1、3.2.3 直线的一般式方程第三章 直线与方程教材分析教材分析 直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点
2、可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.教学目标及核心素养教学目标及核心素养教学目标教学目标1.1.明确直线方程一般式的形式特征；明确直线方程一般式的形式特征；2.2.会把直线方程的一般式
3、化为斜截式，进而求斜率和截距；会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.核心素养核心素养a.a.数学抽象：直角坐标系中直线方程与关于数学抽象：直角坐标系中直线方程与关于x x和和y y的一次方程的对应关系；的一次方程的对应关系；b.b.逻辑推理：直线方程各种形式的互化逻辑推理：直线方程各种形式的互化;c.c.数学运算：例题及变式求直线方程，；数学运算：例题及变式求直线方程，；d.d.数学建模：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于数学建模：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x
4、x和和y y的一次方程的的一次方程的对应关系对应关系.名名 称称 几几 何何 条条 件件 方程方程 局限性局限性 斜截式点斜式两点式截距式byk轴上的纵截距斜率,bkxy轴的直线不垂直于xkyxP和斜率，点)(001)(00 xxkyy轴的直线不垂直于x)()(222111yxPyxP，和点，点211211xxxxyyyy轴的直线、不垂直于yxbyax轴上的截距在轴上的截距在1byax不过原点的直线轴的直线、不垂直于yx 复习复习(1)(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于关于x x,y y的的二元一次方程二元一次方程表示吗？表示吗？(2)(
5、2)每一个关于每一个关于x x,y y的的二元一次方程二元一次方程都表示直线都表示直线吗？吗？思考思考分析：分析：直线方程直线方程 二元一次方二元一次方程程(2)(2)当斜率不存在时，当斜率不存在时，l可表示为可表示为 ，亦可看作亦可看作y y的系数为的系数为0 0的二元一的二元一程程 .结论结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关平面上任意一条直线都可以用一个关于于 x,y 的二元一次方程表示的二元一次方程表示.（1）当斜率存在时）当斜率存在时l可表示为可表示为 y=kx+b 或或 ，显然，显然 为二元一次方程为二元一次方程.)(00 xxkyy0=0 xx0+0=0 x xy即：对于任意一
6、个二元一次方程即：对于任意一个二元一次方程 AxAx+ByBy+C C=0(=0(A A,B B不不同时为同时为0)0)，判断它是否表示一条直线？，判断它是否表示一条直线？BCxBAy （1）当）当B 0时，方程可变形为时，方程可变形为它表示过点它表示过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线.),0(BC BA 直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程 （2）当）当B=0时，因为时，因为A,B不同时为零，所以不同时为零，所以A一定不一定不为零为零,于是方程可化为于是方程可化为 ，它表示一条与，它表示一条与 y 轴平轴平行或重合的直线行或重合的直线.ACx 结论结论2:关于关于 x,y 的二元一次
7、方程的二元一次方程,它都表示它都表示一条直线一条直线.直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程由由1，2可知：可知：直线方程直线方程 二元一次方程二元一次方程定义定义：我们把关于我们把关于 x,y 的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中其中A,B不同时为不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式叫做直线的一般式方程，简称一般式.定义定义 在方程在方程Ax+By+C=0中，中，A，B，C为何值时，方程表为何值时，方程表示的直线示的直线 （1）平行于）平行于x轴轴;（2）平行于）平行于y轴轴;（3）与）与x轴重合轴重合;（4）与）与y轴重合轴重合.(2)B=0,A 0,C 0;
8、(3)A=0,C=0 ,B 0;(4)B=0,C=0,A 0.探究探究分析分析:(1)即即 A=0,B0,C 0例例 1 已知直线过点已知直线过点A(6，-4)，斜率，斜率为为 ,求直线的点斜式和一般式方程求直线的点斜式和一般式方程.34 举例举例解：代入点斜式方程有解：代入点斜式方程有 y+4=(x-6).化成一般式，得化成一般式，得4x+3y-12=0.举例举例34 例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.举例举例解：化成斜截式方程解：化成斜截式方程 y=x+3 因此，斜率为因此，斜率为k=,它在它在y轴上的截距是轴上的
9、截距是3.令令y=0 得得x=6.即即l在在x轴上的截距是轴上的截距是6.由以上可知由以上可知l与与x 轴轴,y轴的交点轴的交点分别为分别为A(-6，0),B(0，3),过过A，B做直线做直线,为为l的图形的图形.2121 举例举例m,n 为何值时为何值时,直线直线mx+8y+n=0和和2x+my-1=0垂直垂直?解解:（1）若两条直线的斜率都存在，则）若两条直线的斜率都存在，则m不等于不等于0，且两且两条直线的斜率分别为条直线的斜率分别为 但由于但由于 ，所以两条直线不垂直，所以两条直线不垂直.2.8mm,141)2()8(mm 练习练习（2）若）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为.21,8 xny综上知，综上知，m=0，n为全体实数时，两条直线垂直为全体实数时，两条直线垂直.点评点评:分类讨论思想的运用分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案如不分类将找不到正确答案.练习练习 本节主要学习表示直线方程的第五种形式本节主要学习表示直线方程的第五种形式-直线的一般式方程直线的一般式方程.关键需注意它与其它四种形关键需注意它与其它四种形式的互化及式的互化及A,B,C的具体含义的具体含义.小结小结Thanks!
