1、8.6.1直线与直线垂直直线与直线垂直第八章立体几何初步第八章立体几何初步 空间中两条直线的位置关系有三种：相交直线、平行直线和异面直线 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线，本节课我们主要研究异面直线一、一、探究，形成异面直线所成的角的概念探究，形成异面直线所成的角的概念问题问题1如图所示的正方体中，直线 与直线AB，直线 与直线AB都是异面直线，但是它们的位置不同，如何描述这种差异呢？A C A D 利用它们所成的角度将直线AB平移至A B 一、一、探究，形成异面直线所成的角的概念探究，形成异面直线所成的角的概念 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，我们把直线a
2、，b所成的角叫做异面直线所成的角（或夹角）abab问题问题2平移时，所选的点O的位置对它们所成的角的有没有影响，为什么？一、一、探究，形成异面直线所成的角的概念探究，形成异面直线所成的角的概念追问追问1点O选在比较哪里合适？O当两条直线互相平行时，我们规定它们所成的角为0，所以，空间中两条直线所成的角的取值范围是什么？追问追问2异面直线所成的角的取值范围是什么？0,900,90一、一、探究，形成异面直线所成的角的概念探究，形成异面直线所成的角的概念问题问题3如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记为 那么反过来，若空间中两条直线互相垂直，这两条直线是异面直线吗？a
3、b空间中的直线垂直包括异面垂直与相交垂直二、二、探究探究空间中直线与直线垂直空间中直线与直线垂直例例1如图，已知正方体 （1）哪些棱所在的直线与直线 垂直？（2）求直线 与 所成角的大小（3）求直线 与 所成角的大小ABCDA B C D AABACCBAAC45二、二、探究探究空间中直线与直线垂直空间中直线与直线垂直,AB BC CD DA A B B C C D D A 60例例2如图，已知正方体 ，为底面 的中心求证：1111ABCDA BC D1AOBD1O1111A BC D二、二、探究探究空间中直线与直线垂直空间中直线与直线垂直证明：连接B1D1 是正方体，1111ABCDA BC
4、 D/11BBDD四边形BB1D1D是平行四边形B1D1BD直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角例例2如图，已知正方体 ，为底面 的中心求证：1111ABCDA BC D1AOBD1O1111A BC D11AOOC平移至二、二、探究探究空间中直线与直线垂直空间中直线与直线垂直O连接AB1，AD1易证AB1AD1又 为底面 的中心，1O1111A BC D O1为B1D1的中点，111AOB D 1AOBD三、空间直线与直线垂直的应用三、空间直线与直线垂直的应用练习练习1如果异面直线a与b所成角为50，P为空间一定点，则过点P与a，b所成的角都是30的直线有且仅有 条解：过
5、定点P作a，b的平行线a，ba，b成50角，a与b也成50角过P作APB的平分线，取较小的角有APOBPO25APAAPO，过点P与a，b所成的角都是30的直线有且仅有2条练习练习2空间四边形ABCD，已知AD1，BC ，且ADBC，对角线BD ，AC ，求AC和BD所成的角313232三、空间直线与直线垂直的应用三、空间直线与直线垂直的应用练习练习2空间四边形ABCD，已知AD1，BC ，且ADBC，对角线BD ，AC ，求AC和BD所成的角313232三、空间直线与直线垂直的应用三、空间直线与直线垂直的应用解：分别取AB，AD，DC，BD的中点E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，E
6、G则MG ，EM /12BC/12AD ADBC，EMEG在RtEMG中，有 2213122EG练习练习2空间四边形ABCD，已知AD1，BC ，且ADBC，对角线BD ，AC ，求AC和BD所成的角313232三、空间直线与直线垂直的应用三、空间直线与直线垂直的应用在RFG中，EF ，EF2FG2 EG211324BD 13=24FGACEFFG，即ACBD AC和BD所成的角为90如图，在直三棱柱 中，P为A1B的中点，Q为棱C1C的中点求证：（1）PQAB；（2）PQC1C；（3）PQA1B四、课堂练习，及时反馈四、课堂练习，及时反馈111ABCABCCACB（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）如何计算异面直线所成的角，它在什么范围内取值？（3）怎么定义空间中直线与直线垂直？（4）证明空间中直线与直线垂直有哪些方法？五、反思总结五、反思总结教科书第148页第14题，第163页第11题六、布置作业六、布置作业1一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上结论中正确的是_（填序号）目标检测目标检测2在空间四边形ABCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为30，E、F分别是边BC和AD的中点，求异面直线EF和AB所成的角再再 见见
