1、7.17.1为什么要证明为什么要证明 思考：思考：（1 1）如图，两条线段）如图，两条线段a，b的长度相等吗？的长度相等吗？（2 2）下图中的四边形是正方形吗？）下图中的四边形是正方形吗？（3 3）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长道长1m1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？别太相信你的别太相信你的眼睛和直觉呦！眼睛和直觉呦！假如用一根比地球赤道长假如用一根比地球赤道长1 1米的铁丝将米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道
2、之间的间地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？隙能有多大（把地球看成球形）？解：设赤道的周长为解：设赤道的周长为C C，则铁丝与地球赤，则铁丝与地球赤道的间隙为道的间隙为221CC21)(16.0m（1 1）代数式）代数式n2 2-n+11+11的值是质数吗？取的值是质数吗？取n=0=0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5试一试，你能否由此得到结试一试，你能否由此得到结论：论：对所有自然数对所有自然数n，n2 2-n+11+11的值都是质数？的值都是质数？与与同伴进行交流同伴进行交流.（2 2）如图，在）如图，在ABCABC中，点中，点DD，E E分别是分别是
3、ABAB，ACAC的中点，连接的中点，连接DEDE.DEDE与与BCBC有怎样的位置关系和数有怎样的位置关系和数量关系？量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能你能肯定你的结论对所有肯定你的结论对所有ABCABC都成立吗？与同伴进行都成立吗？与同伴进行交流交流.实验、观察、归纳得到的结论可能正确，实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确也可能不正确.因此，要判断一个数学结论因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明不够的，必须进行有根有据的证明.通过这节课的学习，经
4、过实验、观察、归纳通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流验与困惑，与同学交流.本节课你学习了哪些知识？本节课你学习了哪些知识？（1 1）图中三条线段）图中三条线段a,b,ca,b,c，哪一条和线段，哪一条和线段d d在同在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.（2 2）图中两条线段）图中两条线段a a与与b b的长度相等吗？的长度相等吗？本课结束7 7.2 2 定义与命题定义与命
5、题（第（第1 1课时）课时）小华与小刚正在津津有味地阅读小华与小刚正在津津有味地阅读我们爱科学我们爱科学.“哈！这个黑哈！这个黑客终于被逮住客终于被逮住了了”.小华说：小华说：“这黑客是小偷这黑客是小偷!”!”小刚说：小刚说：“可能是穿着黑色衣服的侠客可能是穿着黑色衣服的侠客!”!”一对父子的谈话一对父子的谈话法律就是法法律就是法国的律师国的律师爸爸，什么爸爸，什么叫法律？叫法律？法盲就是法法盲就是法国的盲人国的盲人那么什么那么什么是法盲？是法盲？对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规定，也就是给出他们的定，也就是给出他们的定义定义.例如：例如：“符号
6、不同符号不同、绝对值相等的两个数绝对值相等的两个数”“”“”的定义的定义;“能够完全重合的图形能够完全重合的图形”是是“_”_”的定义的定义.互为相反数互为相反数全等形全等形无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1 1）任何一个三角形一定有一个角是直角；）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2 2）对顶角相等；）对顶角相等；（3 3）无论）无论n为怎样的自然数，式子为怎样的自然数，式子n2 2-n+11+11的值都是的值都是质数质数（4 4）如果
7、两条直线都和第三条直线平行，那么这两）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行条直线也互相平行;（5 5）你喜欢数学吗？）你喜欢数学吗？（6 6）作线段）作线段ABAB=CDCD.判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1 1）对顶角相等；）对顶角相等；（2 2）画一个角等于已知角；）画一个角等于已知角；（3 3）两直线平行，同位角相等；）两直线平行，同位角相等；（4 4）a a、b b两条直线平行吗？两条直线平行吗？（5 5）玫瑰花是动物）玫瑰花是动物.（6 6）若）若a a2 24 4，求
8、，求a a的值的值.（7 7）若）若a a2 2 b b2 2，则，则a ab b.是是不是不是是是不是不是是是不是不是是是 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同伴们交流.（1 1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；形的两个底角相等；（2 2）如果）如果a=ba=b，那么，那么a a2 2=b=b2 2（3 3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等.一般地，每个命题都由一般地，每个命题都由条件条件和和结论结论两部分组成两部分组成
9、.条件是已条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以命题通常可以写成写成“如果如果那么那么”的形式，其中的形式，其中“如果如果”引出的引出的部分是条件，部分是条件，“那么那么”引出的部分是结论引出的部分是结论.指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1 1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2 2）如果）如果abab，bcbc，那么，那么ac;ac;（3 3）全等三角形的面积相等；）全等三角形的面积相等；（4 4）如果室外气温低于）如果室外气温低于0,0,那么地面
10、上的水一定会那么地面上的水一定会结冰结冰.正确的命题称为正确的命题称为真命题真命题，不正确的命题称为，不正确的命题称为假命题假命题.要说明要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例反例.两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等如果如果两直线平行，两直线平行，那么那么同位角相等同位角相等条件条件结论结论命题可看做由命题可看做由条件条件和和结论结论两部分组成两部分组成.条件条件是是已知事项已知事项，结论是由，结论是由已知事项推出的事项已知事项推
11、出的事项 这节课你学到了哪些知识？这节课你学到了哪些知识？1 1、定义、命题的概念、定义、命题的概念;2 2、如何判断是否是真命题、如何判断是否是真命题.1.1.命题：命题：“垂直于同一条直线的两条直线平垂直于同一条直线的两条直线平行行”的条件是的条件是 ，结论是，结论是 .2.2.若若a a2 2=b=b2 2,则则a=b.a=b.这个命题是这个命题是 命题命题（填（填“真真”或或“假假”）.3、判断下列命题是真命题还是假命题、判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角相等的角是对顶角(2)内错角相等内错角相等 (3)大于大于90度的角是平角度的角是平角(4)如果如果ab,bc,那
12、么那么ac假命题假命题真命题假命题4 4、下图表示某地的一个灌溉系统、下图表示某地的一个灌溉系统.ABC EF H GDK IJ 如果如果C C地水流被污染，那么地水流被污染，那么_的水流也被污染的水流也被污染.E、F根据上图，你能说出其他的命题吗？根据上图，你能说出其他的命题吗？P本课结束7 7.2 2 定义与命题定义与命题（第（第2 2课时）课时）我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可前学过的观察、实验、验证特例等方法来
13、证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？已经知道的真命题又是如何证实的？如何证实一个命题是真命题呢如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学用我们以前学过的观察、实过的观察、实验、验证特例验、验证特例等方法等方法.这些方法往这些方法往往并不可靠往并不可靠.那已经知道的那已经知道的真命题又是如真命题又是如何证实的何证实的?.?.能不能根据已能不能根据已经知道的真命经知道的真命题证实呢题证实呢?那可怎么办？那可怎么办？证实其它命证实其它命题的正确性题的正确性推推 理理2 2、公理公理:1 1、原名原名:3 3、证明证明:
14、4 4、定理定理:书上书上P P16168 8页页，了解古希腊数学家欧几里得，了解古希腊数学家欧几里得(公元前公元前300300前后）和他的前后）和他的原本原本；找出下列各个定义找出下列各个定义.某些数学名词称为原名某些数学名词称为原名.公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理.除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性都通过推其它真命题的正确性都通过推理的方法证实理的方法证实.演绎推理的过程称为证明演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理.推理的过程推理的过程叫证明叫证明经过证明的真经过证明的真命题叫定理命题叫定理原名、公理原名、公理一些条件一些条件+1.1.两
15、点确定一条直线两点确定一条直线.2.2.两点之间线段最短两点之间线段最短.3.3.两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条那么这两条直线平行直线平行;4.4.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;5.5.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;6.6.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;7.7.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;8.8.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行过直线外一点有
16、且只有一条直线与这条直线平行.本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公理 :定理定理 同角（等角）的补角相等同角（等角）的补角相等.定理定理 同角（等角）的余角相等同角（等角）的余角相等.定理定理 三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边.例例 已知：如图，直线已知：如图，直线ABAB与直线与直线CDCD相交相交于点于点O O，AOCAOC与与BODBOD是对顶角是对顶角.求证：求证：AOCAOC=BODBOD.证明：证明：直线直线ABAB与直线与直线CDCD相交于点相交于点OO，AOBAOB和和CODCOD都是平角（平角的定义）都是平角（平角的定义）.AOC
17、AOC和和BODBOD都是都是AODAOD的补角（补角的定义）的补角（补角的定义）.AOCAOC=BODBOD（同角的补角相等）（同角的补角相等）定理：对顶角相等定理：对顶角相等.2 2、原名、公理、证明、定理的定义及它们、原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系的关系1 1、命题的、命题的分类分类:真命题和假命题真命题和假命题.这节课你学习了什么知识？这节课你学习了什么知识？证实其它命证实其它命题的正确性题的正确性推推 理理推理的过程推理的过程叫证明叫证明经过证明的真经过证明的真命题叫定理命题叫定理原名、公理原名、公理一些条件一些条件+1 1、“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”这个语句
18、是（这个语句是（）A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定义、定义 DD、只是命题、只是命题2 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线线”这个语句是（这个语句是（）A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定义、定义 DD、只是命题、只是命题3 3、下列命题中，属于定义的是（、下列命题中，属于定义的是（）A A、两点确定一条直线、两点确定一条直线 B B、同角的余角相等、同角的余角相等 C C、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 DD、直线外一点到这条直线的垂线段的长度、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的
19、距离叫做这点到这条直线的距离本课结束7 7.3 3 平行线的判定平行线的判定 前面我们探索过两直线平行的哪些判别条前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？件？“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”你能证明它们吗？试试看你能证明它们吗？试试看.定理定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行角相等，那么这两条直线平行.简述为：简述为：内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行abc123已知：已知：1 1和和2 2是直线是直线a,b线被直线线被直线c截出的内错角，且截出的内错角，且1=21=2.求证：求证：ab证明：证明：1=2
20、1=2（已知），（已知），1=31=3（对顶角相等），（对顶角相等），2=32=3（等量代换）（等量代换）.ab（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）.定理：理：两条直线被第三条直线所截，如果同两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行旁内角互补，那么这两条直线平行简述为：简述为：同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行.已知：如图，已知：如图，1 1和和2 2是直线是直线a、b被直线被直线c截出的同旁内角，且截出的同旁内角，且1 1与与2 2互补互补.求证：求证：ab1+2=1801+2=180o o（互补的定义）（互补的定义）1=1801=180o
21、 o-2-2（等式的性质）（等式的性质）3=1803=180o o-2-2（等式的性质）（等式的性质）证明：证明：1 1与与2 2互补（已知）互补（已知）3+2=1803+2=180o o（平角的定义）（平角的定义）1=31=3（等量代换（等量代换 ）ab（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）注意：证明的依据只能是有关概念、定义、所规定的公注意：证明的依据只能是有关概念、定义、所规定的公理及已经证明的定理理及已经证明的定理.abc312证明一个命题的一般步骤：证明一个命题的一般步骤：（1 1）弄清题设和结论；）弄清题设和结论；（2 2）根据题意画出相应的图形；）根据题意画出相应的
22、图形；（3 3）根据题设和结论写出已知）根据题设和结论写出已知,求证；求证；（4 4）分析证明思路）分析证明思路,写出证明过程写出证明过程.如图：直线如图：直线ABAB、CDCD都和都和AEAE相交，且相交，且 1+A=180 1+A=180.求证：求证：ABAB/CDCD1=21=2（等量代换）（等量代换）1+A=1801+A=180（）2+A=180 2+A=180（等量代换）（等量代换）/（）已知ABAB CDCD同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行证明：证明：1+3=180（1平角平角=180）2+3=180 2+3=180 （）1平角平角=180CBAD21E3本课结束7
23、 7.4 4 平行线的性质平行线的性质 我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法种方法.思考：大家把思维的指向反过来：如果两条直线思考：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？系又该如何表达？定理：定理：两条平行线被第三条直线所截，同位两条平行线被第三条直线所截，同位角相等角相等.简述为：简述为：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.BE21已知：如图，直线已
24、知：如图，直线ABAB/CDCD，1 1和和2 2是直线是直线ABAB、CDCD被直被直线线EFEF截出的同位角截出的同位角.求证：求证：1=2.1=2.ACDMN证明：假设证明：假设1212，那么我们可以过点，那么我们可以过点MM作直线作直线GHGH，使，使EMHEMH=2=2，根据根据“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”，可知可知GHGH/CDCD 又因为又因为ABAB/CDCD，这样经过点，这样经过点MM存在两存在两条直线条直线ABAB和和GHGH都与直线都与直线CDCD平行平行 这与基本事实这与基本事实“过直线外一点有且只有过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行一条直线
25、与已知直线平行”相矛盾相矛盾 这说明这说明1212不成立，所以不成立，所以1=21=2GH利用上面的定理，我们可以证明：利用上面的定理，我们可以证明：定理：定理：两条平行直线被第三条直线所两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等截，内错角相等.简述为：简述为：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等.已知：如图，直线已知：如图，直线ab,1和和2是直线是直线a、b被直线被直线 c截出的内错角截出的内错角.求证：求证：1=2123abc证明：证明：ab()3=2 ()3=1()1=2已知已知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等对顶角相等对顶角相等(等量代换)类似的，还可以证明：类似的
26、，还可以证明：定理：定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述为：简述为：两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补.例例 已知：如图，已知：如图，b ba a,c ca a,1,2,3,1,2,3是直线是直线a a、b b、c c被直线被直线d d截出的同位角截出的同位角.求证：求证：b bc c.证明：证明：b ba a（已知）已知）2=12=1（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）a ac c（已知）（已知）1=31=3（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）2=32=3（等量代换）（等量代换）b bc
27、 c（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）定理：定理：平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行本节课你学习了什么知识？本节课你学习了什么知识？平行线的性质：平行线的性质：定理：两直线平行，同位角相等定理：两直线平行，同位角相等定理：两直线平行，内错角相等定理：两直线平行，内错角相等定理：两直线平行，同旁内角互补定理：两直线平行，同旁内角互补证明的一般步骤证明的一般步骤（）根据题意，画出图形（）根据题意，画出图形（）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证（）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出（）经过分析，找出
28、由已知推出求证的途径，写出证明过程证明过程证明：证明：“两直线平行，同旁内角两直线平行，同旁内角互补互补”.”.本课结束7 7.5 5三角形内角和定理三角形内角和定理（第（第1 1课时课时)我们知道，任意一个三角形的内角和等于我们知道，任意一个三角形的内角和等于180，怎样证明这个结论的正确性呢？怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于证明任意三角形的内角和等于180的方法呢？的方法呢？思考：如图，如果我们只把思考
29、：如图，如果我们只把A移到了移到了1的位置，的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动你能证明这个结论吗？如果不移动A，那么你还，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？有什么方法可以达到同样的效果？已知已知:如图如图,ABCABC.求证求证:A A+B B+C C=180=1800 0.分析分析:延长延长BCBC到到DD,过点过点C C作作射线射线CECEABAB,这样就相当这样就相当于把于把A A移到了移到了1 1的位置的位置,把把B B移到了移到了2 2的位置的位置.这里的这里的CDCD,CECE称为辅助线称为辅助线,辅助线通常辅助线通常画成虚线画成虚线.ABCE213D证明证明:作作BCBC
30、的延长线的延长线CDCD,过点过点C C作作CECEABAB,则则1=1=A A（两直线平行（两直线平行,内错角相等）内错角相等）,2=2=B B（两直线平行（两直线平行,同位角相等）同位角相等）.又又1+2+3=1800 1+2+3=1800（平角的定义）（平角的定义）,A A+B B+ACBACB=1800=1800（等量代换）（等量代换）.思考：你还能用其他方法证明三角形内角思考：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？和定理吗？ABCPQ如果把三角形三个角如果把三角形三个角“凑凑”到到A处，过点处，过点A作直线作直线PQBC（如图），他的想法可行吗？（如图），他的想法可行吗？如果可行，
31、你能写出证明过程如果可行，你能写出证明过程吗？吗？例例 如图，在如图，在ABCABC中，中，B=38B=38,C=62,C=62,AD,AD是是ABCABC的角平分线，求的角平分线，求ADBADB的度数的度数.w 在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角小明的想法是把三个角“凑凑”到到A处处,他过点他过点A作直线作直线PQBC(如图如图),他的想法可他的想法可行吗行吗?w请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动.w小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你受到由此你受到什么启发什么启发?你有新的证法吗你有新的证法吗?w证明证明:过点过点A
32、作作PQBC,则则w 1=B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 又又1+2+3=1800(平角的定义平角的定义),w BAC+B+C=1800(等量代换等量代换).所作的辅助线所作的辅助线是证明的一个是证明的一个重要组成部分重要组成部分,要在证明时首要在证明时首先叙述出来先叙述出来.ABCPQ231w三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1800.wABC中中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=1800(B+C).wB=1800(A+C).w
33、C=1800(A+B).wA+B=1800-C.wB+C=1800-A.wA+C=1800-B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.ABC这节课学习了什么知识？这节课学习了什么知识？学习了如何利用三角形的内角和求角学习了如何利用三角形的内角和求角的度数的度数1 1、如图，已知如图，已知ADAD是是ABDABD 和和ACDACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABDABD中中,1,1180180B B3 3，在在ADCADC中中,2,2180180C C4 4（三角形内角和定理），（三角形内角和定
34、理），又又BDCBDC3603601 12 2（周角定义）（周角定义）BDC BDC 360360（180180B B3 3）（180180C C4 4）B+C+3+4.B+C+3+4.又又 BAC BAC 3+4,3+4,BDC BDC B+C+BAC B+C+BAC（等量代换）（等量代换）（等量代换）（等量代换）2 2、如图，已知如图，已知ADAD是是ABDABD 和和ACDACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+C证法二：证法二：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCAC
35、DABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12本课结束7 7.5 5三角形内角和定理三角形内角和定理（第（第2 2课时课时)前面我们已经学习过三角形的内角和前面我们已经学习过三角形的内角和定理，三角形有内角，那么三角形有没有定理，三角形有内角，那么三角形有没有外角呢？如果有，是怎样的？外角呢？如果有，是怎样的？ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为成的角，称为ABC的外角的外角.如图如图,1是是ABC的的外角外角.你能在图中画出你能在图中画出ABC的其他外角吗的其他外角
36、吗ABCD1234三角形外角定义三角形外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组三角形的一边与另一边的延长线所组成的角成的角,叫做三角形的叫做三角形的外角外角.特征特征:（1 1）.顶点在三角形的一个顶点上顶点在三角形的一个顶点上.（2 2）.一条边是三角形的一边一条边是三角形的一边.（3 3）.另一条边是三角形某条边的延长线另一条边是三角形某条边的延长线.实际上三角形的一个外角实际上三角形的一个外角,就是三角形一个内角的就是三角形一个内角的邻补角邻补角 如图如图.1是是ABC的一个外角的一个外角,1与图中的其它与图中的其它角有什么关系角有什么关系?1+4=1800 12，131=2+3.证明
37、证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理三角形内角和定理),1+4=1800(平角的意义平角的意义),1=2+3.(等量代换等量代换).12,13(和大于部分和大于部分).ABCD1234能证明你的结论吗能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234在这里在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理出两个新定理.像这样像这样,由一个公理或定理直接由一个公理或定理直接推出的定理推出的定理
38、,叫做这个公理或定理的叫做这个公理或定理的推论推论.推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.三角形内角和定理的推论:推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和.推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角一个和它不相邻的内角.ABC中中:1=2+3;12,13.ABCD1234这个结论以后可以直接运用.例例 已知：在已知：在ABC中，中，B=C,AD平分外角平分外角EAC.求证：求证：ADBC.分析：要证明分析：要证明AD/BC，只需证明，只需证明“同位角相等同位角相等”或或“内错角相等内错
39、角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”证明：证明：EAC=B+C（三角形的一个外（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知），（已知），C=0.5EAC（等式的性质）（等式的性质）AD平分平分EAC（已知）（已知）DAC=0.5EAC（角平分线的定义）（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）（等量代换）AD/BC（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）对于例对于例2，你还有其它证明方法吗？，你还有其它证明方法吗？例例 已知如图，已知如图，P P是是ABCABC内一点，连接内一点，连接PBPB、PCPC.求证：求证：BPCBPCA
40、A.证明：如图，延长证明：如图，延长BPBP，交，交ACAC于点于点DD.BPCBPC是是PDCPDC的一个外角（外角的定义），的一个外角（外角的定义），BPCBPCPDCPDC（三角形的一个外角大于任（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）何一个和它不相邻的内角）.PDCPDC是是ABDABD的一个外角（外角的定义），的一个外角（外角的定义），PDCPDCA A（三角形的一个外角大于任何一（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），个和它不相邻的内角），BPCBPCA A.你还有其他的证明方法吗？你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流与同伴进行交流这节课你学习了哪些知识？这节课你学习了哪些知识？1 1、外角的概念、外角的概念;2 2、外角的推论、外角的推论;3 3、利用外角解决相关问题、利用外角解决相关问题.如图，如图，1 1，2 2，3 3是是ABCABC的外角，那么的外角，那么1 1，2 2，3 3的和是的和是多少度多少度？本课结束
