1、几何概型 1.古典概型的特点：古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的试验中所有可能出现的基本事基本事 件只有有限个件只有有限个。(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等.2.古典概型古典概型概率计算公式概率计算公式:P(A)=A包含基本事件的个数包含基本事件的个数基本事件的总数基本事件的总数1.1.取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于段的长度都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？问题情境问题情境1从从3m3m的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断.每个基本事件发生都
2、是等可能的吗？每个基本事件发生都是等可能的吗？基本事件基本事件:思考思考:这个问题能否用古典概型的方法来求解吗这个问题能否用古典概型的方法来求解吗?记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于1m”1m”为事件为事件A A.把绳子三等分把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段于是当剪断位置处在中间一段上时上时,事件事件A A发生发生.由于中间一段的长度等于绳由于中间一段的长度等于绳长的长的1/3.1/3.1 1P P(A A)3 3事事 件件发发 生生 的的 概概 率率A A对于问题对于问题2.2.3m问题问题2 2取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪
3、的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于得两段的长度都不小于10cm10cm的概率有多大？的概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断.基本事件基本事件:3 31 1A A)事事件件A A发发生生的的概概率率P P(记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm10cm”为事件为事件A.A.把绳子三等分把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时,事件事件A A发生发生.由于中间一段由于中间一段的长度等于绳长的的长度等于绳长的1/3.1/3.怎么办呢怎么办呢?问题情境问题情境3.3.射箭比赛的箭靶是涂有五个
4、彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”.奥运会的比赛靶奥运会的比赛靶面直径为面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭,假设假设每箭每箭都能中靶都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概那么射中黄心的概率是多少率是多少?射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的大圆内的的大圆内的任意一点任意一点.每个基本事件发生都是等可能的吗？每个基本
5、事件发生都是等可能的吗？基本事件基本事件:思考思考:这个问题能否用古典概型的方法来求解吗这个问题能否用古典概型的方法来求解吗?记记“射中黄心射中黄心”为事件为事件B,B,由于中靶点随机地由于中靶点随机地落在面积为落在面积为 的大圆内的大圆内,而当中靶点而当中靶点落在面积为落在面积为 的黄心内时的黄心内时,事件事件B B发生发生.2211224cm22112.24cm对于问题对于问题3.3.2 22 21 11 1 2 2.2 24 4P P(B B)0 0.0 0 1 11 11 1 2 2 2 24 4事件事件B B发生的概率发生的概率2.2.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切
6、圆，随机向正方形内丢的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a问题情境问题情境2 例例1.1.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机向正方形的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a事事件件A A,记记“豆豆子子落落在在圆圆内内”为为:解解.4 4豆豆子子落落入入圆圆内内的的概概率率为为答答4 44 4a aa a正正方方形形面面积积圆圆的的面面积积P P(A A)2 22 2 数学应用3.有一杯有一杯1升的水升的水,其中含有其中含有1个细菌个细菌,用一
7、个小杯用一个小杯从这杯水中取出从这杯水中取出0.1升升,求小杯水中含有这个细菌的概求小杯水中含有这个细菌的概率率.问题情境问题情境3解析：解析：记记“小杯水中含有这个细菌小杯水中含有这个细菌”为事件为事件A,事件事件A发生的概率发生的概率.1.011.0)(杯杯中中所所有有水水的的体体积积取取出出水水的的体体积积AP构建几何概型 问题猜想:（1）以上三个试验有什么共同特点？（2）三个试验的概率是如何求得？1.几何概型的定义：几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度长度(面面积或体积积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模型为则称这
8、样的概率模型为几何概率模型几何概率模型,简称简称为为几何概型几何概型.2.几何概型的特点几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的试验中所有可能出现的基本事件基本事件 有无限有无限多个多个.(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等.)()()(面面积积或或体体积积的的区区域域长长度度试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成面面积积或或体体积积的的区区域域长长度度构构成成事事件件AAP 3.几何概型中事件几何概型中事件A的概率公式的概率公式：4.古典概型与几何概型的区别：古典概型与几何概型的区别：古典概型古典概型几何概型几何概型基本事件的个数基本事件的可能性概率公式 无限多
9、个无限多个有限个有限个相等相等相等相等 P(A)=A包含基本事件的个数包含基本事件的个数基本事件的总数基本事件的总数构成事件构成事件A的区域长度的区域长度 (面积或体积面积或体积)试验的全部结果所构成的试验的全部结果所构成的 区域长度区域长度(面积或体积面积或体积)下列概率问题中哪些属于几何概型？下列概率问题中哪些属于几何概型？从一批产品中抽取从一批产品中抽取3030件进行检查件进行检查,有有5 5件次品，求件次品，求正品的概率。正品的概率。箭靶的直径为箭靶的直径为1m，靶心的直径为，靶心的直径为12cm，任意向靶射箭，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？射中靶心的概率为多少？随机地投掷硬币随
10、机地投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。次，统计硬币正面朝上的概率。甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处会面，并约定先时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率概率 例例1一个一个路口的红绿灯，红灯的时间为路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为秒，黄灯的时间为5秒，秒，绿灯的时间为绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A.B.C.D.解析：解析：以以时间的长短进行度量，故时间的长短进行度量，故P答案：答
11、案：B 2.有有一段长为一段长为10米的木棍，现要截成两段，则每段不小于米的木棍，现要截成两段，则每段不小于3米的概率米的概率为为_解析：解析：记记“截得两段都不小于截得两段都不小于3米米”为事件为事件A，从木棍的两端各，从木棍的两端各度量出度量出3米，这样中间就有米，这样中间就有10334(米米)在中间的在中间的4米长的木棍米长的木棍处截都能满足条件，所以处截都能满足条件，所以 P(A)0.4 3（2010湖南文数）在区间湖南文数）在区间-1,2上随即取一个数上随即取一个数x，则，则x0,1的概率为的概率为 。答案：答案：13辨一辨辨一辨先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A=0
12、,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素a,则P(a3)=.(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|10)=.(2)(2)几何概率模型几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,P(|PM|10)=1/6(1)(1)古典概率模型古典概率模型,P(,P(a3)=7/103)=7/10 0.0020.004与面积成比例与面积成比例0.3与长度成比例与长度成比例与体积成比例与体积成比例若满足若满足2a5呢？呢？1.1.如右下图如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到分别计算它落到阴影部分的概率阴影部分的概
13、率.11P238P2.2.取一根长度为取一根长度为3 3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于不小于1 1米的概率有多大？米的概率有多大？31)(AP3.3.在腰长为在腰长为2 2的等腰直角三角形内任取一点的等腰直角三角形内任取一点,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 1的概率的概率.8P4 4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为，宽为20m的长的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率的概率.规范规范解题解题
14、步骤步骤规范规范解题解题步骤步骤20m30m2mA解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”，如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示，7523600184)(AP故请同学们归纳求几何概型请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！并与古典概型步骤作比较！)(18416262030)(600203022mmA1 1在数轴上，设点在数轴上，设点x-3,3x-3,3中按均匀分布出现，记中按均匀分布出现，记a(-1,2a(-1,2】为事件为事件A A，则，则P P（A A）=（）A.1 B.0 C.1/2 D.1/3A.1 B.0 C.1/2 D.1/3C023
15、-3-1考考你2、已知直线、已知直线y=x+b,b-2，3，则直线在，则直线在y 轴上的截距轴上的截距大于大于1的概率是（的概率是（）A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5321oB考考你3.3.如图是一个边长为如图是一个边长为1 1的正方形木板，上面画着一个边界的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，板上的点是雨点打上的痕迹（雨点落在不规则的地图，板上的点是雨点打上的痕迹（雨点落在何处是等可能的），则这个地图的面积为何处是等可能的），则这个地图的面积为83考考你1.某人一觉醒来某人一觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台整点报时想听电台整点报时,求他等求
16、他等待的时间不多于待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.解解:设事件设事件A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟 事件事件A A发生的区域为时间段发生的区域为时间段50,6050,60 6160106010)(分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于AP2.2.教室后面墙壁上的时钟掉下来教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了面板摔坏了,刻度刻度5 5至至7 7的部的部分没了分没了,如图如图:但指针运行正常但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率求不能看到准确时间的概率.1/6
17、1/68.8.假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早送报人可能在早上上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?解解:以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵坐标以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标表示父亲离家时间建立平面直角坐标系系,假设随机试验落在方形区域内任何一假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的点是等可能
18、的,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根据题意根据题意,只要点落到阴影部只要点落到阴影部分分,就表示父亲在离开家前能就表示父亲在离开家前能得到报纸得到报纸,即时间即时间A发生发生,所以所以1118().18PA例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分分钟有一辆汽车到达，乘客钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候求一个乘客到达车站后候车时间大于车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个
19、乘客到达车站后候车时间大于刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。31155 D d)(的测度的测度AP解：设上辆车于时刻解：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T2 2到达，线段到达，线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T1 1T=5T=5，T T2 2T=10T=10，如图所示，如图所示:答：侯车时间大于答：侯车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是1/3.T1T2T记候车
20、时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的时刻落在线，则当乘客到达车站的时刻落在线段段T T1 1T T上时，事件发生，区域上时，事件发生，区域D D的测度为的测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为5 5。所以所以变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T321510 D d)(的测度的测度AP分析：2 2某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3 3分钟。分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于乘客到达车站的时刻是任
21、意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 10 分分钟的概率？钟的概率？152 D d)(的测度的测度AP分析：设上辆车于时刻分析：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T0 0到达，到达，T T2 2时刻时刻出发。线段出发。线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T0 0T T2 2=3=3，TTTT0 0=10=10，如图所示如图所示:记候车时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的时，则当乘客到达车站的时刻落在线段刻落在线段T T1 1T
22、T上时，事件上时，事件A A发生，区域发生，区域D D的测度为的测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为15-3-10=215-3-10=2。所以所以 T1T2TT0甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212点到点到5 5点之间在某地会面点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响且二人互不影响.求二人能会面的概率求二人能会面的概率.想一想想一想解解:以以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻分别表示甲乙二人到达的时刻,于是于是0X5,0Y5 即点即点 M 落在图中的阴影部
23、分落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形所有的点构成一个正方形,即即有无穷多个结果有无穷多个结果.由于每人在由于每人在任一时刻到达都是等可能的任一时刻到达都是等可能的,所以落在正所以落在正 方方 形形 内内 各各 点是点是等可能的等可能的.0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是：二人会面的条件是：|,XY10 1 2 3 4 5yx54321.259254212252正方形的面积阴影部分的面积py-x=1y-x=-13.3.几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式1.1.几何概型的几何概型的特征特征2.几何概型的几何概型的定义定义 每个基本事件出现的可能性每
24、个基本事件出现的可能性 .几何概型中所有可能出现的基本事件有几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；个；()APA4.解决几何概型的关键是解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形构造随机事件对应的几何图形.解题步骤解题步骤思考题：思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积，求图中五角星的面积.(计算结果保留计算结果保留）解：记解：记“蚂蚁最后停在五角星内蚂蚁最后停在五角星
25、内”为事件为事件A,401.02)()(2 APSSSSAP圆圆五五角角星星五五角角星星圆圆 20 yx95604060)(222 矩矩形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积AP解解:以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为试一试试一试:3.两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面点在某地会面,先到者等候另一人先到者等候另一人20分钟分钟,过时就可离过时就可离去去,试求这两人能会面的概率试求这两人能会面的概率.课堂小结 1.几何概型的特点几何概型的特点.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.公式的运用公式的运用.()APA构 成 事 件的 区 域 长 度（面 积 或 体 积）全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度（面 积 或 体 积）本节本节核心内容核心内容是几何概型特点及概率是几何概型特点及概率 求法，求法，易错点易错点是容易找错、求错几何度量。是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有要求在做解答题时要有规范的规范的步骤和步骤和必要必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！学习习惯！
