1、第八节第八节 建模和最优化建模和最优化第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用例例1 （油罐的设计）（油罐的设计）一容积为300立方米的带盖直圆柱油罐，怎样设计才能使所用材料最省？分析：分析：显然，要所用材料最省，就是要使直圆柱油罐表面积最小。由于直圆柱油罐的容积已为定数300立方米，所以若半径一确定，则高 也随之而定。h建立模型：建立模型：由已知 ，所以 ，因此取 为自变量，总表面积为3002hrV2300rhrrrrrrrhrS600230022222222)0(r求解：求解：我们的目标是求使 的值最小的 。0r SS0r 因为对 ，可微，因此只能在一阶导数为零的 值
2、处取到最小值令 ，即 得0S060042rr，求解得023003r 为函数在 内的唯一驻点，因而就是最小值点。331502300r),0(再有 ，将 代入上式得3150r2300rh3321502)150(300h3321502)150(300h解释：解释：所用材料最省的容量为300立方米的直圆柱油罐的高等于其直径。即例例2 某工厂准备年计划生产某商品4000套，平均分成若干批生产，已知每批生产准备费为100元，每套产品库存费为5元，如果产品均匀投放市场（上一批用完后立即生产下一批，因此库存量为批量的一半），试问每批生产多少套产品才能使生产准备费与库存费之和为最小？建立建立模型：模型：2540
3、0000 xxy设每批生产 套，总费用为 元。由已知年生产批数为 ，生产准备费为xx4000 xx400000400010025x，库存费为y所以识别临界点：识别临界点：因为254000002xy令 ，得 0y400 x又因为 ，当 时，。3800000 xy 0y 400 x400 x所以，当 时，取极小值，亦即最小值。y解释：解释：每批生产400套产品时，生产准备费与库存费之和最小。例例3（内接矩形）（内接矩形）一个矩形内接于一个半径为2的半圆。矩形可以达到的最大面积为多少，矩形的尺寸是什么？建立建立模型：模型：设 是把半圆和矩形放在坐标平面上得到的矩形的角点的坐标。于是矩形的长、高和面积
4、可以用矩形右下角点的位置 表出：2,4xx 长：，高：，面积：。2x24x224xxx注意 的值位于区间 中，这是从我们所选的矩形的角点的位置求得的。x02x现在，我们的数学目标就是求连续函数2()24A xxx在定义域0，2上的绝对最大值。识别临界点和端点：识别临界点和端点：22222 44dAxxdxx在 处没有定义，而且 得2x 22222 404xxx2x 当 时 。两个零点 和 中只有 是A的定义域的内点，从而是一临界点。A在端点以及一个临界点处的值为2x ()0A x 2x 2x 2x 在临界点值：在端点的值：(2)2 2 424A(0)0,(2)0AA解释：解释：当矩形高为 单位以及长为 时面积达到最大值4。242x22 2x
