1、第第四四节节 可降阶的高阶可降阶的高阶微分方程微分方程第第八八章章 微分方程微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程()()nyf x 二、二、型的微分方程型的微分方程(,)yf x y二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。本节所讨论两种特殊的高阶微分方程，它们可以通过积分或变量代换，降为低阶的微分方程来求解。这种求解方法称为降阶法。微分方程()()nyf x的特点是右端只有自变量。我们可以通过逐次积分求得它们的通解。事实上，只要将 看成新的未知函数，那么方程（1）就是一个关于 的一阶微分方程。两边积分，得到一个 阶微分方程(1)ny1n(1)ny(1)1()nyf x dxC 一、一、
2、型的微分方程型的微分方程()()nyf x（1）同理可得 。依次进行 次积分，便可得方程（1）的通解。(2)12()nyf x dxC dxC n例例1求微分方程 的通解。2sinyxx 解：解：对所给方程依次积分三次，得21(2sin)cosyxx dxxxC 231121(cos)sin3yxxC dxxxC xC 312421231(sin)31cos122yxxC xC dxCxxxC xC记 ，即得微分方程的通解为112CC421231cos12yxxC xC xC其中 都是任意常数。123,C C C 二、二、型的微分方程型的微分方程(,)yf x y微分方程(,)yf x y的特
3、点是右端不含未知函数 .设 ，则 ，原方程变为()yp x ydpydx),(pxfdxdp这是一个关于变量 ，的一阶微分方程，设其通解为xp),(1Cxp即 dxCxdy),(1(2)对它两端积分，得到方程(2)的通解21),(CdxCxy例例2 求微分方程20 xyyx的通解。解：解：由于方程中不显含 ，是 型，所以设 ，则 ，从而原方程化为y(,)yf x yyp yp20 xppx即1ppxx这是一个未知函数 的一阶线性微分方程，由通解公式得p1121113dxdxxxCpexedxCxx于是2113Cyxx 两端积分可得原方程的通解为3121ln9yxCxC例例3 微分方程 满足初始条件 ，的特解.lnxyyyeyx11xye解解 设 ，原方程为yp dpypdxlnxppp xdxppdpln两边积分，有 1lnlnlnlnCxp即 xCp1ln化简得 由条件 ，得 ，1xye11C故 xye 积分得 2Ceyx由条件 ，得 ，即为所求的特解。eyx102Cxey 1C xype 即
