1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作第第三三章章空空间间向向量量与与立立体体几几何何3 3.2 2.1 1立立体体几几何何中中的的向向量量方方法法lAPa、直线的方向向量直线的向量式方程OPOAta 换换句句话话说说,直直线线上上的的非非零零向向量量叫叫做做直直线线的的方方向向向向量量APta 2、平平面面的的法法向向量量Aa lP平平面面的向量式方程0a AP 换换句句话话说说,与与平平面面垂垂直直的的非非零零向向量量叫叫做做平平面面的的法法向向量量oxyzABCO1A1B1C1练习1：如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC的一个法向量坐标为_(3)平面
2、AB1C的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)练练习习2 2：在在空空间间直直角角坐坐标标系系内内,设设平平面面经经过过点点，平平面面的的法法向向量量为为，为为平平面面内内任任意意一一点点，求求满满足足的的关关系系式式。),(000zyxP),(CBAe),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解解：由由题题意意可可得得0 PMe000(,)(,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：由由两两个个三三元元一一次次方方程程组组成成的的方方程程组组的的解解是是不不惟惟一一的的，为为方方便便起起见见，取取z
3、z=1 1较较合合理理。其其实实平平面面的的法法向向量量不不是是惟惟一一的的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 练习3：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（，），（，）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(,1,1),2n3|2n 12 2(-33 3ABC平面的单位法向量为，）练练习习4：如如图图，在在四四棱棱锥锥P-ABCD中中，底底面面ABCD是是正正方方形形，侧侧棱棱PD底底面面ABCD，PD=DC=1,E是是PC的的中中点点，求求平平面面EDB的的一一个个法法
4、向向量量.ABCDP PE E解解：如如图图所所示示建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2PE依依题题意意得得D DB(1,1，B(1,1，0)0)1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)XYZ设设平平面面EDB的的法法向向量量为为(,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy于是定定理理一一个个平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线与与另另一一个个平平面面平平行行,则则这这两两个个平平面面平平行行已已知知直直线线l与与m相相交交,lm,lm.求证 l,ma,.bv 证明 取的方向向量取,的法向量u,lm,av bv v u ab,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是、的一个法向量 .mlab3、平平行行关关系系：3、平平行行关关系系：a aAC axAByAD u3、平平行行关关系系：v u u巩固性训练设设分分别别是是平平面面,的的法法向向量量,根根据据下下列列条条件件,判判断断,的的位位置置关关系系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂垂直直平平行行相相交交
