1、指数模型的应用指数模型的应用 牛顿的冷却模型牛顿的冷却模型人教版高中数学人教版高中数学必修一必修一第三章实习作业第三章实习作业必修一第二章复习参考题必修一第二章复习参考题B B组第组第5 5题题 把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温度把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温度是是1，空气的温度是，空气的温度是0，t min后物体的温度后物体的温度 可可由公式求得，由公式求得，这里这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。现有现有62的物体，放在的物体，放在15 的空气中冷却，的空气中冷却，1 min以后物体的温度是以后物体的温度是52
2、，求上式中，求上式中k的值（精确到的值（精确到0.01）然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42，32？物体会不会冷却到？物体会不会冷却到12？kte010 把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温度是度是1，空气的温度是，空气的温度是0，t min后物体的温度后物体的温度 可由公式求得，可由公式求得，这里这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。现有现有62的物体，放在的物体，放在15 的空气中冷却，的空气中冷却，1 min以后物体的温度是以后物体的温度是5
3、2，求上式中，求上式中k的值（精确到的值（精确到0.01）kte010问题问题1.求求k的值（精确到的值（精确到0.01）解：由题意知，解：由题意知，1=62，0=15，当，当t=1时，时，=52.代入公式得，代入公式得，52=15+(6215)ek，解得，解得k0.24.把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温度是度是1，空气的温度是，空气的温度是0，t min后物体的温度后物体的温度 可由公式求得，可由公式求得，这里这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是
4、然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42，32？物体会不会冷却到？物体会不会冷却到12？kte010问题问题2.当当=42 及及=32，求求t的值的值解解:由问题由问题1可知可知,=15+(6215)e0.24t，当当=42时时,t 2.3.即冷却即冷却2.3min后物体温度为后物体温度为42.当当=32时时,t 4.2.即冷却即冷却4.2min后物体温度为后物体温度为32.把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温把物体放在空气中自然冷却，如果物体原来的温度是度是1，空气的温度是，空气的温度是0，t min后物体的温度后物体的温度 可由公式求得，可由公式求得，这里这里k是一个随着物体与空气
5、的接触状况而定的正常数。是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。现有现有62的物体，放在的物体，放在15 的空气中冷却，的空气中冷却，1 min以后物体的温度是以后物体的温度是52，求上式中，求上式中k的值（精确到的值（精确到0.01）然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42，32？物体会不会冷却到？物体会不会冷却到12？kte010问题问题3.物体会不会冷却到物体会不会冷却到12?问题问题3.物体会不会冷却到物体会不会冷却到12?ttee24.024.0471515621515由图可知，由图可知，的图象的图象始终在始终在 的图象之上，即物体的图象之
6、上，即物体的温度在自然冷却的条件下，不会的温度在自然冷却的条件下，不会低于空气的温度低于空气的温度15。te24.0471515 英国物理学家和数学家牛顿在英国物理学家和数学家牛顿在1701年曾提年曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度是如果物体的初始温度是1，环境温度是，环境温度是0，则经过时间则经过时间t后物体的温度后物体的温度将满足，将满足，其中其中k是正的常数。是正的常数。kte010 上面的例题来自第二章的复习参考题上面的例题来自第二章的复习参考题B组组第第5题，考查了指数函数的图像与性质的应用，题，考查了指数函数的图像
7、与性质的应用，同时它也是来自一个著名的物理模型。同时它也是来自一个著名的物理模型。1.1.实验原理：实验原理：牛顿冷却模型牛顿冷却模型:kte0103.3.实验步骤：实验步骤：步骤步骤1：用一只温度计测环境温度：用一只温度计测环境温度0;步骤步骤2：取：取1杯温度杯温度1=100的水，用计时的水，用计时器分别测量器分别测量 这杯水这杯水 冷却至冷却至=60、=50、=40所用的时间所用的时间t1,t2,t3;2.2.实验器材：实验器材：一个电热水壶，一个烧杯，一个停表，两一个电热水壶，一个烧杯，一个停表，两支温度计支温度计（0-110）；）；3.3.实验步骤：实验步骤：步骤步骤3：使用表格记录
8、上述实验数据；：使用表格记录上述实验数据；步骤步骤4：按照公式：按照公式=0+(1 0)ekt，先，先对第一组数据对第一组数据=60和和t=t1 使用科学计算器计使用科学计算器计算出算出k的取值；的取值；步骤步骤5：利用公式计算出达到相应温度所：利用公式计算出达到相应温度所需要的时间需要的时间t，与实验结果对比。，与实验结果对比。温度温度605040实验时间实验时间t理论时间理论时间t1、一杯开水的温度降到室温大约需要多少时间？、一杯开水的温度降到室温大约需要多少时间？答：一般情况下，开水的温度是答：一般情况下，开水的温度是100，室温是，室温是26时，时，所以一杯所以一杯250ml的开水冷却
9、至室温大约需的开水冷却至室温大约需1.5h。2、应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？、应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？答：运用牛顿冷却定律可知，炒菜之前大约答：运用牛顿冷却定律可知，炒菜之前大约10min应将冰箱应将冰箱里的肉拿出来解冻，这样既有利于切又能保持肉味的鲜美。里的肉拿出来解冻，这样既有利于切又能保持肉味的鲜美。3、在寒冷的冬季，冷水管和热水管哪个更容易结冰？、在寒冷的冬季，冷水管和热水管哪个更容易结冰？答：这是一个答：这是一个没有确定性答案没有确定性答案的问题，关键要看不同的实的问题，关键要看不同的实验条件，它也是牛顿冷却定律的一个验条件，它也是牛顿冷却定律的一
10、个反例，不能凭经验反例，不能凭经验。1963年，坦桑尼亚的马干巴中学三年级的学生姆潘巴经年，坦桑尼亚的马干巴中学三年级的学生姆潘巴经常与同学们一起做冰淇淋吃。在做的过程中，他们总是先把常与同学们一起做冰淇淋吃。在做的过程中，他们总是先把生牛奶煮沸，加入糖，等冷却后倒入冰格中，再放进冰箱冷生牛奶煮沸，加入糖，等冷却后倒入冰格中，再放进冰箱冷冻。有一天，当姆潘巴做冰淇淋时，冰箱冷冻室内放冰格的冻。有一天，当姆潘巴做冰淇淋时，冰箱冷冻室内放冰格的空位已经所剩无几。为了抢占剩下的冰箱空位，姆潘巴只得空位已经所剩无几。为了抢占剩下的冰箱空位，姆潘巴只得急急忙忙把牛奶煮沸，放入糖，等不及冷却，就把滚烫的牛
11、急急忙忙把牛奶煮沸，放入糖，等不及冷却，就把滚烫的牛奶倒入冰格中，并送入冰箱。一个半小时后，姆潘巴发现了奶倒入冰格中，并送入冰箱。一个半小时后，姆潘巴发现了一个让他十分困惑的现象：他放入的热牛奶已经结成冰，而一个让他十分困惑的现象：他放入的热牛奶已经结成冰，而其他同学放的冷牛奶还是很稠的液体。照理说，水温越低，其他同学放的冷牛奶还是很稠的液体。照理说，水温越低，结冰的速度越快，而牛奶中含有大量的水，应该是冷牛奶比结冰的速度越快，而牛奶中含有大量的水，应该是冷牛奶比热牛奶结冰速度快才对，但事实怎么会颠倒过来了？热牛奶结冰速度快才对，但事实怎么会颠倒过来了？姆潘巴把这个疑惑从初中带到了高中。他先后
12、请教了几姆潘巴把这个疑惑从初中带到了高中。他先后请教了几个物理老师，都没有得到答案。一位老师感觉他提出的问题个物理老师，都没有得到答案。一位老师感觉他提出的问题怪异得近乎荒唐，就用嘲讽的口吻说：你说的这些就叫做姆怪异得近乎荒唐，就用嘲讽的口吻说：你说的这些就叫做姆潘巴现象吧！潘巴现象吧！但执着的姆潘巴并没有认为自己的问题很荒唐。他抓但执着的姆潘巴并没有认为自己的问题很荒唐。他抓住达累斯萨拉姆大学物理系系主任奥斯波恩博士到他们住达累斯萨拉姆大学物理系系主任奥斯波恩博士到他们学校访问的机会，又提出了自己的疑问。这位博士并没学校访问的机会，又提出了自己的疑问。这位博士并没有对他的问题嗤之以鼻。回到实
13、验室后，博士按照姆潘有对他的问题嗤之以鼻。回到实验室后，博士按照姆潘巴的陈述做了冷热牛奶实验和冷热水物理实验，结果都巴的陈述做了冷热牛奶实验和冷热水物理实验，结果都观察到了姆潘巴所描述的颠覆常识的怪现象。于是，他观察到了姆潘巴所描述的颠覆常识的怪现象。于是，他邀请姆潘巴和他一起对这个现象进行了深入研究。邀请姆潘巴和他一起对这个现象进行了深入研究。1969年，年，他和丹尼斯他和丹尼斯奥斯伯恩博士（奥斯伯恩博士（Denis G.Osborne）共同撰写）共同撰写了关于此现象的一篇论文，因此该现象便以其名字命名。了关于此现象的一篇论文，因此该现象便以其名字命名。“姆潘巴现象姆潘巴现象”真的能颠覆我们
14、以往关于水结冰的常真的能颠覆我们以往关于水结冰的常识吗？四十多年来，许多论文与实验试图证实这个现象识吗？四十多年来，许多论文与实验试图证实这个现象背后的原理，但由于缺乏科学实验数据以及定量分析，背后的原理，但由于缺乏科学实验数据以及定量分析，至今没有准确的定论。至今没有准确的定论。在在Mpemba 效应中，老师和同学们的推理模式如下：效应中，老师和同学们的推理模式如下：冷牛奶从初温开始到冻结所需时间为冷牛奶从初温开始到冻结所需时间为t1，热牛奶冷却到初温所需时间热牛奶冷却到初温所需时间t2，则热牛奶从初温开始到冻结所需的全部时间为则热牛奶从初温开始到冻结所需的全部时间为t1+t2。显然有显然有
15、(t1+t2)t1.推导出如下结论推导出如下结论:热牛奶先冻结的现象不可能发生。热牛奶先冻结的现象不可能发生。如果发生了热牛奶先冻结的现象，则必然导出如果发生了热牛奶先冻结的现象，则必然导出(t1+t2)t1的结论，这是不可能的。的结论，这是不可能的。因此很多的人在科学研究中过于相信生活中的常见惯因此很多的人在科学研究中过于相信生活中的常见惯例，不但自己不去观察，甚至直接否定别人观察到的事实。例，不但自己不去观察，甚至直接否定别人观察到的事实。这种不尊重事实，缺乏大胆质疑的态度，是科学研究的天这种不尊重事实，缺乏大胆质疑的态度，是科学研究的天敌，往往失去发现真理的机会。敌，往往失去发现真理的机会。
