1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式2 2.2 2.2 2 不等式的解集不等式的解集 从初中数学中我们已经知道,能够使不等式成的未知数的值称为 ,不等式的解 解不等式的过程中要不断地使用 不等式的性质一般地,不等式的所有解组成的集合称为 不等式的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为 不等式组的解集典型例题例1 求不等式组 2x+1-9,的解集.3x22-3x 我们知道,数轴上表示数a的点与原点的距离称为 ,数a的绝对值记作|a|.一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。例如,|x|
2、3,|x-1|2 (1)你能给出|x|3的解集吗?(2)试总结出m0时,关于x的不等式|x|m和|x|m的解集。根据绝对值的定义可知,|x|3等价于 即x3或x3的解集为(-oo,-3)(3,+oo).不等式|x|3的解集也可由绝对值的几何意义得到:因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离,所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|3的解集,从而由下图可知所求解集为(-oo,-3)(3,+oo).用类似方法可知,当m0时,关于x的不等式|x|m的解为xm或x-m,因此解集为 (-oo,-m)(m,+oo);关于x的不等式|x|m的解为-mxm,因此解集为 -m,m 你能
3、给出|a-1|2的解集吗?如果将a-1当成一个整体,比如令x=a-1,则|a-1|x|2,因此|a-1|2的解集可以通过求解|x|2得到,请读者自行尝试。下面我们来探讨|a-1|的几何意义,并由此得出不等式|a-1|的解集。任意给出几个a的值,求出对应的|a-1|的值,并借助数轴考虑|a-1|的几何意义.当a=-2时,|a-1|=|-2-1|=3,而且在数轴上,表示-2的点与表示1的点的距离是3;当a=3时,|a-1|=|3-1|=2,而且在数轴上,表示3的点与表示1的点的距离是2.因此,如果数轴上表示a的点为A,表示1的点为B,则A,B之间的距离为|a-1|,如下图所示。这样一来,数轴上与表
4、示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|2的解集,又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为-1和3,因此由上图可知|a-1|2的解集为 -1,3.数轴上两点之间的距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为 AB=|a-b|.数轴上的中点坐标公式:更进一步,如果线段AB的中点M对应的数为x,则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|,因此:当ab时,有axb,从而 x-a=b-x,2bax所以典型例题例2 设数轴上点A与数3对应,点B与数x对应,已知线段AB的中点到原点的距离不大于5,求x的取值范围.求下列不等式的解集:(1)|x-1|+|x-2|(4)|x-1|+|x-2|2131