1、1.3.1 1.3.1 函数的单调性与最大（小）值函数的单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔时间间隔 t刚记刚记忆完忆完毕毕20分分钟后钟后60分分钟后钟后8-9小时小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量记忆量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上
2、数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数.艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”,如图如图.123tyo20406080100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识?思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解
3、释？tyo20406080100123知识探究（一）知识探究（一）yxo考察下列两个函数考察下列两个函数:()f xx2()(0)f xxx （1 1）；(2)(2)xyo思考思考1 1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？共同特征？思考思考2 2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量那么当自变量x x从小到大依次取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y y的的变化情况如何？变化情况如何？xyox1x2()yf x1()f x2()f x思考思考4 4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，我们把具有
4、上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义那么怎样定义“函数函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数”？()f x()f x12,x x1x2x1()f x2()f x)(xf对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数.()f x12xx1()f x2()f x思考思考3 3:如图为函数如图为函数 在定义域在定义域I I内某个区间内某个区间D D上的图象，对于该上的图象，对于该区间上任意两个自变量区间上任意两个自变量x x1 1和和x x2
5、2，当当 时，时，与与 的大的大小关系如何小关系如何？知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数考察下列两个函数:()f xx 2()(0)f xxx （1 1）；(2)(2)xyoxoy思考思考1 1:这两个函数的图象分别是什么？这两个函数的图象分别是什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？()f x思考思考2 2:我们把具有上述特点的我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定函数称为减函数，那么怎样定义义“函数函数 在区间在区间D D上是减上是减函数函数”？2()f xxyox1x2()yf x1()f x()f x12,x x1x2x1()f x2()f x)(xf对于对于函数
6、函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数.()f x12()()fxfx思考思考3:3:对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是减函数？减函数？12,x x12xx2()(1)f xx()f x()f x思考思考4 4：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是增函上是增函数或减函数，则称函数
7、数或减函数，则称函数 在这一区间具有在这一区间具有（严格的）（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做函数叫做函数 的的单调区间单调区间.那么二次函数在那么二次函数在R R上具有单调性吗？上具有单调性吗？函数函数 的单调区间如何？的单调区间如何？理论迁移理论迁移-5-5-3-31 13 36o ox xy y()yf x()yf x例例1 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间-5-5，66上的函数上的函数 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 的单调区间，以的单调区间，以及在每一单调区间上，及在每一单调区间上，函数函数 是增函数还是增函数还是减函数是减函数.()yf x(0,)1()xf
8、xx 例例3 3 试确定函数试确定函数 在区间在区间上的单调性上的单调性.()kPkV为正常数 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V V 减小时，压强减小时，压强p p将增大将增大.试用函数的单调性试用函数的单调性 证明证明.小小 结结利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(x)f(x)在给定的在给定的 区间区间D D上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤：1.1.设元设元:任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2；2.2.作差作差:f(xf(x1 1)f(xf
9、(x2 2)；3.3.变形变形:通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方;4.4.定号定号:判断差判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负的正负;5.5.小结小结:指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的上的 单调性单调性.作业：作业：P P3232 练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.1.3.1 1.3.1 函数的单调性与最大（小）值函数的单调性与最大（小）值 第二课时第二课时 函数单调性的概念函数单调性的概念问题提出问题提出1.1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
10、函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数如果函数的图象存在最高点或最低点，它又的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？反映了函数的什么性质？()f x知识探究（一）知识探究（一）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：图图1ox0 xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2:2:设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x x，f(x)f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？y yx xox0图图2M函数图象上最高点的纵坐标
11、叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考思考3:3:设函数设函数 ，则，则 成立吗？成立吗？的最大值是的最大值是2 2吗？为什么？吗？为什么？2()1f xx()2f x()f x()f x思考思考4:4:怎样定义函数怎样定义函数 的最大值？用什么符号的最大值？用什么符号表示？表示？()yf x0()f xM()f xM一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作0 xIxI()yf xm
12、ax()f xM思考思考5:5:函数的最大值是函数值域中的一个元函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数素吗？如果函数 的值域是的值域是(a,b)(a,b)，则函，则函数数 存在最大值吗？存在最大值吗？()f x()f x思考思考6:6:函数函数 有最大有最大值吗？为什么？值吗？为什么？21,(1,)yxx 图图1yox0 xm知识探究（二）知识探究（二）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：xyox0图图2m思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:2:仿照函
13、数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？()f x()yf x0()f xm()f xm一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在实数如果存在实数m满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ;（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称m是函数是函数 的最小值，记作的最小值，记作0 xIxI()yf xm()inf xm知识探究（三）知识探究（三）12()()()f xf xf x思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域内任意使对定义域内任意
14、x x都有都有成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？()f x思考思考2:2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，有哪几种可能情况？言，有哪几种可能情况？()f x思考思考3:3:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？()f x思考思考4:4:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函数那么函数 的值域是的值域是aa，bb吗？吗？()f x理论迁移理论迁移例例1 1已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.2,2,61f xxx()f x 单调法
15、求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：如果函数y=f(X)在区间（a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).如果函数y=f(X)在区间（a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).如果函数y=f(X)在区间a,b上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用、利用函数单调性函数单调性的求函数的最大（小）值的求函数的最大（小）值 例例 2 “菊花菊花”烟花是最壮观烟花是最壮观 的烟的烟花之一。制造时一般是期望在它花之
16、一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂达到最高点时爆裂,如果如果烟花烟花 距地面的距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么，那么烟花冲出后什么时候是烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少?（精确到（精确到1m）2、利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最大（小）值大（小）值解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就
17、是烟函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。1234102015530250ht由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当我们有：当 时，函数有最大值时，函数有最大值 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为高度约为29m29)9.4(47.1418)9.4(42h5.1)9.4(27.14t3、利用利用图象图象求函数的最大（小）值求函数的最大（小）值 -2
18、x+1 x-1例例3、求函数、求函数f(x)=3 -1x2 的最值的最值 2x-1 x2(1)设 为常数，如果当 时，函数 的值域也是1,b,求 b的值.1b 1,xb213()22f xxx(2)二次函数 在区间 上的值域为 ，求 的范围.例例4223yxx223yxx223yxx0,m2,3m课堂小结：（1）函数的最大（小）值的概念（2）求函数的最大（小）值一般方法 对于熟悉的对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值（小）值对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值用单调性求出函数的最值作业作业 P39 P39 习题习题1.3A1.3A组：组：5 5 B B组：组：1 1，2.2.
