1、3.4函数的应用函数的应用(一一)【素养目标】1了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(数学抽象)2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(数学建模)【学法解读】1学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系 2会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题必备知识必备知识探新知探新知关键能力关键能力攻重难攻重难课堂检测课堂检测固双基固双基素养作业素养作业提技能提技能必备知识必备知识探新知探新知一次函数模型 形如ykxb的函数为_，其中k0.一次函数模型 基础知识知识点1二次
2、函数模型知识点2幂函数型模型(1)解析式：yaxb(a，b，为常数，a0，1)(2)单调性：其增长情况由x中的的取值而定知识点3 1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m1202x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为()A30元B45元 C54元D越高越好 解析设日销售利润为y元，则y(x30)(1202x)，30 x60，将上式配方得y2(x45)2450，所以当x45时，日销售利润最大B 基础自测3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新
3、教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)2A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x的值3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)
4、【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)关键能力关键能力攻重难攻重难3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)题型一一次函数模型某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？题
5、型探究 例 1 3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)分析设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250 x400，每月所赚的钱数卖报收入的总价付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x20)元；在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.525010)元；没有卖掉的(x250)10份报纸可退回报社，报社付的钱数为(x250)0.0810元注意要写清楚函数的定义域3.4
6、函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)解析设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250 x400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得：y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x300.3x1 050，x250,400 因为y0.3x1 050是定义域上的增函数，所以当x400时，ymax1201 0501 170(元)故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必
7、修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)归纳提升建立一次函数模型，常设为ykxb(k0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)【对点练习】一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是()Ay2t By120t Cy2t(t0)Dy120t(t
8、0)解析因为90 min1.5 h，所以汽车的速度为1801.5120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y120t(t0)D 3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度(1)求x
9、的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？题型二二次函数模型例 2 3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)分析根据发电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)归
10、纳提升二次函数模型的应用 根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应
11、用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？题型三幂函数模型例 3 3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课
12、件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)归纳提升幂函数模型有两个：ykxn(k，n是常数)，ya(1x)n(a，n是常数)，其中ya(1x)n也常常写作yN(1p)x(N，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用
13、这两个函数模型时注意区分3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)3.4函数的应用(一)【新教材】人教A版（）高中数学必修第一册课件(共46张PPT)【对点练习】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(结果保留整数)题型四分段函数模型例 4 分析(1)利润收益成本，由已知分0 x40
14、0和x400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值 归纳提升应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)【对点练习】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t时，每吨3元，当用水量超过4 t时，超过部分每吨4元现甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求
15、出甲、乙两户该月的用水量和水费 解析(1)当甲户用水量不超过4 t，即5x4时，乙户用水量也不超过4 t，y(5x3x)324x；当甲户的用水量超过4 t而乙户的用水量不超过4 t，忽视实际问题中的定义域东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？例 5 误区警示 错因分析本题忽略了变量参数的实际意义xN.方法点拨解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义 数学
16、建模函数模型的选择某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？例 6 学科素养 分析本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型 所以有关系式y0.80.5x1.4.结论
17、为：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势 因此选用指数函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际 归纳提升本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际课堂检测课堂检测固双基固双基素养作业素养作业提技能提技能
