1、二绝对值不等式1.绝对值三角不等式【自主预习自主预习】1.1.绝对值的几何意义绝对值的几何意义原点原点距离距离长度长度a a 2.2.绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)(1)定理定理1:1:如果如果a,bR,a,bR,则则|a+b|_,a+b|_,当且仅当且仅当当_时时,等号成立等号成立.(2)(2)定理定理1 1的推广的推广:如果如果a,ba,b是实数是实数,则则|a|-|b|a|-|b|a|ab|a|+|b|.b|a|+|b|.|a|+|b|a|+|b|ab0ab0(3)(3)定理定理2:2:如果如果a,b,cR,a,b,cR,那么那么|a-c|a-b|+|b-c|,|a-c|a-b|
2、+|b-c|,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0【即时小测即时小测】1.1.已知已知a,bR,a,bR,则使不等式则使不等式|a+b|a|+|b|a+b|0A.a+b0B.a+b0B.a+b0C.ab0D.ab0D.ab0【解析解析】选选D.D.根据绝对值的意义根据绝对值的意义,可知只有当可知只有当ab0ab0时时,不等式不等式|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|成立成立.2.2.对任意对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值的最小值为为()A.1A.1B.2
3、B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C.C.对对任意任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,当且仅当当且仅当x0,1,y-1,1x0,1,y-1,1时时,等号成立等号成立.3.3.不等式不等式|x+1|+|x-1|a|x+1|+|x-1|a恒成立恒成立,则实数则实数a a的取值范围的取值范围为为_._.【解析解析】因为因为|x+1|+|x-1|(x+1
4、)-(x-1)|=2,|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当当且仅当-1x1-1x1时等号成立时等号成立,所以所以,使不等式使不等式|x+1|+|x-1|a|x+1|+|x-1|a恒成立的实数恒成立的实数a a的取值范围为的取值范围为a2.a2.答案答案:a2a2【知识探究知识探究】探究点探究点绝对值三角不等式绝对值三角不等式1.1.用向量用向量a,ba,b分别替换分别替换a,b,a,b,当当a a与与b b不共线时不共线时,有有|a+b|a|+|b|,|a+b|a|+|b|,其几何意义是什么其几何意义是什么?提示提示:其几何意义是其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边
5、三角形的两边之和大于第三边.2.2.不等式不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|a|-|b|a+b|a|+|b|中中“=”=”成立的条件成立的条件分别是什么分别是什么?提示提示:右侧右侧“=”=”成立的条件是成立的条件是abab0,0,左侧左侧“=”=”成立的条成立的条件是件是abab0 0且且|a|a|b|.|b|.【归纳总结归纳总结】1.1.对定理对定理1 1的两点说明的两点说明(1)(1)由于定理由于定理1 1与三角形边之间的联系与三角形边之间的联系,故称此不等式为故称此不等式为绝对值三角不等式绝对值三角不等式.(2)(2)定理定理1 1可推广到可推广到n n个实数情况即个实数情况即:
6、|a|a1 1+a+a2 2+a+an n|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n|.|.2.2.定理定理2 2的几何解释的几何解释在数轴上在数轴上,a,b,c,a,b,c所对应的点分别为所对应的点分别为A,B,C,A,B,C,当点当点B B在点在点A,CA,C之间时之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点当点B B不在点不在点A,CA,C之间时之间时,(1)(1)点点B B在在A A或或C C上时上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)(2)点点B B不在不在A,CA,C上时上时,
7、|a-c|a-b|+|b-c|.,|a-c|a-b|+|b-c|.类型一类型一利用绝对值三角不等式证明不等式利用绝对值三角不等式证明不等式【典例典例】设函数设函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x,-2x,实数实数|x-a|1.|x-a|1.求求证证:|f(x)-f(a)|2|a|+3.:|f(x)-f(a)|2|a|+3.【解题探究解题探究】典例中对于典例中对于|f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|如何构造如何构造,使其使其满足绝对值不等式的形式满足绝对值不等式的形式?提示提示:|f(x)-f(a)|=|x|f(x)-f(a)|=|x2 2-2x-a-2x-a2 2+2a|=|x-a|
8、x+a-2|.+2a|=|x-a|x+a-2|.【证明证明】因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x,-2x,实数实数|x-a|1,|x-a|1,所以所以|f(x)-f(a)|=|x|f(x)-f(a)|=|x2 2-2x-a-2x-a2 2+2a|=|x-a|x+a-2|+2a|=|x-a|x+a-2|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-2|1+|2a|+2=2|a|+3,2|1+|2a|+2=2|a|+3,所以所以|f(x)-f(a)|2|a|+3.|f(x)-f(a)|m|x|m时时,求证求证:2.
9、:m|b|x|m|b|且且|x|m1,|x|m1,所以所以|x|x2 2|b|.|b|.又因为又因为|x|m|a|,|x|m|a|,所以所以 故原不等式成立故原不等式成立.22222abxxabab|2,xxxxxxxx2.2.若若f(x)=xf(x)=x2 2-x+c(c-x+c(c为常数为常数),|x-a|1,),|x-a|1,求证求证:|f(x)-:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).f(a)|2(|a|+1).【解题指南解题指南】将将|f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|分解成含分解成含|x-a|x-a|的形式的形式,再再利用利用|x-a|1|x-a|1证明证明.【证明证明】|
10、f(x)-f(a)|=|x|f(x)-f(a)|=|x2 2-x+c-(a-x+c-(a2 2-a+c)|-a+c)|=|x=|x2 2-x-a-x-a2 2+a|=|(x-a)(x+a-1)|+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|=|x-a|x+a-1|x+a-1|x+a-1|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|x-a|+|2a-1|=|(x-a)+(2a-1)|x-a|+|2a-1|x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1).|x-a|+|2a|+1a|x-3|+|x+1|a的解集不是的解集不是R,R,求求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】只要只要a a
11、不小于不小于|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|的最小值的最小值,则则|x-3|+|x+1|a|x-3|+|x+1|a的解集不是的解集不是R,R,而而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|3-x+x+1|=4,|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|3-x+x+1|=4,当且仅当当且仅当(3-x)(x+1)0,(3-x)(x+1)0,即即-1x3-1x3时取最小值时取最小值4,4,所以所以a a的取值范围是的取值范围是4,+).4,+).【方法技巧方法技巧】求求f(x)=|x+a|+|x+b|f(x)=|x+a|+|x+b|和和f(x)=|x+a|-f(x)=|x+a|-|
12、x+b|x+b|的最值的三种方法的最值的三种方法(1)(1)转化法转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解求解.(2)(2)利用绝对值三角不等式进行利用绝对值三角不等式进行“放缩放缩”求解求解,但要注意但要注意两数的两数的“差差”还是还是“和和”的绝对值为定值的绝对值为定值.(3)(3)利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义.【变式训练变式训练】已知已知xR,xR,求函数求函数f(x)=|x+1|-|x-2|f(x)=|x+1|-|x-2|的最的最大值大值.【解析解析】根据绝对值的三角不等式根据绝对值的三角不等式,有有|x+1|-|x-2|x+1|
13、-|x-2|(x+1)-(x-2)|=3.|(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当当且仅当x x2 2时等号成立时等号成立.故函数故函数f(x)=|x+1|-|x-2|f(x)=|x+1|-|x-2|3,3,所以最大值为所以最大值为3.3.类型三类型三绝对值三角不等式的综合应用绝对值三角不等式的综合应用【典例典例】(2014(2014全国卷全国卷)设函数设函数f(x)=+|x-a|f(x)=+|x-a|(a0).(a0).(1)(1)证明证明:f(x)2.:f(x)2.(2)(2)若若f(3)5,f(3)0,a0,有有f(x)=f(x)=所以所以f(x)2.f(x)2.(2)f(3)=+|3-
14、a|.(2)f(3)=+|3-a|.当当a3a3时时,f(3)=a+,f(3)=a+,由由f(3)5,f(3)5,得得3a 3a 11|x|x a|xx a|aa 1|3|a1a521.21a 2.a 当当0a30a3时时,f(3)=6-a+,f(3)=6-a+,由由f(3)5,f(3)5,得得 a3.a3.综上综上,a,a的取值范围是的取值范围是 1a15215 521().22，【方法技巧方法技巧】绝对值不等式综合应用的解题策略绝对值不等式综合应用的解题策略 含绝对值的综合问题含绝对值的综合问题,综合性强综合性强,所用到的知识多所用到的知识多,在解题时在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质
15、、推论及已要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件知条件,还要注意配方等等价变形还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件还要注意等号成立的条件.【变式训练变式训练】1.1.设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c,+bx+c,当当|x|1|x|1时时,恒有恒有|f(x)|1,|f(x)|1,求证求证:|f(2)|7.:|f(2)|7.【证明证明】因为因为|x|1|x|1时时,有有|f(x)|1,|f(x)|1,所以所以|f(0)|=|c|1,|f(1)|1,|f(-1)|1,|f(0)|=|c|1,
16、|f(1)|1,|f(-1)|1,又又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cf(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c所以所以|f(2)|=|4a+2b+c|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|3+1+3=7.3+1+3=7.所以所以|f(2)|7.|f(2)|7.2.2.已知函数已知函数f(x)=lg f(x)=lg (1)(1)判断
17、判断f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的单调性上的单调性,并给出证明并给出证明.(2)(2)若若tR,tR,求证求证:22xx 1.x1 71113lg f(|t|t|)lg.106610【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)在在-1,1-1,1上是减函数上是减函数.证明证明:令令 取取-1x-1x1 1xx2 21,1,则则u u1 1-u-u2 2=222xx 1xu1.x1x1 211 22212xx1 xx,x1 x1因为因为|x|x1 1|1,|x|1,|x2 2|1,x|1,x1 1x0,0,即即u u1 1uu2 2.又在又在-1,1-1,1上上u0,u0,故故lgulgu
18、1 1lgulgu2 2,得得f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是减函数上是减函数.(2)(2)因为因为 所以所以 11111|t|t|(t)(t)|66663 ，11111|t|t|t(t)|66663 ，1111|t|t|.3663 由由(1)(1)的结论的结论,有有1111f()(|t|t|)f().366317113f()lgf()lg 31031071113lg|t|t|lg.106610 而，所以自我纠错自我纠错绝对值不等式在证明中的应用绝对值不等式在证明中的应用【典例典例】求证求证:a bab.1 a b1 a1 b【失误案例失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是用错了绝对值不等式错误的根本原因是用错了绝对值不等式,不能保不能保证证1+|a+b|1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|b|1+|b|成立成立.正确解答过正确解答过程如下程如下:【解析解析】当当|a+b|=0|a+b|=0时时,显然成立显然成立.当当|a+b|0|a+b|0时时,所以不等式成立所以不等式成立.a bab11111 a b1 ab11a bababab1 ab1 ab1 a1 b，
