1、1.21.2不等关系及简单不等式的解法不等关系及简单不等式的解法考情概览备考定向-2-知识梳理考点自诊=bbb,bc.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).ac 考情概览备考定向-4-知识梳理考点自诊3.三个“二次”之间的关系 x|xx2或xx1 x|x1xx2 考情概览备考定向-5-知识梳理考点自诊考情概览备考定向-6-知识梳理考点自诊考情概览备考定向-7-知识梳理考点自诊 考情概览备考定向-8-知识梳理考点自诊答案:D解析:对A,已知a,bR,若ab,当两个数值小于
2、0时a2b不一定成立;对B,当b=0时,abb2,不成立;对C,当两者均小于0时,根式没有意义,故不正确;对D,a3b3,y=x3是增函数,故正确,故选D.考情概览备考定向-9-知识梳理考点自诊3.(2018首师大附中月考,5)已知命题“xR,x2+2ax+10”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,1)答案:C解析:命题“xR,x2+2ax+10.a1或a-1.选C.考情概览备考定向-10-知识梳理考点自诊答案:D 考情概览备考定向-11-知识梳理考点自诊答案:1,-1(答案不唯一)学科素养微专题-12-考点1考点2考点3考点4
3、比较两个数比较两个数(式式)的大小的大小例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cab D.bac思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?答案:(1)B(2)B 考点5学科素养微专题-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.易知当xe时,f(x)0,即f(x)单调递减.因为e3
4、4f(4)f(5),即cbaB.acbC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eaba 考点5学科素养微专题-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb.又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2.b=a2+1.ba.cba.当xe时,f(x)0,f(x)在(e,+)内单调递减.eaf(b),bln aaln b.abba.考点5学科素养微专题-17-考点1考点2考点3考点4不等式的性质及不等式的性质及应用应用 思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?答案:(1)(-,0)(2)27 考点5学科素养微专题-18
5、-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-19-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;(2)在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;(3)不等式两边取倒数,不等式两边同乘某一量,例如:若ab,当ab0时,对ab两边同乘考点5学科素养微专题-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)如果ab0,那么下列不等式成立的是()(2)已知-1x4,2y3,则x-y的取值范围是,3x+2y的取值范围是.答案:(1)D(2)(-4,2)(1,18)考点5学科素养微专题-21-
6、考点1考点2考点3考点4(2)-1x4,2y3,-3-y-2,-4x-y2.由-1x4,2y3,得-33x12,42y6,13x+2y18.考点5学科素养微专题-22-考点1考点2考点3考点4一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法例3(1)解不等式:-x2-3x+40;(2)若关于x的不等式x2-2ax-8a20.思考解一元二次不等式的一般思路是怎样的?考点5学科素养微专题-23-考点1考点2考点3考点4解:(1)不等式两边同乘-1,原不等式可化为x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得x-4或x1.故不等式-x2-3x+40的解集是x|x-4或x1.(2)若a=0,显然不符合题意;
7、考点5学科素养微专题-24-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-25-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-26-考点1考点2考点3考点4解题心得(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解.(2)含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.考点5学科素养微专题-27-考点1考点2考点3考点4对点训练3解下列关于x的不等式:(1)
8、-x2-x+20;(2)ax2-22x-ax(aR).解:(1)原不等式可化为x2+x-20,方程x2+x-2=0的根为-2,1,因此不等式-x2-x+20的解集是x|-2x1.考点5学科素养微专题-28-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-29-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-30-考点1考点2考点3考点4分式不等式的分式不等式的解法解法 思考解分式不等式的基本思路是什么?答案:(-2,3)考点5学科素养微专题-31-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-32-考点1考点2考点3考点4考点5一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题(多考向多考向)考向1
9、不等式在R上恒成立求参数范围例5若一元二次不等式 对一切实数x都成立,则k的取值范围为()A.(-3,0 B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0)思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?答案:D 学科素养微专题-33-考点1考点2考点3考点4考点5考向2x在给定区间上恒成立求参数范围例6(2018江苏镇江一模,12)已知函数f(x)=x2-kx+4对任意的x1,3,不等式f(x)0恒成立,则实数k的最大值为.思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?答案:4 学科素养微专题-34-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-35-考点1考点2考点3考点4考点5(解法二)由f(x)0恒成
10、立,即x2-kx+40,kxx2+4.当x1,3时,g(x)的最小值为4.kg(x),则实数k的最大值为4.学科素养微专题-36-考点1考点2考点3考点4考点5考向3给定参数范围的恒成立问题例7已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?答案:x|x3解析:x2+(k-4)x+4-2k0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0在k-1,1时恒成立.学科素养微专题-37-考点1考点2考点3考点4考点52.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的
11、最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.学科素养微专题-38-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)已知a为常数,xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是.学科素养微专题-39-考点1考点2考点3考点4考点5
12、学科素养微专题-40-考点1考点2考点3考点4考点5学科素养微专题-41-考点1考点2考点3考点4考点51.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.学科素养微专题-42-考点1考点2考点3考点4考点55.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在
13、给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.关键能力学案突破-43-思想方法发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用1.发散思维训练一题多变练发散典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.解:当m=0时,f(x)=-10恒成立.综上,-4m0.故m的取值范围是(-4,0.关键能力学案突破-44-跟踪训练1将本例中的条件变为:对于x1,3,f(x)
14、5-m恒成立,求实数m的取值范围.关键能力学案突破-45-跟踪训练2将本例中的条件变为:若f(x)0对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.关键能力学案突破-46-跟踪训练3将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“f(x)5-m无解”,如何求m的取值范围?关键能力学案突破-47-跟踪训练4将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)5-m成立”,如何求m的取值范围?关键能力学案突破-48-反思提升1.对于一元二次不等式恒成立问题,用数形结合法是解题的关键.2.解决恒成立问题一定要弄清主元与参数,自变量x不一定是主元.关键能力学案突破-49-2.转化与化归思想在不等式中的应用典例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.答案:9关键能力学案突破-50-反思提升1.本题的解法充分体现了转化与化归思想:将函数的值域和不等式的解集转化为a,b,c满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.2.注意函数f(x)的值域为0,+)与f(x)0的区别.
