1、开始开始 学点一学点一学点二学点二1.1.垂直于垂直于 平面的两条直线平行平面的两条直线平行.这个这个定理叫做直线与平面垂直的定理叫做直线与平面垂直的 .用符用符号表示为：号表示为：a,ba,babab.2.2.两个平面垂直，则两个平面垂直，则 垂直于交线的垂直于交线的直线与另一个平面垂直直线与另一个平面垂直.这个定理叫做平面与平面这个定理叫做平面与平面垂直的垂直的 .用符号表示为：用符号表示为：,=l;a,=l;a,al,al，且，且al=Oal=O aa.同一个同一个性质定理性质定理一个平面内一个平面内性质定理性质定理返回返回 返回返回 学点一学点一 线面垂直的性质定理应用线面垂直的性质定
2、理应用如图所示，如图所示，ABCD为正方形，为正方形，SA垂直于垂直于ABCD所在平面，所在平面，过过A且垂直于且垂直于SC的平面分别交的平面分别交SB,SC,SD于于E,F,G.求证：求证：AESB，AGSD.【分析【分析】考察线面垂直的性质考察线面垂直的性质.【解析【解析】欲证线线垂直，可证线面垂直欲证线线垂直，可证线面垂直.SA平面平面ABCD，SABC.又又ABBC，BC平面平面SAB，返回返回 又又AE平面平面SAB，BCAE.SC平面平面AEFG，SCAE.AE平面平面SBC，AESB.同理可证同理可证AGSD.【点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其【点评】在线线垂直和
3、线面垂直的相互转化中，平面在其中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化以顺利实现证明需要的转化.返回返回 如图如图1-9-31-9-3所示，设三角形所示，设三角形ABCABC的三个顶点在平面的三个顶点在平面的同侧，的同侧，AAAA于于A,BBA,BB于于B,CCB,CC于于CC，G G，GG分别是分别是ABCABC和和ABCABC的重心的重心.求证：求证：GGGG.证明证明：连接：连接AGAG并延长交并延长交BCBC于于D D，连接，连接 AGAG并延长交并延长交BCBC于于DD，连，连 DDDD，由，由AA,
4、BB,CCAA,BB,CC,得得AABBCC.AABBCC.D,DD,D分别是分别是BCBC和和BCBC的中点，的中点，DDCCBB,DDAA.DDCCBB,DDAA.G,GG,G分别是分别是ABCABC和和ABCABC的的重心，重心，GGAA,GGAA,AA,GGAA,GG.DGGAGDAG返回返回 学点二学点二 面面垂直的性质定理应用面面垂直的性质定理应用如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面们的交线垂直于第三个平面.【分析【分析】欲证线面垂直，可用线线垂直或用欲证线面垂直，可用线线垂直或用 ml m【解析】已知【解析】
5、已知：,=l.=l.求证：求证：ll.证明：证法一：如图所示在证明：证法一：如图所示在内取一点内取一点P P，作，作PAPA垂直垂直与与的交线于的交线于A A，PBPB垂直垂直与与的交线于的交线于B B，证明 l返回返回 则则PA,PBPA,PB.l=,lPA,lPBl=,lPA,lPB.与与相交，相交，PAPA与与PBPB相交相交.又又PAPA,PB,PB,l,l.证法二证法二：如图：如图1-10-71-10-7所示所示,在在内作直线内作直线m m垂直于垂直于与与的交线，在的交线，在内作直线内作直线n n垂直于垂直于与与的交线的交线.,m,n,mnm,n,mn.又又n n,m,m,ml,lm
6、l,l.返回返回【点评】证法一、证法二都是利用【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键这是证法一、证法二的关键.返回返回 如图所示如图所示,已知已知S S为为ABCABC所在所在平面外一点，平面外一点，SASA平面平面ABCABC，平面平面SABSAB平面平面SBC.SBC.求证：求证：ABBC.ABBC.证明：作证明：作AESBAE
7、SB于于E E，平面平面SABSAB平面平面SBCSBC，AEAE平面平面SBCSBC，AEBC,AEBC,SASA平面平面ABCABC，SABCSABC，BCBC平面平面SABSAB，ABBC.ABBC.返回返回 本学案证明题的主要方法有哪些本学案证明题的主要方法有哪些?(1)线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法利用定义利用定义.要证明一条直线要证明一条直线a平面平面,转化为证明直线转化为证明直线a垂直于平面垂直于平面内的任何一条直线内的任何一条直线c.利用判定定理利用判定定理.一条直线和一个平面内的两条相交直一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直线都垂直,则该直线与此平面垂直则该直线与此
8、平面垂直,即即m,nlm,ln l.mn=P简言之简言之,“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”.要证直线要证直线l,只需在只需在内找两条相交直线内找两条相交直线m,n,证明证明lm,ln,从而可得从而可得l.作定理用的推论作定理用的推论.如果两条平行线中的一条直线垂直如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面那么另一条也垂直于这个平面.返回返回 用面面垂直的性质定理用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么在一个那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.作定理用的正确命题作定理用的正
9、确命题.如果一条直线垂直于两个平行平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面它也垂直于另一个平面.分析线面关系问题的证明思路应养成分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，看到结论想判定，看到条件想性质看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型（自己动的习惯，并结合对图形、模型（自己动手构造）的深入观察手构造）的深入观察,寻求证题思路寻求证题思路.必要时注意添加辅助平面必要时注意添加辅助平面,从而构成判定定理的条件从而构成判定定理的条件.(2)面面垂直的证明方法面面垂直的证明方法证明两个平面垂直证明两个平面垂直,主要途径是主要途径是:一是利用面面垂
10、直的定义一是利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直就称这两个平面互相垂直.二是面面垂直的判定定理二是面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线的一条垂线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直.返回返回 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法是方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线先从现有的直线中寻找平面的垂线
11、,若这样的若这样的直线图中存在直线图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直则可通过线面垂直来证明面面垂直;若若这样的直线图中不存在这样的直线图中不存在,则可通过辅助线来解决则可通过辅助线来解决,而作而作辅助线则应有理论根据并有利于证明辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加不能随意添加.证明两个平面垂直证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直通常是通过证明线线垂直线线面垂直面垂直面面垂直来实现的面面垂直来实现的.因此因此,在关于垂直问题的在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化互转化.每一垂直的判定就是从某一垂直开始转
12、向另每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直一垂直,最终达到目的最终达到目的,其转化关系如图所示其转化关系如图所示:返回返回 1.在证明两个平面垂直时在证明两个平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平一般先从现有直线中寻找平面的垂线面的垂线,若这样的直线图形中不存在若这样的直线图形中不存在,则可通过作辅助则可通过作辅助线来解决线来解决,而作辅助线应有理论依据而作辅助线应有理论依据,并有利于证明并有利于证明,不能不能随意添加随意添加.2.面面垂直性质定理是构造线面垂直的重要依据面面垂直性质定理是构造线面垂直的重要依据.如有如有平面垂直时平面垂直时,一般要用性质定理一般要用性质定理,在一个平面内作
13、交线的在一个平面内作交线的垂线垂线,使之转化为线面垂直使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直然后进一步转化为线线垂直.故要熟练掌握故要熟练掌握“线线垂直线线垂直”“”“线面垂直线面垂直”“”“面面垂直面面垂直”间的转化条件和转化运用间的转化条件和转化运用.返回返回 3.线线垂直的证明方法主要有线线垂直的证明方法主要有:（1）平面几何方法）平面几何方法.（2）线面垂直的定义）线面垂直的定义.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 4.C(由于直线与平面的位置不确定由于直线
14、与平面的位置不确定,因此要分情况来考虑因此要分情况来考虑.若直若直线线l在平面在平面内内,则在平面则在平面内内,可以有无数条直线与直线可以有无数条直线与直线l垂直垂直,如如图图(1);若直线若直线l与平面与平面平行平行,则过直线则过直线l可以作辅助平面可以作辅助平面与平面与平面相交相交,设交线为设交线为n,则在平面则在平面内内,可以有无数条直线与直线可以有无数条直线与直线n垂直垂直,也就有无数条直线与也就有无数条直线与l垂直垂直,如图如图(2);若直线若直线l与平面与平面相交相交,则过则过交点在平面交点在平面内可以作直线内可以作直线m与与l垂直垂直,如图如图(3).总之在平面总之在平面内必内必有直线有直线m,使使m与与l垂直垂直.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
