汇表 一、定义一、定义 二、性质二、性质 三、运算律三、运算律
