1、高中数学集合结构图集合结构图集合集合集合含义与表示集合含义与表示集合间关系集合间关系集合基本运算集合基本运算列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法子集子集真子集真子集补集补集并集并集交集交集高中数学1.集合中元素的性质集合中元素的性质:自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作正整数集：记作N*或或N+整数集：记作整数集：记作 Z有理数集：记作有理数集：记作 Q实数集：记作实数集：记作 R2.常用的数集及其记法常用的数集及其记法高中数学子集：子集：A B任意任意xA xB.真子集：真子集：A B xA，xB，但存在，但存在x0B且且x0 A.集合相等：集合相
2、等：AB A B且且B A.空集：空集：.性质：性质：A，若，若A非空，非空，则则A.A A.A B，B CA C.3.集合间的关系集合间的关系:高中数学子集、真子集个数：子集、真子集个数：一般地，集合一般地，集合A含有含有n个元素，个元素，A的非空真子集的非空真子集 个个.则则A的子集共有的子集共有 个个;A的真子集共有的真子集共有 个个;A的非空子集的非空子集 个个;2n2n12n-12n-2高中数学4.并集并集:B A|BxAxxBA，或BA5.交集交集:|BxAxxBA，且 B A BA6.全集全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的
3、涉及的元素元素,那么就称这个集合为那么就称这个集合为7.补集补集:UAUAUA=x|x U，且x AUAUAU高中数学ABBA:1AAA:2AA:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA类比并集的相关性质类比并集的相关性质ABBA:1AAA:2A:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA高中数学BABAABABAABABAABABAA并集的性质并集的性质 交集的性质交集的性质高中数学知识知识结构结构概念概念三要素三要素图象图象性质性质指数函数指数函数应用应用大小比较大小比较方程解的个数方程解的个数不等式的解不等式的解实际应用实际应
4、用对数函数对数函数函函数数第二章高中数学函数的概念函数的概念函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.BA.B是两个非空的集合是两个非空的集合,如果按照如果按照某种对应法则某种对应法则f f，对于集合，对于集合A A中的中的每一个元素每一个元素x x，在集合，在集合B B中都有唯中都有唯一的元素一的元素y y和它对应，这样的对和它对应，这样的对应叫做从应叫做从A A到到B B的一个函数。的一个函数。高中数学使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围。求定义域的主要依据求定义域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零.2 2、偶次方根的被开方数不小于零、偶次方根的被开方数
5、不小于零.3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零.4 4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零.5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域例如例如11log(2)xxy高中数学一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的判断两个函数相等的方法：1、定义域是否相等（定义域不同的函数，不是相等的函数）2、对应法则是否一致（对应关系不同，两个函数也不同）高中数学例、下列函数中哪个与函数y=x相等xxyxyxyxy22332)4()3()2()1(高中数学 1、已知函数、已
6、知函数f(x)=x+2,(x1)x2,(1x2)2x,(x2)若若f(x)=3,则则x的值是的值是()A.1B.1或或32C.1,332D.3D 高中数学函数的性质：单调性函数的性质：单调性如果对于定义域如果对于定义域I I内内某个区间某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值 x1 1 、x2 2，当当 x1 1x2 2时，都有时，都有f(x1 1)f(x2 2)，那么，那么就说函数就说函数f(x)在区间在区间D上是上是增增函数函数.定义定义一般地，设函数一般地，设函数 f(x)的定义域为的定义域为I I:如果对于定义域如果对于定义域I I内内某个区间某个区间D上的上的任意任意两
7、个自变量的值两个自变量的值 x1 1 、x2 2，当当 x1 1x2 2时，都有时，都有f(x1 1)f(x2 2)，那么那么就说函数就说函数f(x)在区间在区间D上是上是减减函数函数.xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)3 3.(定义法定义法)证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤:设值设值判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论高中数学 简单函数的单调性1、一次函数 y=kx+b2、二次函数 y=ax2+bx+c3、反比例函数 y=k/x4、指数函数 y=ax5、对数函数 y=logax6、幂函数 y=xa高中数学.,.5增
8、函数减函数增函数增函数增函数增函数在公共区间内.记住下列重要结论.)()(.1增减性相反与xfxf12.(),().()f xf xf x恒为正或恒为负时 函数与增减性相反.)()(.3增减性相同与函数kxfxf.)()(,0,)()(,0.4增减性相反与时的增减性相同与当xkfxfkxkfxfk高中数学设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx 0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf111Ox y1f（x）在定义域）
9、在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数例例1：判断函数：判断函数f(x)=1/xf(x)=1/x在区间在区间(0,+)(0,+)上上是增函数还是减函数？并证明你的结论。是增函数还是减函数？并证明你的结论。高中数学,12()4f xxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可.2()4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o练习练习高中数学已知函数已知函数 y=|x 2 x|，(1)作出函数的草图；作出函数的草图；(2)写
10、出函数的单调区间。写出函数的单调区间。41)21(41)21(22xx1010 xxx或或 xxxxy220022 xxxxxyo121由图知：此函数的单调递增区间为由图知：此函数的单调递增区间为),1,21,0 单调递减区间为单调递减区间为1,21,0,(高中数学.),()1(2,2)(的取值范围求上单调递增，若在已知mmfmfxf单调性的应用：单调性的应用：.4,(2)1(2)(2的取值范围求实数上是减函数，在已知axaxxf高中数学一、函数的奇偶性定义一、函数的奇偶性定义前提条件：定义域关于数前提条件：定义域关于数“原点原点”对称。对称。1、奇函数、奇函数 f(-x)=-f(x)或或 f
11、(-x)+f(x)=02、偶函数、偶函数 f(-x)=f(x)或或f(-x)-f(x)=0二、奇函数、偶函数的图象特点二、奇函数、偶函数的图象特点1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。2、偶函数的图象关于、偶函数的图象关于y轴轴成轴对称图形。成轴对称图形。奇函数里的定值：如果奇函数奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)y=f(x)的的定义域内有定义域内有0 0，则，则f(0)=0.f(0)=0.高中数学如果函数的定义域不关于原点对称，则如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，又不是偶函数。此函数既不是奇函数，又不是偶函数。奇函数关于原点对称
12、的两个区间上的奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致；偶函数则相反。单调性一致；偶函数则相反。高中数学利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；关于原点对称；确定确定f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系作出相应结论：作出相应结论：若若f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)则则f(x)f(x)是偶函数是偶函数若若f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)则则f(x)f(x)是奇函数是奇函数.高中数学已知已知 f(x)是奇函数，当是奇函数，当 x 0 时，
13、时，f(x)=x 2 2x，求当，求当 x 0 时，时，f(x)的解析式，并画出此函数的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。的图象。xyo解：解：f(x)是奇函数是奇函数 f(x)=f(x)即即 f(x)=f(x)当当 x 0 时，时，f(x)=x 2 2x 当当 x 0 时，时，f(x)=f(x)=(x)2 2(x)=(x 2+2x )xxxxy2222故故00 xx 1)1(1)1(22xx00 xx例题例题高中数学基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数高中数学 aras=ar+s(a0,r,sQ)；(ar)s=ars(a0,r,sQ
14、)；(ab)r=ar br(a0,b0,rQ).(5)()(0,Z)nnnaabnbb 指数幂的运算高中数学._,3133221aaaaaa，则已知？ba，ba的值求已知2,210,50100222,10010,2105010,50100.22bababaa又解718高中数学logloglogaaaMNMN（）logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：log4 loglogcacNNa 5 loglog1abba 6 loglogmnaanNNm高中数学mbamba求例：已知,211,53高中数学指数函数指数函
15、数1、定义域、定义域 .2、值域、值域 .R3、图象、图象a10a 0,a1)高中数学对数函数yx aalog其中且 a 011、定义域、定义域 .2、值域、值域 R3、图象、图象a10a1R+yxoyxo11高中数学指数函数与对数函数指数函数与对数函数函数函数y=ax (a0 且且 a1)y=log a x (a0 且且 a1)图图象象a 10 a 1a 10 a 1性性质质定义域定义域定义域定义域值域值域值域值域定点定点定点定点xy01xy011xyo1xyo在在R上是上是增增函数函数在在R上是上是减减函数函数在在上是上是增增函数函数在在上是上是减减函数函数RR(0,)(0,)(1,0)(
16、0,1)单调性单调性相同相同高中数学指数函数与对数函数指数函数与对数函数(1),(2),(3),(4),1.xxxxyaybycyda b c d如图是指数函数的图象 则与 的大小关系是（）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1.B(1)(2)(3)(4)OXy总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大高中数学指数函数与对数函数指数函数与对数函数若图象若图象C1，C2，C3，C4对应对应 y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx,则（则（）A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1abxyC1C2C3C4o1D规律：在规律：在x轴轴上
17、方图象自左上方图象自左向右底数越来向右底数越来越大！越大！高中数学22log(21)log(5)xx 2、解不等式1 log 42(0,a1)aaa、且求实数 的取值范围？高中数学在同一平面直角坐标系内作出幂函数在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：的图象：高中数学X y110y=x-1y=x-2a 0yx高中数学三、幂函数的性质三、幂函数的性质:.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义,并且函并且函数图象都通过点数图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调
18、性，因函数式中中的不同而各异的不同而各异.如果如果0,0,则幂函数则幂函数在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减函数。0,0,则幂函数则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数;1012.2.当当为奇数时为奇数时,幂函数为奇函数幂函数为奇函数,当当为偶数时为偶数时,幂函数为偶函数幂函数为偶函数.高中数学 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。零点是一个点吗?第三章函数与方程高中数学）至少有一个根在（baxfbfaf,)(0)()(若f(x)是单调函数()()0
19、(),f af bf xa b在（）有唯一一个根高中数学函数与方程？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点高中数学如何判断函数零点的个数如何判断零点所在的区间高中数学例：关于例：关于 x 的方程的方程 x 2(k+1)x+2k=0 的两根异号，则实数的两根异号，则实数 k 的取值的取值范围是范围是 _解：解：令令 f(x)=x 2(k+1)x+2k xyo 00:21xx由由图图可可知知 0208)1(2kkk 00162kkk0 k(,0)由图可知：由图可知：f(0)00 k 023562356kkk或或高中
20、数学例：已知方程(m)x2mx至少有一个正根，求实数m的范围 解解:若m,方程为x，x符合条件 若m,设f(x)(m)x2mx f()，方程f(x)无零根 如方程有异号两实根，则x1x2，m 如方程有两个正实根，则:m2(m)，m 或m ，x1x2 ，m，x1x2 ，m11m1mm2222 m22 由此得，实数m的范围是m .22高中数学实际问题实际问题数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解抽象抽象概括概括推理演推理演算算还原还原说明说明答答 求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：示意图表示为：数学模型数学模型函数模型及其应用函数模型及其应用
