1、1.2.1 1.2.1 函数的概念函数的概念12022-12-2 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？其函数解析式分别是什么？问题提出2.初中对函数概念是怎样定义的？初中对函数概念是怎样定义的？在一个变化过程中，如果有两个变量在一个变化过程中，如果有两个变量x与与y，并且对于并且对于x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y都有都有唯一确定唯一确定的的值与其对应，那么我们就说值与其对应，那么我们就说x是自变量是自变量，y是是x的的函数函数.一次函数：二次函数：；反比例函数：)0(kxky)0(2acbxaxy)0(kbkxy22022-12
2、-2知识探究（一）一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标落到地面击中目标.炮弹的射高为炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度，且炮弹距离地面的高度h（单位：（单位：m）随时间）随时间t（单位：（单位：s）变化的规律是：变化的规律是：h130t-5t2.思考思考1：这里的变量：这里的变量t的变化范围是什么？变量的变化范围是什么？变量h的变的变化范围是什么？试用集合表示？化范围是什么？试用集合表示？At|0t26，Bh|0h845 思考思考2：高度变量：高度变量h与时间变量与时间变量t之间的对应关系是否之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？为函数？若是，其自变
3、量是什么？思考思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是是怎样得到的？怎样得到的？32022-12-2知识探究（二）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况年的变化情况.S（106km2）15t（年）51979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 20010102025302642022-12-
4、2 思考思考1：根据曲线分析，时间根据曲线分析，时间t的变化范围是的变化范围是什么？臭氧层空洞面积什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？的变化范围是什么？试用集合表示？试用集合表示？At|1979t2001；Bs|0s26 思考思考2：时间变量时间变量t与臭氧层空洞面积与臭氧层空洞面积S之间之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？思考思考3：这里表示函数关系的方式与上例有这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？什么不同？52022-12-2知识探究（三）知识探究（三）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活国际上常用恩格尔系数反映一个国家人
5、民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下下表是表是“八五八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况变化情况.时间时间（年）（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔恩格尔系数系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9总支出食物支出恩格尔系数 62022-12-2 思考思考1：用：用t表示时间，表示时间，r表示恩格尔系数，表示恩格尔系数，那么那么t和和r的变化范围分别是什么？的变化范围分别是什么？A=1
6、991，1992，2001，B=53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9思考思考2：时间变量：时间变量t与恩格尔系数与恩格尔系数r之间的之间的对应关系是否为函数？对应关系是否为函数？72022-12-2知识探究（四）对于数集数集A中的每一个x，按照某种对按照某种对应关系应关系f，在数集数集B中都有唯一确定唯一确定的y和它对应，记作 f：AB.思考思考1：从集合与对应的观点分析，上述三：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？82022-12-2思考2：上述三个实例中变量之
7、间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？设设A，B是是非空的数集非空的数集，如果按照某种，如果按照某种确定的对应关系确定的对应关系f，使对于，使对于集合集合A中的中的任意任意一个数一个数x，在集合，在集合B中都有中都有唯一确定唯一确定的数的数f(x)和它对应，和它对应，那么就称那么就称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作 y=f(x)，xA.其中其中，x叫做叫做自变量自变量，与，与x值相对应的值相对应的y值叫做值叫做函数值函数值.92022-12-2解释定义 A,B是非空的数集是非空的数集。对应关系对应关系 思考：思考：“按照某种确
8、定的对应关系按照某种确定的对应关系 ”是什么意思？是什么意思？f f 可以看作是对“x”施加的某种运算或法则。例如：，f 就是对自变量x求平方。你能找出上面三个函数中的f 吗？2)(xxf102022-12-2)(xfy 的区别和联系。为常数与)()()(aafxf 思考：如何理解思考：如何理解“”“”？符号y=f(x)表示“y是变量是变量x的函数的函数”，它仅仅是函数符号函数符号，并不表示并不表示y y等于等于f与与x的乘积。的乘积。思考：思考：当当a为常数时为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数常数。112022-12-2定义域与值域：自变量的取值范围A叫做函数的
9、定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.思考思考3：在从集合在从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数f：AB中，集合中，集合A是是函数的定义域，集合函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，xR？例如：例如：xxfBAfBA2)(:,5,4,2,0,2,1,0定义域为定义域为0,1,2，值域为，值域为0,2,4122022-12-2思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系、值域；定义域相同，对应关系完全一致定义域相同，对应关系完
10、全一致,则两个函数则两个函数相等相等.函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；132022-12-2例例1、下列可作为函数、下列可作为函数y=f(x)的图象的是的图象的是xxxxyyyyOOOOabaabb0 x0 x0 x142022-12-2练习练习1 1:判断下列关系式是否是函数？并说明理由。判断下列关系式是否是函数？并说明理由。2(3)1yx(1)1,yxR(2)12yxx152022-12-2练习练习1 1、判断下列对应能否表示、判断下列对应能否表示y y是是x x的函数的函数（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x 2 （4）y2 =
11、x （5）y2+x2=1 （6）y2-x2=1 (1)能能 (2)不能不能 (5)不能不能 (3)能能 (4)不能不能 (6)不能不能 162022-12-2例2、对于函数y=f(x)，以下说法正确的有()y是x的函数 对于不同的x,y的值也不同 f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A、1个 B、2个 C、3个 D、4个B172022-12-2例3、给出四个命题：定义域相同，值域相同的两个函数相等。若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 因f(x)=5(xR),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立 定义域和
12、对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有()A、1个 B、2个 C、3个 D、4个C182022-12-22.函数的三要素函数的三要素:定义域定义域A；值域值域f(x)|xA；对应法则对应法则f.(1)函数符号函数符号yf(x)表示表示y是是x的函数，的函数，f(x)不是表示不是表示 f 与与x的乘积；的乘积；(2)f 表示对应法则，不同函数中表示对应法则，不同函数中f 的具的具 体含义不一样；体含义不一样；192022-12-2函数函数对应法则对应法则定义域定义域值域值域正比例正比例 函数函数反比例反比例 函数函数一次函数一次函数二次函数二次函数)0(kkxy)0(2 acbxaxy)0(k
13、xky)0(kbkxyRRRRR0|xx0|yy44|044|022abacyyaabacyya 时时时时3.已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域202022-12-2反比例函数反比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数a 0a 0图像图像定义域定义域值域值域(0)kyxk(0)yax ba2 (0)yaxbx ca|0 x xRRR|0y yR24|4ac by ya24|4ac by ya2ba244acba244acba2ba3.已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域212022-12-2例例1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：例题讲解例题讲解xxxfxxfxxf2
14、11)()3(23)()2(21)()1(222022-12-2实数集实数集R R 使分母不等于使分母不等于0 0的实数的集合的实数的集合使根号内的式子大于或等于使根号内的式子大于或等于0 0的实数的集合的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集即各集合的交集)使实际问题有意义的实数的集合使实际问题有意义的实数的集合 (3)(3)如果如果y=f(x)是二次根式，则定义域是是二次根式，则定义域是(4)(4)如果如果y=f(x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是是由几个部分的式子构成的，则定义域是(1)(1)如果如果y=f(x)是整式，则定义域是
15、是整式，则定义域是(2)(2)如果如果y=f(x)是分式，则定义域是是分式，则定义域是(5)(5)如果是实际问题，是如果是实际问题，是232022-12-2求下列函数的定义域求下列函数的定义域（1）（2）（3）（4）|1)(xxxfxxf111)(14)(2xxxf131)(xxxf242022-12-2设设a,b是两个实数，而且是两个实数，而且ab,我们我们规定规定：(1)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间，表示为表示为 a,b(2)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做的集合叫做开区间开区间，表示为表示为 (a,b)(1)、满足不等
16、式、满足不等式axb或或aa,x b,xb的实数的集的实数的集合分别表示为合分别表示为a,+)、(a,+)、(-,b、(-,b).262022-12-2试用区间表示下列实数集试用区间表示下列实数集（1）x|5 x6 （2）x|x 9（3）x|x -1 x|-5 x2（4）x|x -9x|9 x20注意注意：区间是一种表示连续性的数集区间是一种表示连续性的数集 定义域、值域经常用区间表示定义域、值域经常用区间表示 实心点表示包括在区间内的端点，用空心点实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不表示不 包括在区间内的端点。包括在区间内的端点。)6,5),9)2,51,()20,9()9,(272
17、022-12-2).1(),2(),3(,253)(.22afffxxxf求已知函数例2222(3)3 35 3 2 14(2)3(2)5(2)28 5 2(1)3(1)5(1)23fff aaaaa 解：解：282022-12-22()323(1)(2),(2),(2)(2)(2)(),(),()()f xxxfffff afaf afa已知函数、求、求292022-12-2(2)3 2612()3636()3()63()6()3()63(36)6924ff aaaf mnmnmnf f xf xxx 解：3.()36,(2),(),(),().f xxff af mnf f x例 已知函数
18、求302022-12-2323224.1()(2)(3)(4)yxyxyxxyxyx例 下列哪个函数与是同一个函数？（）解：（1）这个函数与函数2()(0),yxx x()yx xR虽然对应关系相同，但是定义域不相同。所以这个函数与函数 不相等。()yx xR（2）,这个函数与函数这个函数与函数33()yxx xR()yx xR不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数与函数 相等。相等。()yx xR312022-12-2例例5.下列各组中的两个函数是否为相同的下列各组中的两个函数是否为相同的函数？函数？52)()52()()3()
19、1)(1(11)2(53)5)(3()1(2xxfxxfxxyxxyxyxxxy与与与（1 1）定义域不同。）定义域不同。（2 2）定义域不同。）定义域不同。（3 3）定义域和值域都不同）定义域和值域都不同。322022-12-202222(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f xxg xf xxg xxf xxg xxf xxg xx 练习：判断下列函数练习：判断下列函数f(x)与与g(x)是否表示相是否表示相等的函数，并说明理由？等的函数，并说明理由？332022-12-2例例6.已知函数已知函数 215)(xxxf（1）求）求f(x)的定义域；的
20、定义域；（2）求）求f(x+3)的表达式，以及的表达式，以及f(x+3)的定义域。的定义域。（3）求）求f(2x+1)的表达式，以及的表达式，以及f(2x+1)的定义域。的定义域。注意：注意：1.函数函数f(x+3)的定义域指的是的定义域指的是x的取值范围，而不是的取值范围，而不是x+3 的取值范围。的取值范围。2.本题中函数本题中函数f(x+3)的定义域为的定义域为-1x2，则，则2x+3 5 与与f(x)的定义域相同。的定义域相同。原因是我们在求原因是我们在求f(x+3)f(x+3)的表达的表达式时是用式时是用“x+3x+3”整个代替整个代替f(x)f(x)表达式中的表达式中的“x x”。
21、342022-12-2变式变式1：已知函数：已知函数f(x)的定义域为的定义域为(2,5，求函数，求函数f(x+3)的定义域。的定义域。变式变式2：已知函数：已知函数f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2，求，求函数函数f(x)的定义域。的定义域。解：解：(1)因为因为f(x)的定义域为的定义域为(2,5，所以，所以2x+35，得得-1x2。所以函数。所以函数f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2。（2）因为）因为f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2，所以，所以-1x2，得得2x+35，所以，所以f(x)的定义域为的定义域为(2,5。352022-12-2 1.已知函数已知函数f(2x-1)的定义域为的定义域为0,1)，求，求 f(1-3x)的的定义域。定义域。2.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为0,1，求，求 的定义域。的定义域。3.若函数若函数f(x+3)的定义域为的定义域为-5,-2,求求F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。的定义域。)1(2xf362022-12-2
