1、4 4.5 5.1 1函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解课标阐释思维脉络1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.(数学抽象)2.了解函数的零点与方程解的关系.(数学抽象)3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨请观察下图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被不小心擦掉了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?激趣诱思知识点拨知识点一、函数的零点(1)代数定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
2、的零点.(2)几何定义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.(3)方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.名师点析 1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).2.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.激趣诱思知识点拨
3、微点拨函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数解函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标微练习函数f(x)=x2-1的零点是()A.(1,0)B.(1,0)C.0D.1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1.答案:D激趣诱思知识点拨知识点二、零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.激趣诱思知识点拨名师点析(1)定理要求具备两个条件:函数在区间a,b上的图象是连续不
4、断的;f(a)f(b)0.两个条件缺一不可.(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.(3)若函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则由f(a)f(b)0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)f(b)0.(4)如果单调函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()答案:微练习函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.-2,-1 B.-1,0 C.0,1D.1,2解析:因为f(-
5、2)=-110,f(-1)=-20,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间-1,0上.答案:B 函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求函数的零点求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点与方程的解-
6、人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点
7、与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究
8、二探究三探究四素养形成当堂检测函数零点个数的判断函数零点个数的判断例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=2或x=1.又因为函数定义域为(0,+),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件函数的零点与方程的解-人教A版高中数学必修（第一册）优秀课件探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(3)(方法一)f(0)=1+0
9、-2=-10,f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的
10、个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.(1)解析:b2=ac,方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b
11、2=-3b2.abc0,b0.因此0,f(2)=-1+ln 2=ln 0,所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+)上是增函数,所以原函数只有一个零点.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测判断函数的零点所在的大致区间判断函数的零点所在的大致区间例3(1)方程log3x+x=3的实数解所在的区间为()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为.x-10123ex0.3712.727.3
12、920.09x+212345分析(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(0)=1-20,f(1)=2.72-30,f(3)=20.09-50.由零点存在定理可得f(1)f(2)1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+).答案:(1,+)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
13、检测反思感悟 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.(1,2B.1,+)C.1,2)D.1,2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用函数与方程思想在一元二次方程解的分布
14、问题中的应用典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正解和一个负解;(2)方程的两个解都大于1.【审题视角】题意画草图转换为数量关系求解4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图,所示.4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一
15、册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)当方程的两个解都大于1时,f(x)对应的草图可能如图,所示.4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛 解决有关解的分布问题应注意以下几点:(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.(2)结合草图考虑四个方面:开口方向;与0的大小
16、关系;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系.(3)写出由题意得到的不等式(组).(4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的解就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 本例已知条件不变,求a为何值时:(1)方程有唯一实数解;(2)方程的一个解大于1,一个解小于1.4.5.1
17、函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)因为方程的一个解大于1,一个解小于1.f(x)的草图可能如图,所示.4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0B.1C.2D.3
18、解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.答案:C2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30,f(2)=ln 2-20,f(4)=ln 40,则x0(2,3).答案:C4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知函数y
19、=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.函数y=ax2-x-1只有一个零点,方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为.解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.答案:2 4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)4.5.1函数的零点与方程的解-人教A版（2019）高中数学必修（第一册）课件(共37张PPT)
