1、进入名师伴你行学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点六学点六学点四学点四学点五学点五名师伴你行返回目录1.一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I:(1)如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的两个自变量的值上的两个自变量的值x1,x2,当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数f(x)在区在区间间D上是增函数上是增函数.反映在图象上反映在图象上 ，由左至右，图象连续，由左至右，图象连续.(2)如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说函
2、数，那么就说函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数.反映在图象上反映在图象上 ，由左至右，图，由左至右，图象连续象连续.2.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是上是 ，那么，那么就说函数就说函数y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间D叫叫做做y=f(x)的区间的区间 .任意任意f(x1)f(x2)单调单调名师伴你行3.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实数数M满足：满足：（1）对于）对于 ，都有，都有f(x)M;存在存在x0I,使得使得 .那么，称那么，称M为函数为函数y=f(x)
3、的最的最大值，记为大值，记为ymax=M.(2)对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x)M;，使得使得f(x0)=M.那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最小值，记的最小值，记为为ymin=M.4.函数的最大（小）值反映在图象函数的最大（小）值反映在图象上上 ，是函数图象的纵坐标，是函数图象的纵坐标.任意的任意的xIf(x0)=M最高（低）点最高（低）点存在存在x0I返回目录名师伴你行返回目录学点一学点一 判定函数的单调性判定函数的单调性【分析分析】熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握复杂的复合函数的单调性复杂的复合
4、函数的单调性.【评析评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本身的性质得出身的性质得出.下列函数中下列函数中,在区间（在区间（0,+）上是增函数的是）上是增函数的是()A.y=x2-2x+1 B.y=C.y D.yx2 1x2-2xx-2【解析解析】y=xy=x2 2-2x+1-2x+1在在1,+)1,+)上递增上递增,而在而在(0,1(0,1上递减上递减;y=;y=在在(0,+)(0,+)上是减函数；上是减函数；y =y =在在0,10,1上递增上递增,在在1,21,2上递减上递减.只有只有y=y=在在(-,-1)(
5、-,-1)上递增上递增,在在(-1,+)(-1,+)上递上递增增,从而在从而在(0,+)(0,+)上递增上递增.故应选故应选C.C.x22xx-211)-(x-2 1x2-C名师伴你行返回目录下列函数，在区间下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（上是增函数的是（）A.y=B.y=2x-1C.y=1-2x D.y=(2x-1)2x1B(y=在在(0,+)上是减函数，排除上是减函数，排除A；y=2x-1在在R上是增上是增函数，故在函数，故在(0,2)上也是增函数；上也是增函数；y=1-2x在在(0,+)上是减函上是减函数，排除数，排除C;y=(2x-1)2在在(0,),上是减函数，上是减函数，
6、在在(,2)上上是增函数是增函数.故应选故应选B.)x12121B返回目录学点二学点二 利用图象求函数单调区间利用图象求函数单调区间【分析分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数作出函数f(x)=的图象，并指出函数的图象，并指出函数f(x)的单调区间的单调区间.96xx96x-x22由图象知函数的单调区间为由图象知函数的单调区间为(-,-3,-3,3,3,+).其中单调减区间为其中单调减区间为(-,-3,单调增区间为单调增区间为3,+),常函数区间为常函数区间为-3,3.图象如图所示图象如图所示.【解析解析】原函数可化为原函数可化为 f(x)
7、=|x-3|+|x+3|-2x,x-3,6,-33.返回目录【评析评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间调区间.显然函数的增区间为显然函数的增区间为x2,x3,x4,x5,减减区间为区间为x1,x2,x3,x4,x5,x6.（2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如法，只要作出
8、图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象图象如下图所示：如下图所示：返回目录求函数求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间的单调区间.“脱去脱去”绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象观察得出观察得出.当当x0时，时，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当当x0时，时，y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.如图所示，在如图所示，在(-,-1，0,1上，上，函数是增函数；在函数是增函数；在-1,0,1,+)上，函数是减函数上，函数是减函数.学点三学点三 单调性的判定与证明单调性的判定与证明【分析分析】用函数单调性定义证明用函数单调性定义
9、证明.求证：函数求证：函数f(x)=-1在区间在区间(-,0)上是单调增函数上是单调增函数.x1【证明证明】对于区间对于区间(-,0)内的任意两个值内的任意两个值x1,x2，且，且x10,x1x20,因为因为f(x2)-f(x1)=(-1)(-1)=-=,所以所以f(x2)-f(x1)0，即，即f(x1)f(x2),故故f(x)=-1 在区间在区间(-,0)上是单调增函数上是单调增函数.21x11x11x2112xxxx x121x【评析评析】证明函数在某个区间上是增函数或减函证明函数在某个区间上是增函数或减函数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设值、数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设
10、值、作差、变形、判断符号、下结论作差、变形、判断符号、下结论.返回目录设设x1,x2是是(-,+)内的任意两个实数，且内的任意两个实数，且x10,0,(x2-x1)(+x2x1+)0,即即f(x1)f(x2).函数函数f(x)=-x3+1在在(-,+)上是减函数上是减函数.x31x32x22x2121212x43x21x21212x43x21xx22x21返回目录根据函数单调性的定义证明：函数根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x3+1在在(-,+)上上是减函数是减函数.返回目录学点四学点四 利用单调性求变量范围利用单调性求变量范围（1）已知）已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在在(
11、-,4上是减函数，求实上是减函数，求实数数a的取值范围的取值范围;（2）已知）已知f(x)=-x3+ax在在(0,1)上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的取的取值范围值范围.【分析】二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，就会给我们研究问题带来方便就会给我们研究问题带来方便.对于不熟悉的函数，可以对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.返回目录【解析解析】（1）要使）要使f(x)在在(
12、-,4上是减函数，由二次函数的上是减函数，由二次函数的图象可知，图象可知，只要对称轴只要对称轴x 即可，即可，解得解得a5.（2）设）设0 x1x20,f(x2)-f(x1)=(-+ax2)-(-+ax1)=(-)+a(x2-x1)=(x1-x2)(+x1x2+-a)0,f(x)在在(0,1)上是增函数上是增函数,又又x2-x10,+x1x2+-a +x1x2+,又又0 x1x21,+x1x2+0时，要使时，要使f(x)在在1,+)上是增函数，上是增函数，a0 1 （3）当当af(a-1)+2，求，求a的取值范围的取值范围.【分析分析】从两点考虑：一是常数从两点考虑：一是常数2与与f(3)是什
13、么关系？是什么关系？可由可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式找出；二是在不等式f(a)f(a-1)+2中怎样中怎样“脱脱”去去“f”.【解析解析】f(xy)=f(x)+f(y)，且，且f(3)=1,f(9)=f(33)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.又又f(a)f(a-1)+2,f(a)f(a-1)+f(9),即即f(a)f9(a-1),返回目录【评析评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性用单调性“脱号脱号”.（2）“脱号脱号”时莫忘定义域对自变量的限制时莫忘定义域对自变量的限制.由单调函数的概念得由单调函数的概念得解得解得
14、1a .a的取值范围是的取值范围是1a0,求求实数实数m的取值范围的取值范围.由由f(m)+f(2m-1)0得得f(m)-f(2m-1),f(-x)=-f(x)，f(m)f(1-2m).由由f(x)是是(-2,2)上的减函数可得上的减函数可得解得解得-m .所求实数所求实数m的取值范围是的取值范围是-m x11，则，则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+=(x2-x1)（1-）.x2x11,x2-x10,x1x21,1,212x1)2x12x1(1221x2x121x2x1【评析评析】函数函数f(x)在区间在区间a,b(a0,f(x2)-f(x1)0,f(x)在区间在区间1,+)上为增函数
15、上为增函数,f(x)在区间在区间1,+)上的最小值为上的最小值为f(1)=.(2)在区间在区间1,+)上上,f(x)=0恒成立恒成立x2+2x+a0恒成立恒成立.设设y=x2+2x+a,x1,+),则则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增递增.当当x=1时时,ymin=3+a,于是于是,当且仅当当且仅当ymin=3+a0时时,函数函数f(x)0恒成立恒成立,故故a-3.21x2x127xa2xx2求函数求函数f(x)=x2-2ax-1在区间在区间0,2上的最值上的最值.由由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为，因为x0,2,(1)当当0a2时，时，f(x)min=f(a)=-a2-1
16、.当当0a1时，时，f(x)max=f(2)=22-4a-1=3-4a；当当1a2时，时，f(x)max=f(0)=-1.(2)当当a2时，时，f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.返回目录（1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6等等.有的函数分别有的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义域上却不单调，在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义域上却不单调，如反比例函数如反比例函数y=等，所以函数等，所以函数f
17、(x)在给定区间上的单调性，在给定区间上的单调性，反映了函数反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质.（2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间端点处无定义，则必须写成开区间.（3）函数定义中的）函数定义中的x1,x2应深
18、刻理解，一是任意性，即应深刻理解，一是任意性，即“任意取任意取x1,x2”,“任意任意”两个字绝不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是两个字绝不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是x1,x2有大小，通常规定有大小，通常规定x2-x10;三是同属于一个单调区间三是同属于一个单调区间.x11.1.在函数单调性中应注意什么问题？在函数单调性中应注意什么问题？返回目录2.2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？证明函数单调性的方法和步骤是什么？证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明证明.证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：第一步：任意取值第一步：任意取值x1,x2(在某单调区间在某单调区间I上上)，且，且x10时，函数时，函数y=1f(x)与与y=f(x)的单调性相反的单调性相反.对于对于f(x)0),x+s(a0),xm,nm,n的最值问题，的最值问题，若当若当ttm,nm,n,x=t,x=t时，有最小值时，有最小值s s，最大值是，最大值是f(m),f(n)f(m),f(n)中较大者；若中较大者；若t tm,nm,n，则，则f(m),f(n)f(m),f(n)中中较小者是最小值，较大者是最大值较小者是最小值，较大者是最大值.当当a0a0时，仿此讨时，仿此讨论论.
