1、高中数学-函数的单调性高中数学一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx11-1y-11-1x1-11y-1-1高中数学知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个函数考察下列两个函数:()fx x 2()(0)fx xx （1 1）f(x)=x ；(2)(2)f(x)=x2 xyo思考思考1 1:说说随着说说随着X X的增大，图像从左到右的升降情况？的增大，图像从左到右的升降情况？o5-5-55xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy
2、1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学Oy1x)x(f12xy高中数学O)x(f11xy2xy高中数学函数单调性的概念：函数单调性的概念：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果对于定义域果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两内的任意两个 自 变 量个 自 变 量 x1，x2，当，当 x1 x2时，时，都 有都 有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函增函数数,如图如图1.1 1增函数增函数y0 x
3、1x2f(x1)y=f(x)图图1高中数学 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果对于定义域果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个内的任意两个自变量自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数,如图如图2.y0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图22 2减函数减函数高中数学注意：注意：函数的单调性是在定义域内的某个区函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间必须是对于区间I I内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，
4、x2；函数的单调性是相对某个区间而言，函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。不能直接说某函数是增函数或减函数。高中数学下列说法是否正确？请画图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1 1）如果对于区间（）如果对于区间（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f(x)f(0),(0),则函数在区间（则函数在区间（0 0，+）上单调）上单调递增。递增。（2 2）对于区间（）对于区间（a,b）上得某）上得某3 3个自变量的值个自变量的值 x1 1,x2 2,x3 3,当当 时，时，有有 则函数则函数f(x)在区间（在区间（a,b）上单调递增）上单调递增。123()
5、()()()()f af xf xf xf b123axxxb高中数学2 2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D D上是增函数上是增函数或减函数，那么就说函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间在这一区间具有（严格的）单调性，区间具有（严格的）单调性，区间D D叫做叫做y=f(x)的的单调区间。单调区间。高中数学（二）典型例题例例1 1 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区间上，函数以及在每一单调区间
6、上，函数y=f(x)是增函数还是增函数还是减函数是减函数.高中数学）上是增函数。，（在区间证明函数 1x2)x(f 例例1 1 高中数学用定义证明函数单调性的步骤是：用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值）取值（2）作差变形）作差变形（3）定号）定号（4）判断）判断根据单调性的定义得结论根据单调性的定义得结论 即取即取 是该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且12x,x12x x 即求即求 ，通过因式分解、配方、有，通过因式分解、配方、有理化等方法理化等方法12f(x)-f(x)即根据给定的区间和即根据给定的区间和 的符号的确定的符号的确定 的符号的符号21x-x12f(x)-f(x
7、)高中数学.23)(.2上上是是增增函函数数在在证证明明函函数数练练习习Rxxf f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（3x22）3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20.23)(上是增函数上是增函数在在函数函数Rxxf 设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x1x2，则，则高中数学练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。2()2f xxxxxxxf2)(2 y21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：1 ,(),1 高中数学三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调
8、区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。高中数学四、作业布置四、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P39 AP39 A组：第组：第2 2题题 2(2(选做选做)证明函数证明函数f
9、(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函数增函数.高中数学例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 (k k为正常数为正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当体积当体积V 减减小时小时,压强压强 P 将增大将增大.试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之.kpV=高中数学二、新课教学二、新课教学（一）函数单调性定义（一）函数单调性定义1 1增函数增函数一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的的定义域为定义域为I，如果对于定义域如果对于定义域 I 内的内的某个区间某个区间D D内内的的任意任意两个自变量两个自变量x1,x2 ，当当x1 x2 时，都有时，
10、都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数（increasing functionincreasing function）高中数学3 3证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一上的单调性的一般步骤：般步骤：任取任取x1，x2D，且，且x1x2；作差作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在
11、给定的区间D D上的单调性）上的单调性）高中数学）上上是是增增函函数数。，（在在区区间间证证明明函函数数 xxf12)(.例例2 2内内任任意意是是区区间间设设),(,x 21 x121212()()(21)(21)2(x)f xf xxxx0 x ,2121 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即证明：证明：。两两个个实实数数，且且 x 21x),(12)(在在区区间间则则函函数数xxf是是增增函函数数。（取值）（取值）（作差）（作差）（下结论）（下结论）（定号）（定号）高中数学.23)(.2上上是是增增函函数数在在证证明明函函数数练练习习Rxxf f（x1）f（x2）f（
12、x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（3x22）3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20.23)(上是增函数上是增函数在在函数函数Rxxf 设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x1x2，则，则高中数学探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论上的单调性怎样？证明你的结论xy1 思考思考3 3：反比例函数反比例函数 的单调性，的单调性，单调区间：单调区间：)0(kxky高中数学.),0(1)(.3减函数？证明你的结论减函
13、数？证明你的结论上是增函数还是上是增函数还是在在函数函数例例 xxf设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则22111)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf 2112xxxx 0),0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上上是是减减函函数数在在函函数数 xxf111Ox y1f（x）在定义域）在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）高中数学例例3 3 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单内的单调性调
14、性.322 axxf(x)高中数学变式变式1 1：若二次函数：若二次函数2()4f xxax 在区间在区间(-,1(-,1上单调递增，求上单调递增，求a a的取值范围。的取值范围。变式变式2 2：若二次函数：若二次函数2()4f xxax 的递增区间是（的递增区间是（-,1-,1，则，则a a的取值情况是的取值情况是高中数学()f x 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式（2）求适合）求适合 的的 的取的取值范围值范围()f x(2)(1)fxfx()2()0f xf x或x高中数学()f x 是定义在（
15、是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数，解不等式解不等式(2)(1)fxfx高中数学的单调区间。的单调区间。求函数求函数34xxy2 练习：练习：注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性在原函数定义域内讨论函数的单调性高中数学思考与讨论思考与讨论f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四则运算后在该四则运算后在该区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？高中数学1.1.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)
16、g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。
17、高中数学三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。高中数学四、作业布置四、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P39 A
18、P39 A组：第组：第2 2题题 2(2(选做选做)证明函数证明函数f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函数增函数.高中数学-函数的最大（小）值高中数学画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？点的？(1)(2)()230,3f xxx 12)(2xxxfxyo2oy-1高中数学1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f
19、(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。高中数学2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存
20、在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 高中数学2.2.函数最大（小）值应该是所有函数值中函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）注注 意：意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，值，即存在即存在x0I，使得，使得f(x0)=M；3.3.最大值和最小值统称为最值。最大值和最小值统称为最值。高中数学.)(1,1)(,),()(12的最大值为函数则都有任意、函数xfxfRxRxxxf判断以下说法是否正确。判断以下
21、说法是否正确。.)(,)(,)(,)(,),(,)(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值为则函数有自变量对于），已知点的定义域为（、函数2、设函数 ，则 成立吗？的最大值是2吗？为什么？2()1f xx()2f x()f x高中数学例3 “菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时
22、刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）高中数学解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:29)9.4(47.1418)9.4(45.1)9.4(27.142ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.高中数学例3 求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间
23、2,6上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()1()1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy高中数学 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy高中数学（二）（二）判断函数的判断函数的最大最大(小小)值值的方法的方法 1.利用二次函数二次函数的性质（配方法配方法）求函数的最大(小)值 2.利
24、用图象图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；高中数学例例3 写出函数写出函数 的单调的单调区间，并求出最值。区间，并求出最值。2321yxx2()23f xxx 2,0 x 例例4 已知二次函数已知二次函数 （1
25、）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。()f x()f x 2,3x（2）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。高中数学例例5 5 求下列函数的最小值求下列函数的最小值22221(1)()(0)4(2)()22 1,1xxf xxxf xxaxx 提示：提示：（1 1）将将f(x)变形变形用定义法证明用定义法证明f(x)f(x)的单调性的单调性求求f(x)f(x)的的最小值最小值（2 2）f(x)求求f(x)f(x)的的对称轴对称轴讨论对称轴讨论对称轴与所给区间与所给区间的位置关系的位置关系高中数学求函数求函数 的最值。的最值。()|1|2|f xxx高中数学 设f(x)是定义在R上的函数，对m,nR恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0(3)求证：f(x)在R上是减函数。团团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每天，小朋友们排着长队，等着跟它们合影留念。从“排着长队”体现出每天喜欢它们的人不计其数，特别受欢迎。从“合影留念”体现出大家都想和大熊猫留住最美丽的瞬间以作纪念。Nothing can be accomplished without norms or standards.感谢阅读下载！祝你生活愉快
