1、命题与量词激趣诱思知识点拨现在社会中,广告无处不在,广告商都谙熟这样的命题变换艺术:如宣传某种食品的广告词为:“拥有的人们都幸福,幸福的人们都拥有”.初听起来这似乎只是几句普通的赞美词,然后这句话的等价命题就是“不拥有的人们不幸福”.哪个家庭不希望幸福啊?掏钱买一盒就是了.广告商正是利用了等价命题的道理使顾客产生了购物的心理效应,从而达到其经营的目的.激趣诱思知识点拨知识点一、命题的概念与分类(1)命题的概念:在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述语句叫做命题.(2)命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述语句”.我们学习过的定理、推论都是命题.(3)分类:激趣诱思
2、知识点拨名师点析对命题的理解有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然是命题;命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.激趣诱思知识点拨(4)命题的形式在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,通常我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.名师点析对命题形式的理解“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就
3、有q”也是常见的命题形式.将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中.改写前后命题的真假不发生变化.还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”.激趣诱思知识点拨微思考在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?提示:对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.激趣诱思知识点拨微练习(1)下列语句是命题的是()四边形内角和等于36013一个数不是正数就是负数x22019年央视猪年春晚真精彩啊!A.B.C.D.解析:是陈述句,且能判断真假,因此是命题,不能判断真假,是感叹句,故不是命题.答案:A激趣诱思知识
4、点拨(2)下列命题中,真命题共有()面积相等的三角形是全等三角形若xy=0,则|x|+|y|=0若ab,则a+cb+c矩形的对角线互相垂直A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:是假命题,是真命题.答案:A激趣诱思知识点拨知识点二、全称量词与全称量词命题(1)概念一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.(2)表示将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),表示,变量x的取值范围用M表示.那么,全称量词命题“对集合M中的所有元素x,r(x)”可用符号简记为xM,r(x),读作“对任意x属于集合M,
5、有r(x)成立”.激趣诱思知识点拨名师点析对全称量词与全称量词命题的理解从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.常见的全称量词还有“一切”“任给”等.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“x,yR,x2+y20”.全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.激趣诱思知识点拨(3)全称量词命题的真假判定要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成
6、立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0M,使得r(x0)不成立即可.激趣诱思知识点拨微思考观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m8;Q:对所有的mR,m8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.激趣诱思知识点拨微练习下列命题中全称量词命题的个数是()任意一个自然数都是正整数有的矩形是正方形三角形的内角和是180A.0B.1C.2D.3解析:是全称量词命题.答案:C激趣诱思知识点拨知识点三、存在量词与存在量词命题(1)概念“存在”“有”“至少有一个”在陈
7、述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题.(2)表示存在量词命题“存在集合M中的元素x,s(x)”可用符号简记为“xM,s(x)”,读作“存在集合M中的元素x,使s(x)成立”.激趣诱思知识点拨名师点析对存在量词与存在量词命题的理解从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“a,bR,使(a+b)2=(a-b)2”.含有存在量词“存在”“有一个”等的命
8、题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.激趣诱思知识点拨(3)存在量词命题真假判定要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.激趣诱思知识点拨微思考观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m8;Q:存在一个m0Z,m08.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示:语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.激趣诱思知识点拨微练习下列命题中,是真命题的是()A.xR,x20B.xR,x2+2x0D
9、.xR,x(x-1)=6 解析:xR,x20,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测命题的判断命题的判断例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)求证 是无理数.(3)并非所有的人都喜欢苹果.(4)大角所对的边大于小角所对的边.(5)xR,x2+4x+40.分析根据命题的定义进行判断.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题.(2)祈使句,不是命题.(3)真命
10、题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.(5)真命题,x2+4x+4=(x+2)20,对于xR,可以判断真假,它是命题,且是真命题.反思感悟判断一个语句是不是命题的关键点(1)“是陈述句”;(2)“可以判断真假”.这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1下列语句是否为命题?如果是,判断其真假.(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?(2)偶数的平方仍是偶数.解:(1)该语句是疑问句,不能判断其真假,故不是命题;(2)所有的偶数的平方都是偶数,无一例外,故
11、该语句是命题且为真命题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测全称量词命题与存在量词命题的辨析全称量词命题与存在量词命题的辨析例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)梯形的对角线相等.(2)存在一个四边形有外接圆.(3)二次方程都存在实数根.(4)负数没有对数.分析首先确定量词,然后判断命题的类型.解:(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.(2)命题为存在量词命题.(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”,故为全称量词命题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感
12、悟判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360.(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测全称量词命题与存在量词命题的真假判断全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3判断下列命题的真假.(1)xR,x2+1 .(2),R,(-)2=(+)2.(3)存
13、在一个数既是偶数又是负数.(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)真命题,例如=0,=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式=-312,B=x|xa,若aA,都有aB成立,求实数a的取值范围.分析把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系.探究一
14、探究二探究三探究四素养形成当堂检测(3)因为aA,都有aB成立,所以AB,则a2,即实数a的取值范围是(-,2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求解含有量词命题中参数范围的策略已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用典例 命题p:关于x的
15、一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛本题考查真假命题的判断,一元二次方程根与系数的关系,同时考查了分类讨论思想的应用.求解时灵活运用韦达定理是解题的关键.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是()A.中国公民都有受教育的权利B.每一个中学生都要接受爱国主义教育C.有人既能写小说,也能搞发明创造D.任何一个数除0,都等于0解析:A,B,D都是全称量词命题.答案:ABD探
16、究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是()A.存在一个R,使2=B.存在实数x,使|x|=-1C.对一切R,=|解析:C,D是全称量词命题,B是假命题.答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.命题“有些负数x满足不等式(1+x)(1-9x)0”用“”或“”可表述为.解析:由题意可知该命题是存在量词命题,所以应用“”,表述为x0.答案:x0探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)每个二次函数的图像都与x轴相交.解:(1)全称量词命题,如函数y=x2+1的图像与x轴不相交,所以该命题为假命题.(2)存在量词命题,非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题.
