1、第三章 空间向量与立体几何空间向量及其运算 空间向量的正交分解及其坐标表示人民教育出版社A版 高二|选修2-1 平面向量基本定理：一、复习如果是 同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且仅有唯一的有序实数对 ，使 。ba,p(,)x ybyaxP 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。ba,AabBCPp 图 1人民教育出版社A版 高二|选修2-1 平面向量的正交分解及坐标表示ji,为单位向量jyi xayxa,图 2人民教育出版社A版 高二|选修2-1 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。那么对于空间任意一个向量，有没有
2、类似的结论呢？pba,二、类比推理人民教育出版社A版 高二|选修2-1 在 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对 ，使得ji,(,)x y.OQxiy jxyzOijkQPp 设点Q是点P在 所确定的平面上的正投影，ji,设 ,是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，对于空间任一向量 ,OPP ji,k.OPOQzkxiy jzk 得：在 ，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在实数z，使得 OQk.OPOQzk 图 3人民教育出版社A版 高二|选修2-1 我们称 为向量 在 上的分向量。,xi y j zk,i j k P探究在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替
3、两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗？,a b c ,i j k 类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理。由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 ，使得P),(zyx.OPOQzkxiy jzk,i j k 向量 被分解为三个相互垂直的分向量，此即空间向量的正交分解。P人民教育出版社A版 高二|选修2-1 三、空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的一个 有序实数组 ，使,a b c p.pxaybzc),(zyx空间所有向量的集合 Rzyxczbyaxpp,都叫做基向量。,a b c cba,叫做空间的一个基底
4、，任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。人民教育出版社A版 高二|选修2-1 思考：基底应注意什么呢？（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。（2）由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，三个基向量每一个都不能为零向量。0人民教育出版社A版 高二|选修2-1 正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 表示。321,eee 人民教育出版社A版 高二|选修2-1
5、空间直角坐标系：在空间直角坐标系O-xyz中，O为坐标原点，对空间任一点P，对应一个向量 。由空间向量基本定理可知，存在有序实数组 ，使得 。OPP 321ezeyexOPP),(zyx设 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，以 的公共起点O为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz。321,eee321,eee321,eee人民教育出版社A版 高二|选修2-1 空间向量的坐标表示：xyzOe1e2e3p在单位正交基底 构成的空间直角坐标系Oxyz中，与向量 对应的有序实数组 ，叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点
6、P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标。OPP),(zyxOPP),(zyx321,eee图 4人民教育出版社A版 高二|选修2-1 四、例题讲解 1、设命题p：是三个非零向量；命题q：为空 间的个基底，则命题p是命题q的()。A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,a b c cba,人民教育出版社A版 高二|选修2-1 例题讲解解析：当非零向量 不共面时，可以当基底，否 则不能当基底；反过来，当 为基底时，一定有 为非零向量。,a b c cba,cba,a b c 答案：B人民教育出版社A版 高二|选修2-1 例题讲解2设 是空间向量的一个单位正交基底，则向量 ，
7、的坐标分别是_。kji,kjia23kjib242解析：是单位正交基底，故根据空间向量坐标表示的概念知：，。kji,)1,2,3(a)2,4,2(b答案：(3,2,-1)，(2,4,2)人民教育出版社A版 高二|选修2-1 例题讲解3.如图5，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，点M、N分别是面 A1B1C1D1和面AA1D1D的对角线的交点，请选取适当的基底表 示向量 、。CMCN1CAMN图 5人民教育出版社A版 高二|选修2-1 例题讲解分析：因为 、有公共起点C，故可选 、为 空间向量的一组基向量，以达到最简化的表示。CMCN1CACB CD1CC解：选取 作为空间向量的一个基底，
8、1,CCCDCB设 、，则aCB bCD cCC 1111111121DCBCCCMCCCCMcbaCCCDCB2121211人民教育出版社A版 高二|选修2-1 例题讲解NDDCCCCN1111111121ADDDCDCCcbaCCCDAD21212121111abcADDCCCCA111111cbacbaCMCNMN21212121cb2121在几何体中，根据图形特点，选择公共起点最集中的向量中三个不共面的向量作为基底，利于解题。人民教育出版社A版 高二|选修2-1 五、总结1、选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示 出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求；2、把空间向量放在空间直角坐标系中进行研究，向量用坐 标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算。人民教育出版社A版 高二|选修2-1
