1、2.2.3 因式分解法因式分解法第第1 1课时课时 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 如何解方程：如何解方程：探究探究 (35-2x)2-900=0 可以用平方差公式，可以用平方差公式，把方程的左边因式把方程的左边因式分解分解 我们已经会解一元一次方程，我们已经会解一元一次方程，首先，观察方程首先，观察方程的左边，可不可以通过因式分的左边，可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积？解把它表示成两个一次多项式的乘积？自然会想：能不能把一元二次方程自然会想：能不能把一元二次方程降低降低次数次数，转化为若干个一元一次方程呢？，转化为若干个一元一次方程呢？先把方程写成先把方程
2、写成 (35-2x)2-302=0.(35-2x)2-900=0 把此方程的左边因式分解把此方程的左边因式分解 (35-2x+30)()(35-2x-30)=0，即即 (65-2x)()(5-2x)=0.因此，从方程得因此，从方程得 65-2x=0或或 5-2x=0 得得 x=32.5 或或 x=2.5.即方程有两个解，即方程有两个解，通常把它们记成通常把它们记成 x1=32.5，x2=2.5.其次，我们知道其次，我们知道:“:“如果如果p q=0，那么那么p=0或或q=0.”最后分别解中的最后分别解中的两个一元一次方程两个一元一次方程结论结论 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方像上
3、面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做法叫做因式分解法因式分解法.利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程一元二次方程“降次降次”，转化为两个一元一次方程，转化为两个一元一次方程.例题讲解例例 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：（1）x(x-5)=3x；（2）2x(5x-1)=3(5x-1).（1）x(x-5)=3x 原方程可以写成原方程可以写成 x(x-5)-3x=0.解解:由此得出由此得出 x=0 或或 x-5-3=0.解得解得 x1=0 ，x2=8.把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x(x-5-
4、3)=0.（2）2x(5x-1)=3(5x-1)把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 (5x-1)()(2x-3)=0.由此得出由此得出 5x-1=0 或或 2x-3=0.原方程可以写成原方程可以写成 2x(5x-1)-3(5x-1)=0.解解:解得解得 121352xx ,.,.解一元二次方程的基本方法之一是因式分解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，进行求解元一次方程，进行求解练习练习1.解下列方程：解下列方程：（1
5、）x2-7x=0；（2）3x2=5x.（1）x2-7x=0；解解把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x(x-7)=0.由此得出由此得出 x=0 或或 x-7=0.解得解得 x1=0，x2=7.（2）3x2=5x.原方程可以写成原方程可以写成 3x2-5x=0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 x(3x-5)=0.由此得出由此得出 x=0 或或 3x-5=0.解得解得 ，10 x 253 x.解解（1）2x(x-1)=1-x；（2）5x(x+2)=4x+8.2.解下列方程：解下列方程：（2）5x(x+2)=4x+8，解解 原方程可以写成原方程可以写成 5x(x+2)-4(x
6、+2)=0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 (5x-4)()(x+2)=0.由此得出由此得出 5x-4=0 或或 x+2=0.解得解得 ，.（1）2x(x-1)=1-x，解解 原方程可以写成原方程可以写成 2x(x-1)+)+(x-1)=0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 (2x+1)()(x-1)=0.由此得出由此得出 2x+1=0 或或 x-1=0.解得解得 ，.145x 22x 21x 112x第第2 2课时课时 选择合适的方法解一元二次方程选择合适的方法解一元二次方程2.2.3 因式分解法因式分解法回顾回顾 我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二
7、次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.动脑筋动脑筋 下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由.（1）x2-4x=0；（2）2x2+4x-3=0；（3）x2+6x+9=16.可用可用配方法配方法，把，把方程的左边配成完方程的左边配成完全平方的形式全平方的形式 对于方程对于方程，可直接用，可直接用公式法公式法求解求解；可用完全可用完全平方公式，把方程平方公式，把方程的左边的左边因式分解因式分解 例题讲解例例 选择合适的方法解下列方程：选择合适的方法解下列方程：（1）x2+3x=0；（2）5x2-4x-1=0；（3）x2+2x
8、-3=0.（1）x2+3x=0；将方程左边因式分解，得将方程左边因式分解，得 x(x+3+3)=0.解解:解得解得 x1=0，x2=-3.由此得由此得 x=0或或 x+3=0，（2）5x2-4x-1=0；因而因而b2-4ac=（-4）2-45（-1）=36，这里这里a=5，b=-4，c=-1.解解:因此，原方程的根为因此，原方程的根为 1215，xx .所以所以 x=，（3）x2+2x-3=0.原方程可化为原方程可化为 x2+2x+1-4-4=0，解解:解得解得 x1=1，x2=-3.由此得由此得 x+1=2或或 x+1=-2，即即 （x+1）2=4 4，说一说说一说如何选择合适的方法来解一元
9、二次方程呢 公式法适用于所有一元二次方程公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法然后用因式分解法.解一元二次方程的基本思路是：将一元解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即二次方程转化为一元一次方程，即降次降次，其，其本质是把本质是把 ax2+bx+c=0（a 0 0）的左端的二）的左端的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即对对ax2+bx+c
10、=0 进行进行分解因式分解因式练习练习1.选择合适的方法选择合适的方法解下列方程：解下列方程：（1）3x2-4x=2x；（2）2x(5x-1)=3(5x-1)；解：3x2-4x-2x=0,x2-2x=0,x(x-2)=0.x1=0,x2=2.解：2x(5x-1)-3(5x-1)=0)=0，(5x-1)（2x-3）=0=0，1212x=53x=，.（3）x（x-6）=2（x-8）；）；（4）（）（2x+1）2=2（2x+1）.解：整理得 x2-8x+16=0，配方，得 （x-4）2=0，解得 x1=x2=4.解：（2x+1）2-2(2x+1)=0)=0，(2x+1)（2x-1）=0=0，1211-x=22x=，.
