1、1.3.1三角函数的周期性第1章1.3三角函数的图象和性质学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一周期函数思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.答案答案由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2
2、x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.答案梳理梳理(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.最小的正数非零的常数f(xT)f(x)知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？答案答案是的.由sin(6x)sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6是正弦函数ysin x(x
3、R)的一个周期.答案梳理梳理(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是.(3)函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T .题型探究例例1求下列函数的周期：类型一求三角函数的周期解答(3)y|sin x|.解解由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.解答反思与感悟求三角函
4、数的周期，通常有三种方法：(1)定义法.(2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，有T .(3)观察法(图象法).答案解析42类型二利用周期求函数值解答反思与感悟(1)利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值.(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题.解答解解f(x)是周期函数，且最小正周期为，f(x)是偶函数，类型三函数周期性的综合应用例例3设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x，求f(7)的值.解解f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4.又f(
5、x)是奇函数，f(7)f(81)f(1)f(1).又当0 x1时，f(x)x，f(7)f(1)1.解答引申探究引申探究将例3中的条件f(x2)f(x)改为：f(x)的图象关于x1对称，其余条件不变，求f(7)的值.解解函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x).又函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(7)f(241)f(1)f(1)1.解答反思与感悟(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可.(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该
6、函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质.跟踪训练跟踪训练3设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0，2时，f(x)(x1)2.(1)求f(3)；解解函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0，2时，f(x)(x1)2，f(3)f(32)f(1)(11)20.解答(2)当x2，4时，求f(x)的解析式.解解f(x)的周期为2，当x2，4时有f(x)f(x2)，又x20，2，f(x2)(x21)2(x3)2，f(x)(x3)2.即x2，4时，f(x)(x3)2.解答当堂训练12341.下列说法中，正确的
7、是 .(填序号)因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期；因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期；解析解析根据周期函数的定义容易知道均是错误的，同时是正确的；对于，我们只能得出2是函数ytan x的一个周期，但不是最小正周期.答案解析1234答案解析81234答案解析12344.求下列函数的最小正周期.解答1234解答规律与方法1.函数周期性的理解：(1)对于“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xT仍在定义域内且等式成立.(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数的
8、周期.(3)并不是所有周期函数都有最小正周期.如常数函数f(x)C没有最小正周期.2.求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法.(2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0，0)，T .(3)观察法(图象法).三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.本课结束仅做学习交流，谢谢！仅做学习交流，谢谢！语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版
9、本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中
10、经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，
11、看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一
12、些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧
13、心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变
14、化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”
15、字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个
16、故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”
