1、第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念 1.1.向量的定义与表示向量的定义与表示(1)(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)(2)表示方法：表示方法：几何表示法：用以几何表示法：用以A A为始点，为始点，B B为终点的有向线段为终点的有向线段_ _ 表示表示.AB 字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a a，b b，c c，表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母母 .a b c ，(3)(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模
2、，如a a，的模分别记做的模分别记做|a|,|.|a|,|.AB AB【思考思考】(1)(1)定义中的定义中的“大小大小”与与“方向方向”分别描述了向量的哪分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？提示：向量不仅有大小，而且有方向提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征大小是代数特征，方向是几何特征，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以只描述其中一个方面不可以只描述其中一个方面不可以.(2)(2)由向量的
3、几何表示方法我们该如何准确地画出向量由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.2.2.特殊向量特殊向量(1)(1)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记做零向量：长度为零的向量叫做零向量，记做0.0.(2)(2)单位向量：长度等于单位向量：长度等于1 1个单位长度的向量，叫做单个单位长度的向量，叫做单位向量位向量.(3)(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相
4、等向量量.向量向量a a与与b b相等，记作相等，记作a=b.a=b.(4)(4)平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量叫做平行向量，也叫做共线向量.向量向量a a平行于平行于b b，记作，记作ab.ab.规定零向量平行于任意向量规定零向量平行于任意向量.【思考思考】(1)0(1)0与与0 0相同吗？相同吗？0 0是不是没有方向？是不是没有方向？提示：提示：0 0与与0 0不同，不同，0 0是一个实数，是一个实数，0 0是一个向量，且是一个向量，且|0|=0.0|0|=0.0有方向，其方向是任意的有方向，其方向是任意
5、的.(2)(2)若若a=ba=b，则两向量在大小与方向上有何关系？，则两向量在大小与方向上有何关系？提示：若提示：若a=ba=b，意味着，意味着|a|=|b|a|=|b|，且，且a a与与b b的方向相同的方向相同.(3)“(3)“向量平行向量平行”与与“几何中的平行几何中的平行”一样吗？一样吗？提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)两个有共同起点，且长度相等的
6、向量，它们的终点两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同相同.()(2)(2)任意两个单位向量都相等任意两个单位向量都相等.()(3)(3)平行向量的方向相同或相反平行向量的方向相同或相反.()(4)(4)若若 则则A A，B B，C C，D D四点是平行四边形的四四点是平行四边形的四个顶点个顶点.()ABCD ，提示：提示：(1)(1).两个有共同起点，且长度相等的向量，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同方向不一定相同，其终点也不一定相同.(2)(2).任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相同，故不一定相等
7、相同，故不一定相等.(3).(3).由平行向量的定义可知由平行向量的定义可知.(4)(4).若若 则则A A，B B，C C，D D也可能落在同一条直也可能落在同一条直线上线上.ABCD ，2.2.下列物理量：质量；速度；位移；力；下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度加速度；路程；密度.其中不是向量的有其中不是向量的有()A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析解析】选选C.C.既有大小，又有方向，是向量既有大小，又有方向，是向量；只有大小，没有方向，不是向量；只有大小，没有方向，不是向量.3.3.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，可以用
8、同一条有向线段表示中，可以用同一条有向线段表示的向量是的向量是()A.DABCB.DCABC.DCBCD.DCDA 和和和和【解析解析】选选B.B.结合题干图可知结合题干图可知 与与 大小相等，大小相等，方向相同，所以方向相同，所以 AB DC ABDC.类型一向量的概念、零向量与单位向量类型一向量的概念、零向量与单位向量【典例典例】1.(20191.(2019临沂高一检测临沂高一检测)以下选项中，都是以下选项中，都是向量的是向量的是()A.A.正弦线、海拔正弦线、海拔B.B.质量、摩擦力质量、摩擦力C.C.三角形的边长、体积三角形的边长、体积D.D.余弦线、速度余弦线、速度2.2.给出下列说
9、法：给出下列说法：零向量是没有方向的；零向量是没有方向的；零向量的长度为零向量的长度为0 0；零向量的方向是任意的；零向量的方向是任意的；单位向量的模都相等，单位向量的模都相等，其中正确的是其中正确的是_(_(填序号填序号).).【思维思维引引】1.1.紧扣向量的定义解答紧扣向量的定义解答.2.2.紧扣零向量、单位向量的定义解答紧扣零向量、单位向量的定义解答.【解析解析】1.1.选选D.D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向，不是向量积只有大小没有方向，不
10、是向量.2.2.由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知正确；由单位向量的模是零向量的定义知正确；由单位向量的模是1 1，知正，知正确确.答案：答案：【内化内化悟悟】1.1.零向量的大小与方向是怎样的？零向量的大小与方向是怎样的？提示：零向量的长度为提示：零向量的长度为0 0，方向任意，方向任意.2.2.所有的单位向量有何共同特征？所有的单位向量有何共同特征？提示：所有的单位向量的长度相等，都是提示：所有的单位向量的长度相等，都是1.1.【类题类题通通】1.1.判断一个量是否为向量的两个关键条件判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否
11、具备向量的两要素：关键看它是否具备向量的两要素：(1)(1)有大小有大小.(2).(2)有方向有方向.两个条件缺一不可两个条件缺一不可.2.2.理解零向量和单位向量应注意的问题理解零向量和单位向量应注意的问题(1)(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.(2)(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等一定相等.【习练习练破破】在下列判断中，正确的是在下列判断中，正确的是()长度为长度为0 0的向量都是零向量；的
12、向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；零向量的方向都是相同的；长度相等的向量都是单位向量；长度相等的向量都是单位向量；单位向量都是同方向；单位向量都是同方向；向量向量 与向量与向量 的长度相等的长度相等.A.A.B.B.C.C.D.D.AB BA【解析解析】选选D.D.由定义知正确，由于两个零向量是由定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确体方向，故不正确.长度相等的向量其模不一定为长度相等的向量其模不一定为1 1，不正确，单位向量的方向不一定相同，不正确，不正确，单位向量的方向不一定相同，不正确
13、，正确正确.【加练加练固固】(2019(2019衡阳高一检测衡阳高一检测)下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.有向线段有向线段 与与 表示同一向量表示同一向量B.B.两个有公共终点的向量是平行向量两个有公共终点的向量是平行向量C.C.零向量与单位向量是平行向量零向量与单位向量是平行向量D.D.对任意向量对任意向量a a，是一个单位向量是一个单位向量AB BA aa【解析解析】选选C.C.向量向量 与与 方向相反，不是同一向方向相反，不是同一向量，量，A A错误；错误；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B B错误；错误；当当a=0a=0时，时
14、，无意义，无意义，D D错误；错误；零向量与任何向量都是平行向量，零向量与任何向量都是平行向量，C C正确正确.AB BA aa类型二相等向量与共线向量类型二相等向量与共线向量【典例典例】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形ABDEABDE是矩形是矩形.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)找出与找出与 相等的向量相等的向量.(2)(2)找出与找出与 共线的向量共线的向量.AB AB【思维思维引引】(1)(1)找与找与 相等的向量，就是找与相等的向量，就是找与 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.(2)(2)找与找与 共线的向量，就是
15、找与共线的向量，就是找与 方向相同或相方向相同或相反的向量反的向量.AB AB AB AB【解析解析】(1)(1)由四边形由四边形ABCDABCD是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形ABDEABDE是矩形知，是矩形知，与与 的长度相等且方向相同，所的长度相等且方向相同，所以与以与 相等的向量为相等的向量为 .(2)(2)由题干图可知，由题干图可知，与与 方向相同，方向相同，与与 方向相反，所以与方向相反，所以与 共线的向量有共线的向量有AB DC,ED AB DC,ED DC,ED,EC AB BA,CD,DE,CE AB AB DC,ED,EC,BA,CD,DE,CE.【素养素养探探】本
16、题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想象的核心素养，培养读图能力象的核心素养，培养读图能力.本例在找与本例在找与 共线的向量时，易忽视与其本身方向共线的向量时，易忽视与其本身方向相反的向量，即易把相反的向量，即易把 漏掉漏掉.AB BA 若本例改为，四边形若本例改为，四边形ABCDABCD是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形ABDEABDE是正方形，请在图中找出与是正方形，请在图中找出与 模相等的向量模相等的向量.AB【解析解析】由题干图可知，与由题干图可知，与 模相等的向量为模相等的向量为AB DC,ED,AE,EA,BD,DB,BA,
17、CD,DE.【类题类题通通】1.1.相等向量的判断方法相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的确定哪些是同向的.2.2.共线向量的判断方法共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量再构造同向或反向的向量.3.3.共线向量与相等向量的关系共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量向量.若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若若两向量相等，则两向
18、量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反两向量共线，则两向量方向相同或相反.【发散发散拓拓】向量的平行不具备传递性，即若向量的平行不具备传递性，即若abab，bcbc，则未必，则未必有有ac.ac.因为当因为当b=0b=0时，时，a a，c c可以是任意向量，故可以是任意向量，故a a，c c不不一定平行；只有当一定平行；只有当b0b0时，才有时，才有abab，bcbc，则，则aac c，即平行可传递，即平行可传递.因此在今后学习时要特别注意零向量因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是“零向量零向量”，还是，
19、还是“非零向量非零向量”.【延伸延伸练练】(2019(2019秦皇岛高一检测秦皇岛高一检测)下列命题正确的是下列命题正确的是()A.A.向量向量a a与与b b共线，向量共线，向量b b与与c c共线，则向量共线，则向量a a与与c c共线共线B.B.向量向量a a与与b b不共线，向量不共线，向量b b与与c c不共线，则向量不共线，则向量a a与与c c不不共线共线C.C.向量向量 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A，B B，C C，D D四点一四点一定共线定共线D.D.向量向量a a与与b b不共线，则不共线，则a a与与b b都是非零向量都是非零向量AB CD【解析解析】选选D.
20、D.当当b=0b=0时，时，A A不对；如图不对；如图a=a=，c=c=b b与与a a，b b与与c c均不共线，但均不共线，但a a与与c c共线，所以共线，所以B B错错.AB BC，在在 ABCDABCD中，中，与与 共线，但四点共线，但四点A A，B B，C C，D D不共不共线，所以线，所以C C错；若错；若a a与与b b有一个为零向量，则有一个为零向量，则a a与与b b一定共一定共线，所以线，所以a a，b b不共线时，一定有不共线时，一定有a a与与b b都是非零向量，都是非零向量，故故D D正确正确.AB CD【习练习练破破】在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中，中，A
21、BCDABCD，对角线，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，EFEF是过点是过点O O且平行于且平行于ABAB的线段，在所标的向量中：的线段，在所标的向量中：(1)(1)写出与写出与 共线的向量共线的向量.(2)(2)写出与写出与 方向相同的向量方向相同的向量.AB EF(3)(3)写出与写出与 的模相等的向量的模相等的向量.(4)(4)写出与写出与 相等的向量相等的向量.OB OD ，EO【解析解析】在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中ABCDEFABCDEF，AD=BC.AD=BC.(1)(1)题干图中与题干图中与 共线的向量有共线的向量有 (2)(2)题干图中与题干图中
22、与 方向相同的向量有方向相同的向量有 (3)(3)题干图中与题干图中与 的模相等的向量为的模相等的向量为 ，与，与 的的模相等的向量为模相等的向量为 .AB DC EO OF EF.，EFAB DC EO OF.，OB AOODOC(4)(4)题干图中与题干图中与 相等的向量为相等的向量为 .EO OF【加练加练固固】1.1.如图，梯形如图，梯形ABCDABCD为等腰梯形，则两腰上的向量为等腰梯形，则两腰上的向量 与与 的关系是的关系是()AB DC A.ABDC B.ABDCC.ABDC D.ABDC 【解析解析】选选B.|B.|与与|表示等腰梯形两腰的长表示等腰梯形两腰的长度，故相等度，故
23、相等.AB DC 2.2.四边形四边形ABCDABCD为边长为为边长为3 3的正方形，把各边三等分后，的正方形，把各边三等分后，共有共有1616个交点，从中选取两个交点作为向量，则与个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为平行且长度为2 2 的向量个数有的向量个数有_个个.2AC【解析解析】如图所示，满足与如图所示，满足与 平行且长度为平行且长度为2 2 的的向量有向量有 共共8 8个个.AC 2AF FA EC CE GH,HG,IJ,JI ，答案：答案：8 8类型三向量的表示与应用类型三向量的表示与应用【典例典例】1.1.如图所示的方格由若干个边长为如图所示的方格由若干个边长为
24、1 1的小正方的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点形并在一起组成，方格纸中有定点A A，点，点C C为小正方形为小正方形的顶点，且的顶点，且|=|=，画出所有的向量，画出所有的向量 .世纪金榜导学号世纪金榜导学号AC 5AC 2.2.如图所示，在四边形如图所示，在四边形ABCDABCD中，中，=，N N，M M分别分别是是ADAD，BCBC上的点，且上的点，且 .世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证：求证：.AB DC CNMA DNMB【思维思维引引】1.1.根据方向与大小确定终点即可根据方向与大小确定终点即可.2.2.利用向量相等证明四边形利用向量相等证明四边形ABCDABCD，CNAMCN
25、AM是平行四边是平行四边形，进而得到形，进而得到 .DNMB【解析解析】1.1.画出所有的向量画出所有的向量 如图：如图：AC,2.2.因为因为 =所以所以|=|=|，且，且ABCDABCD，所以，所以四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.所以所以|=|=|，且，且DACB.DACB.又因为又因为 与与 的方向相同，所以的方向相同，所以 =.=.同理可证四边形同理可证四边形CNAMCNAM是平行四边形，所以是平行四边形，所以 AB DC，AB DC DACB DACB CB DACMNA.因为因为 所以所以|=|=|，DNMBDNMB，即，即 与与 的模相等且的模相等且方向相同
26、，所以方向相同，所以 =.=.CBDA,CMNA,MBDNDNMBDNMB【内化内化悟悟】1.1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量？用有向线段表示向量需要确定哪几个量？提示：起点、方向、大小、终点提示：起点、方向、大小、终点.2.(1)2.(1)在四边形在四边形ABCDABCD中，若中，若 =，四边形，四边形ABCDABCD是是什么图形，为什么？什么图形，为什么？提示：提示：=包含两层含义，包含两层含义，ABCDABCD，AB=CDAB=CD，故四，故四边形边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB DC AB DC(2)(2)要证明要证明 必须满足什么条件？必须满足什么条件？提示：
27、方向相同，长度相等提示：方向相同，长度相等.DNMB【类题类题通通】关于向量的表示及应用关于向量的表示及应用(1)(1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点，最后依据向量模的大小确定向量的终点.(2)(2)利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点点.用平行向量可证明用平行向量可证明(判断判断)直线平行，但证明直线平直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向
28、量所在的直线无行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的直线无公共点公共点.【习练习练破破】下列说法中，正确的序号是下列说法中，正确的序号是_._.零向量都相等；零向量都相等；任一向量与它的平行向量不相等；任一向量与它的平行向量不相等；若四边形若四边形ABCDABCD是平行四边形，则是平行四边形，则 =；共线的向量，若始点不同，则终点一定不同共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.AB DC【解析解析】因为零向量的长度都为零，且其方向任意，因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以正确；因为平行向量的方向所以零向量相等，所以正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任
29、一向量与它的平可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以错误；画出图形，可得行向量可能相等，所以错误；画出图形，可得 =，所以正确；由共线向量的定义可知：共线的，所以正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以不正确向量，始点不同，终点可能相同，所以不正确.AB DC 答案：答案：类型四向量的实际应用类型四向量的实际应用【生活情境生活情境】已知飞机从已知飞机从A A地按北偏东地按北偏东3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2 000 km到达到达B B地，再从地，再从B B地按南偏东地按南偏东3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2
30、000 km到达到达C C地，再从地，再从C C地按西南方向飞行地按西南方向飞行1 000 km1 000 km到达到达D D地地.2问问D D地在地在A A地的什么方向？地的什么方向？D D地距地距A A地多远？地多远？世纪金榜导学号世纪金榜导学号【转化模板转化模板】1.1.由题意知，此架飞机的三次飞行位移是向量由题意知，此架飞机的三次飞行位移是向量问题，故可以建立向量模型解决问题，故可以建立向量模型解决.2.2.设飞机三次飞行位移分别为向量设飞机三次飞行位移分别为向量AB BC CD.，3.3.已知向量已知向量 的方向为北偏东的方向为北偏东3030，长度，长度为为2 000 km2 000
31、 km，向量，向量 的方向为南偏东的方向为南偏东3030，长度为，长度为2 000 km2 000 km，向量，向量 的方向为西南方向，长度为的方向为西南方向，长度为1 000 km1 000 km，求向量，求向量 的方向及长度的方向及长度.AB BC 2DACD 4.4.由题意，作出向量由题意，作出向量 ，如图所示，如图所示.AB BC CD DA ，依题意知，三角形依题意知，三角形ABCABC为正三角形，所以为正三角形，所以AC=2 000 km.AC=2 000 km.又因为又因为ACD=45ACD=45，CD=1 000 CD=1 000 ，所以，所以ACDACD为等腰为等腰直角三角形，即直角三角形，即AD=1 000 kmAD=1 000 km，CAD=45CAD=45.所以所以D D地在地在A A地的东南方向，距地的东南方向，距A A地地1 000 km.1 000 km.2225.D5.D地在地在A A地东南方向，距地东南方向，距A A地地1 000 km.1 000 km.2感感谢谢大大家家观观看看最新学习可编辑资料最新学习可编辑资料
