1、1.1.1-1.1.21.1.1-1.1.2命命题与四种命题题与四种命题 高二数学高二数学 选修选修2-12-1 第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语 歌德是歌德是1818世纪德国的一位著名文艺大师，一天，世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家他与一位批评家“狭路相逢狭路相逢”，这位文艺批评家生性，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。一边大声说道：一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子我从来不给傻子让路！让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可而对如此的尴尬的局面，但只是歌德
2、笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我呵呵，我可恰恰相反，可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。趣。你能分析此故事中歌德与批评家你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？的言行语句吗？常用逻辑用语常用逻辑用语 “数学是思维的科学数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻掌握常用逻辑用语的用法辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误纠正出现的逻辑错误,体
3、会运用体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.命题及其关系命题及其关系 1.1.1 命题 思考思考 下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断 它们的真假吗它们的真假吗?（1 1）125;125;?（2 2）3 3是是1212的约数的约数;语句都是陈述句，语句都是陈述句，?（3 3）0.50.5是整数是整数;?（4 4）对顶角相等）对顶角相等;并且可以判断真假。并且可以判断真假。?（5 5）3 3 能被能被2 2整除整除;2 2?（6 6）若）若x x=1,=1,则则x=1.x=1.命题的概念命题的概念 （1 1
4、）125;125;（2 2）3 3是是1212的约数的约数;（3 3）0.50.5是整数是整数;（4 4）对顶角相）对顶角相等等;?用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。叫做命题。（5 5）3 3 能被能被2 2 整除整除;（6 6）若）若x x2 2=1,=1,则则x=1.x=1.?判断为真的语句叫做真命题。判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。判断为假的语句叫做假命题。?理解：理解：1 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一
5、。必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。2 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。的真假。?用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？1)7是23的约数吗?疑问句疑问句 2)X5.开语句开语句 3)-2a343。6)6)x4x4。不是（感叹句）不是（感叹句）是（否定陈述句）是（否定陈述句）是（肯定陈述句）是（肯定陈述句）不是（开语句）不是（开语句）例例1 1 判断下面的语句是否为命题判断下面的语句是否为
6、命题?若是命题，若是命题，指出它的真假。指出它的真假。(1)(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集.（是，真）（是，真）(2)(2)若整数若整数a a是素数是素数,则则a a是奇数是奇数（是，假）（是，假）.(3)(3)指数函数是增函数吗指数函数是增函数吗?（不是命题）（不是命题）(4)(4)若平面上两条直线不相交若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行则这两条直线平行.（是，真）（是，真）(5)(5)(?2)?22（是，假）（是，假）(6)x15.（不是命题）（不是命题）练习练习 判断下列语句是否是命题判断下列语句是否是命题 .3是无理数。是无理数。（1 1）求证）求证 （2 2）x
7、2?2x?1?0.（3 3）你是高二学生吗？）你是高二学生吗？（4 4）并非所有的人都喜欢苹果。）并非所有的人都喜欢苹果。（5 5）一个正整数不是质数就是合数。）一个正整数不是质数就是合数。（6 6）若）若 x?7?0.x，则，则?4x?R（7 7）x+30.x+30.(1)(3)(7)(1)(3)(7)不是命题，不是命题，(2)(4)(5)(6)(2)(4)(5)(6)是命题。是命题。2“若若p p则则q”q”形式的命题形式的命题 命题命题“若整数若整数a a是素数，则是素数，则a a是奇是奇p q 数。数。”具有具有“若若p p则则q”q”的形式。的形式。?通常通常,我们把这种形式的命题中
8、的我们把这种形式的命题中的p p叫做命题的叫做命题的条条件件,q,q叫做命题的叫做命题的结论结论。?“若若p p则则q”q”形式的命题是命题的一种形式而不是形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,p,那么那么q”“q”“只要只要p,p,就有就有q”q”等形式。等形式。?其中其中p p和和q q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题.?“若若p p则则q”q”形式的命题的优点是条件与结论容易形式的命题的优点是条件与结论容易辨别辨别,缺点是太格式化且不灵活缺点是太格式化且不灵活.“若若p p则则q”q”形式的命题的书写形式的命题的书写 了解命题
9、表示的判断了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与明确与判断有关的条件与结论。结论。?对于一些条件与结论不明显的命题对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先一般采取先添补一些命题中省略的词句添补一些命题中省略的词句,确定条件与结论。确定条件与结论。?如命题如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行”。?写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。面平行。?例例2 2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p p和结论和结论q q：1)1)2)2)若整数若整数a a能被能
10、被2 2整除，则整除，则a a是偶数；是偶数；菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相垂直且平分。解：1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数。2)写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分例例3 3 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的形的形式式,并判定真假。并判定真假。(1)(1)负数的平方是正数负数的平方是正数.(2)(2)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称.(3)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行 (4)(4)面积相等
11、的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等.(5)(5)对顶角相等对顶角相等.真命题真命题 真命题真命题 假命题假命题 假命题假命题 真命题真命题 练习练习 1 1、将命题、将命题“a0a0时，函数时，函数y=ax+by=ax+b的值随的值随x x值的增加值的增加而增加而增加”改写成改写成“p p则则q”q”的形式，并判断命题的真的形式，并判断命题的真假。假。解答解答:a0:a0时，若时，若x x增加，则函数增加，则函数y=ax+by=ax+b的值也随之的值也随之 增加，它是真命题增加，它是真命题 在本题中，在本题中，a0a0是大前提，应单独给是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部
12、分出，不能把大前提也放在命题的条件部分内内 2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.（1 1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2 2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y y轴对称；轴对称；（3 3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。这是真命题。(2)(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y y轴对称，这是真轴对称，这是真命题。命题。(3)(3)若两个平面垂直于同一平面
13、，则这两个平面互相平行。若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。这是假命题。命题及其关系命题及其关系 1.1.2 四种命题 回顾回顾 交换原命题的条件和结论，所得的命题是交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题。逆命题。_ _?同时否定原命题的条件和结论，所得的命同时否定原命题的条件和结论，所得的命否命题。否命题。题是题是_ _?交换原命题的条件和结论，并且同时否定，交换原命题的条件和结论，并且同时否定，逆否命题。逆否命题。所得的命题是所得的命题是_ _?原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题 四种命题形式四种命题形式:若若 p,p,则则 q q?原命
14、题原命题:若若 q,q,则则 p p?逆命题逆命题:若若 p,p,则则 q q?否命题否命题:?逆否命题逆否命题:若若 q,q,则则 p p 观察与思考观察与思考？1 1）若）若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数。是周期函数。2 2）若）若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数。是正弦函数。3 3）若）若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数。不是周期函数。4 4）若）若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?课课 堂堂 小小
15、结结 原命题原命题 若若p p则则q q 互互否否命命题题真真假假无无关关逆命题逆命题 若若q q则则p p 互互否否命命题题真真假假无无关关 否命题否命题 若若 p p则则 q q 逆否命题逆否命题 若若 q q则则p p 看下面的例子：看下面的例子：2.2.四种命题的真假四种命题的真假 1 1）原命题：若）原命题：若x=2x=2或或x=3,x=3,则则x x2 2-5x+6=0-5x+6=0。(真真)逆命题：若逆命题：若x x2 2-5x+6=0,-5x+6=0,则则x=2x=2或或x=3x=3。(真真)否命题：若否命题：若x2x2且且x3,x3,则则x x2 2-5x+60 5x+60。
16、(真真)逆否命题：若逆否命题：若x x2 2-5x+605x+60，则，则x2x2且且x3x3。(真真)2 2）原命题：若）原命题：若a=0,a=0,则则ab=0ab=0。(真真)(假假)逆命题：若逆命题：若ab=0,ab=0,则则a=0a=0。否命题：若否命题：若a 0,a 0,则则ab0ab0。(假假)逆否命题：若逆否命题：若ab0,ab0,则则a0a0。(真真)3）原命题：若）原命题：若xAB，则，则x U A UB。假假 逆命题：逆命题：x UA UB，xAB。假假 假假 Help 否命题：否命题：x?AB，x?UA UB。逆否命题：逆否命题：x?UA UB，x?AB。假假 四种命题的
17、真假四种命题的真假,有且只有下面四种情况有且只有下面四种情况:原命题原命题 真真 真真 假假 假假 逆命题逆命题 真真 假假 真真 假假 否命题否命题 真真 假假 真真 假假 逆否命题逆否命题 真真 真真 假假 假假 几条结论几条结论:（1 1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。其逆命题、否命题不一定为真。（2 2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。想一想？想一想？由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？
18、即即 原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。(两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关它们的真假性没有关系系).).练一练练一练 1.1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。（对）（对）1 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；2 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对）3 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假
19、。（错）（错）4 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错）2.2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（）个。）个。答：答：0 0个、个、2 2个、个、4 4个。个。如：原命题：若如：原命题：若AB=A,AB=A,则则AB=AB=。逆命题：若逆命题：若AB=AB=，则，则AB=AAB=A。否命题：若否命题：若ABAABA，则，则ABAB。逆否命题：若逆否命题：若ABAB，则，则ABAABA。（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，
20、并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。x?2x?q?0（1 1）若）若q1,q2,p+q2,那么那么q2-p,q2-p,q?(2y?x根据幂函数根据幂函数 的单调性，得的单调性，得?p),3331?2p?q?8?12 p?6p?6?(p?1)?,3?3333p?q?2.因此因此 p?q?2.所以所以 332即即 q?8?12 p?6p?p,323这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。命题为真命题。可能出现矛盾四种情况：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与题设矛盾；与反设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；与公理、定理矛盾；在证
21、明过程中，推出自相矛盾的结论。在证明过程中，推出自相矛盾的结论。?例例 用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么 .a?b 假设假设 a不大于不大于 b证明证明:则则 a 0,b 0所以所以 a b?aa?baab?bb?a 0 0 时，若时，若a a b b ，则，则acac bc bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：真假：解：解：逆命题：当逆命题：当c c 0 0 时，若时，若acac bc bc，则，则a a b b 逆命题为真逆命题为真 否命题：当否命题：当c c 0 0 时，若时，若a
22、a b b ，则，则acac bc bc 否命题为真否命题为真 逆否命题：当逆否命题：当c c 0 0 时，若时，若acac bc bc，则，则a a b b 逆否命题为真逆否命题为真 准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.原结论原结论 是是 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 不是不是 都是都是 不都是不都是 至多有一个至多有一个 至少有两个至少有两个 大于大于 不大于不大于 至少有至少有n n个个 至多有（至多有（n-1)n-1)个个 小于小于 大于或等于大于或等于 至多有至多有n n个个 至少有（至少有（n+1)n+1)个个 对所有对所有x,x,存在某存在某x x，对任何对任何x x，成立成立 不成立不成立 不成立不成立 存在某存在某x x，成立成立 练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。x?2x?q?0（1 1）若）若q1,q1,则方程则方程 有实根。有实根。（2 2）若）若ab=0,ab=0,则则a=0a=0或或b=0.b=0.2
