1、曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法二、曲线的拐点及其求法一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性2x问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy xyo)(xfy ABC1x递递增增)(xf 0 y递递减减)(xf 0 yxyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA递递增增)(xf 0 y递递减减)(xf 0 y定理定理2.122.12.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在二二阶阶导导数数内内具具有有
2、在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.arctan的凹凸性判断曲线xxy.arctan xxy 解解,1arctan2xxxy,0)1(2)1(2)1(11222222 xxxxxxy上为凹的；在曲线),(例例2 2.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 例例2 2.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6 xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线),0 .)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,例例3 3.3的凹凸性判
3、断曲线xy 例例3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0,0()0(凹变凸的分界点是曲线由不存在，但点尽管f 的凹凸性的凹凸性.4xy 例例4.4.判断函数判断函数xyO解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0 yx时，0但这时有故曲线故曲线4xy 在在),(上是凹的上是凹的.说明说明:若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导在其两侧二
4、阶导数不变号数不变号,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.4xy 例例5.5.)1(32的凹凸性与拐点讨论曲线xxy解解),(:D;3235)(31323235xxxxy).51(91034 xxy拐点拐点32)1(xxy0 x)51,(),0()0,51(510y y 凸凸 凹凹凹凹非拐点非拐点)1556,51(3不存在;0不存在时，yx.051 yx时，例例6 6.143)(34凹凹、凸凸的的区区间间的的拐拐点点及及求求曲曲线线 xxxf例例6 6.143)(34凹凹、凸凸的的区区间间的的拐拐点点及及求求曲曲线线 xxxf解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y
5、令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(内容小结1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点思考题思考题1.2.e1 2的凹凸性及拐点判断曲线xy .),(21)e1,(2121曲线曲线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21(e222xyx),(2121),(21及及 ;练练 习习 题题练习题答案练习题答案
