1、定积分的简单应用定积分的简单应用（一）（一）利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积一、教学目标：一、教学目标：1 1、进一步让学生深刻体会、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、分割、以直代曲、求和、逼近求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；求曲边梯形的思想方法；2 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；分的基本定理；3 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。常见题型及方法。二、教学重难点：二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用曲边梯形面积的求法及应用三、教学方法：
2、三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合1.微积分基本定理微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式()()()|()()bbbaaaf x dxF x dxF xF bF a牛顿莱布尼茨公式沟通了牛顿莱布尼茨公式沟通了导数导数与与定积分定积分之间的关系之间的关系2.利用利用牛顿莱布尼茨公式求定积分的关键是牛顿莱布尼茨公式求定积分的关键是()()f xF x确定的原函数1()baAf x dx 221()()baAfxfx dx 思考思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yf x ab图图1.1.曲边梯形曲边梯形x xy yo o)(
3、1xfy )(2xfy ab图图2.2.如图如图x xy yo o图图4.4.如图如图)(1xfy )(2xfy ab0 xy图图3.3.如图如图)(xfy ab0yx3()baAf x dx 42121()()()()bbbaaaAf xdxf xdxf xf x dx解解两曲线的交点两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx 10333223 xx.31-OABDOABCSSS 梯梯曲形曲梯形11200 xdxx dx201yxxxyx 及及oxy2yx 2yx ABCD解解:两曲线的交点两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与直线与x轴交点为轴交点为(4,0
4、)2yx 4yx88042(4)xdxxdxS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4)|323xxx解解:两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy22 4 xy8281202222(24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4)|18332333xxxx28022 2(24)xdxxxdx24解解:两曲线的交点两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxx
5、dx2xy xxy63 1A2A于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式 例例3 3 求由抛物线求由抛物线y y2 2=8x(y0)=8x(y0)与直线与直线x+y-6=0 x+y-6=0及及y=0y=0所围成的图形的面积所围成的图形的面积.xyO6622602408(6)3Sxdxx dx 求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)(1)画草图画草图;(2);(2)求曲线的交点定出积分上、下求曲线的交点定出积分上、下线线
6、;(3);(3)确定被积函数确定被积函数,但要保证求出的面积是非负但要保证求出的面积是非负的的;(4);(4)写出定积分并计算写出定积分并计算.例例4 已知抛物线已知抛物线y=x2-2x及直线及直线x=0,x=a,y=0围成的围成的平面图形的面积为平面图形的面积为4/3,求求a的值的值.若若”面积为面积为4/3”,改为改为”面积不超过面积不超过4/3”呢呢?思路思路:根据根据a的取值的不同分类讨论的取值的不同分类讨论.当当a0时时,解得解得a=-1024(2)3axx dx222024(2)(2)3axxdxxx dx当当a2时时,无解无解当当0a2时时,解得解得a=2204(2)3axxdx
7、|()|()baSf x dx ab注意注意故故a=-1或或a=2-1,2巩固练习巩固练习:1.1.由定积分的性质和几何意义由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值说明下列各式的值.10222)1(1()2()1(dxxxdxxaaa22a142 2.2.一桥拱的形状为抛物线一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的已知该抛物线拱的高为常数高为常数h,h,宽为常数宽为常数b,b,求抛物线拱的面积求抛物线拱的面积.xy023Sbh224hyxhb 3.3.已知直线已知直线y=kxy=kx分抛物线分抛物线y=x-xy=x-x2 2与与x x轴所围图形轴所围图形为面积相等的两部分为面积相等的两部分,求
8、求k k的值的值.34124.求下列曲线所围成的图形的面积求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.32132(1)(23)3Sxxdx10(2)()1xSee dx求在直角坐标系下平面图形的面积步骤求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.1.作图象作图象;2.2.求交点的横坐标求交点的横坐标,定出积分上、下限定出积分上、下限;3.3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置注意分清被积函数的上、下位置;4.4.用牛顿莱布尼茨公式求定积分用牛顿莱布尼茨公式求定积分.编后语
9、老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注
10、意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。2022-12-3最新中小学教学课件172022-12-3最新中小学教学课件18谢谢欣赏！
