1、2.2.12.2.1综合法和分析法综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推主要靠合情推理理.复习推推 理理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？。数学中证明的方法有哪些呢？在数学证明中，我们经常从已知条件和某在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义
2、、定理、公理、性质等出发通些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。过推理导出所要的结论。例例:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明
3、:综合法综合法.methodlsynthetica,这这种种证证明明方方法法叫叫做做要要证证明明的的结结论论成成立立最最后后推推导导出出所所经经过过一一系系列列的的推推理理论论证证定定理理等等学学定定义义、公公理理、利利用用已已知知条条件件和和某某些些数数一一般般地地综合法综合法.,果法果法又叫顺推证法或由因导又叫顺推证法或由因导综合法综合法:,Q,P表示为表示为则综合法可用框图则综合法可用框图表示所要证明的结论表示所要证明的结论等等定义、公理、定理定义、公理、定理表示已知条件、已有的表示已知条件、已有的用用1QP 21QQ 32QQ QQn 例例1 在在ABC中中,三个内角三个内角A,B,C
4、的对边分别为的对边分别为a,b，c,且且A,B,C成成等差数列等差数列,a,b，c成等比数列成等比数列,求证求证ABC为等边三角形为等边三角形.【问题启发】【问题启发】1、本题中涉及到哪几块知识？、本题中涉及到哪几块知识？2、从这些已知条件，可以得到什么结论？、从这些已知条件，可以得到什么结论？3、怎样把它们转化为三角形中边角关系？、怎样把它们转化为三角形中边角关系？【分析分析】本题注意三个问题：本题注意三个问题：1、将文字语言转化为符号语言；将文字语言转化为符号语言；2、注意边角关系的转化；注意边角关系的转化；3、注意挖掘题中的隐含条件（内角和为注意挖掘题中的隐含条件（内角和为）例例1 在在
5、ABC中中,三个内角三个内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b，c,且且A,B,C成成等差数列等差数列,a,b，c成等比数列成等比数列,求证求证ABC为等边三角形为等边三角形.;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等差数列成等差数列将将分析分析这是个隐含条这是个隐含条的内角的内角为为,ABCC,B,A;CBA,明确表示出来是明确表示出来是件件.acb,c,b,a2转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等比数列成等比数列.,.,为工具进行证明可以用余弦定理于是余弦定理正好满足要求状进而判断三角形的形系步寻找角和边之间的关那么就可以进一来如果能把角和边统一起此时例例1
6、在在ABC中中,三个内角三个内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b，c,且且A,B,C成成等差数列等差数列,a,b，c成等比数列成等比数列,求证求证ABC为等边三角形为等边三角形.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明.CBA,ABCC,B,A所以的内角为因为.3B,得由.acb,c,b,a2有成等比数列由.accaBcosac2cab,22222 可得由余弦定理及,0ca,acacca,222即得再由.CA.ca从而有因此.ABC.3CBA,是等边三角形所以得由【本题小结本题小结】解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号
7、语言，或把符号语言转换成图形语言语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。示出来。分析法分析法.2.PP,P;PP,P,PQ,Q,Q,3222111为止为止、公理等、公理等已知条件、定理、定义已知条件、定理、定义的条件的条件直到找到一个明显成立直到找到一个明显成立充分条件充分条件成立的成立的再去寻求再去寻求成立成立为了证明为了证明充分条件充分条件成立的成立的再去寻求再去寻求成立成立为了证明为了证明充分条件充分条件成立的成立的即使即使成立的条件成立的条件寻求保证寻求保证反推回去反推回去出发出发还经
8、常从要证明的结论还经常从要证明的结论证明数学命题时证明数学命题时 .0b,0aab2ba,就用了上述方法就用了上述方法的证明的证明基本不等式基本不等式例如例如,ab2ba,ab2ba只需证要证,ab2ba0 0只需证.0ba只需证.,0ba因此原不等式成立显然成立由于).methodanalytical(.)(,这这种种证证方方法法叫叫做做为为止止公公理理等等、已已知知条条件件、定定理理、定定义义定定一一个个明明显显成成立立的的条条件件判判把把要要证证明明的的结结论论归归结结为为直直到到最最后后的的充充分分条条件件逐逐步步寻寻求求使使它它成成立立从从要要证证明明的的结结论论出出发发一一般般地地
9、分析法分析法.,因法因法又叫逆推证法或执果索又叫逆推证法或执果索分析法分析法:,Q为为则分析法可用框图表示则分析法可用框图表示表示要证明的结论表示要证明的结论用用1PQ 21PP 32PP 成立的条件成立的条件得到一个明显得到一个明显 【分析法分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式 372
10、5例2：求证372 5解解:要证要证()()22372 5只需证只需证展开展开,只需证只需证215只需证只需证 21252125因为因为 21252125成立成立,所以所以 成立成立.372 5问题问题1：讨论：能用综合法证明吗？.tan12tan1tan1tan1:,sincossin,sin2cossin,Zk2k,322222 求证求证且且已知已知例例 .1sin2sin42,1cossin2cossin,.,2222 得得由由于是于是系系发现其中蕴含数量关发现其中蕴含数量关点点观察已知条件的结论特观察已知条件的结论特已知条件中消去已知条件中消去因此第一步工作可以从因此第一步工作可以从现
11、角现角发现结论中没有出发现结论中没有出比较已知条件和结论比较已知条件和结论分析分析 .,)sin(cos21sincos,1sinsin4,sincos21sincos.,:,1sin2sin4222222222222到目的到目的就能达就能达弦弦中的角的余弦转化为正中的角的余弦转化为正发现只要把发现只要把比较比较再与再与把结论转化为把结论转化为弦函数弦函数余余把正切函数化为正把正切函数化为正即即名称名称数数函函一一统统论论于是尝试转化结于是尝试转化结但函数名称不同但函数名称不同角相同角相同发现发现与结论相比较与结论相比较把把 .1sin2sin4,1cossin2cossin222 可得代入上
12、式把所以因为证明 .tan12tan1tan1tan1,2222 要证另一方面.cossin12cossin1cossin1cossin122222222 即证 ,sincos21sincos2222 即证 ,sin2121sin2122 即证.1sin2sin422 即证.,于是问题得证相同由于上式与:,Q,P程程可可用用框框图图表表示示为为则则上上述述过过表表示示要要证证明明的的结结论论用用等等理理、公公理理表表示示已已知知条条件件定定义义、定定用用m1mn1nQQPP 1PP 21PP 1QQ 21QQ 直接证明(回顾小结)分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确，利于寻找解题思路；利于寻找解题思路；综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程分析法分析法综合法综合法概念概念直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；相同不同不同 证法证法2 2分析法：执果索因，利于思考，易于探路分析法：执果索因，利于思考，易于探路
