1、丰台区丰台区 20192020 学年度第一学期期末练习学年度第一学期期末练习 高高三三数学数学 2020.01 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合 |13Axx， | 12Bxx ，则AB （A） | 13xx （B） | 11xx （C） |12xx （D） |23xx 2 命题“ 000 (0 + )ln1xxx,，”的否定是 （A） 000 (0 + )ln1xxx,， （B） 000 (
2、0 + )ln1xxx,， （C）(0 + )ln1xxx ,， （D）(0 + )ln1xxx ,， 3 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是 （A）yx （B） 2 1yx （C）cosyx （D） 1 2 yx 4一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0 0 0), ,，(0 0 1), ,，(11 0),，(1 0 1), ,， 则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为 （A） 1 4 （B） 1 2 （C） 3 4 （D）1 5已知菱形ABCD边长为 1，=60BAD，则=BD CD （A） 1 2 （B） 1 2 （C） 3 2 （D） 3
3、 2 6双曲线 22 41xy的离心率为 （A）5 （B） 5 2 （C）3 （D） 3 2 7已知公差不为 0 的等差数列 n a，前n项和为 n S，满足 31 10SS，且 124 a a a, ,成等比数列，则 3 a （A）2 （B）6 （C）56或 （D）12 8. 在 2 6 1 ()x x 的展开式中，常数项是 （A）20 （B） 15 （C）15 （D）30 9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v（单位：m / s） ， 鲑鱼的耗氧量的单位数为Q. 科学研究发现v与 3 log 100 Q 成正比. 当1m /sv 时，鲑鱼的耗氧量
4、的单 位数为900. 当2m / sv=时，其耗氧量的单位数为 （A）1800 （B） 2700 （C）7290 （D）8100 10. 在边长为2的等边三角形ABC中，点DE，分别是边ACAB，上的点，满足DEBC且 AD AC (0 1),，将ADE沿直线DE折到A DE的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 （A）在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF平面A CD （B）存在 1 (0) 2 ,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC平面BCDE （C）若 1 2 ，当二面角ADEB 为直二面角时， 10 4 A B （D）在翻折过程中，四棱锥ABCDE 体积的最大值记
5、为( )f，( )f的最大值为 2 3 9 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题二、填空题共共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11. 复数 1 1 i + 的实部为 12. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，右图就是一重卦如果某 重卦中有 2 个阳爻，则它可以组成 种重卦 （用数字作答） 13. 已知a b c, ,分别为ABC内角A B C, ,的对边， 2 2cab且 1 sinsin 2 AC，则cos A 14. 我们称一个数列是“有趣数列” ，当且仅当该数列
6、满足以下两个条件： 所有的奇数项满足 2121nn aa ，所有的偶数项满足 222nn aa ； 任意相邻的两项 21n a ， 2n a满足 21n a 2n a. 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列1 2 3 4 5 6， “有趣数列” （填“是”或者“不是” ） ； （）若 2 ( 1)n n an n ，则数列 n a “有趣数列” （填“是”或者“不是” ）. 15已知抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于A B,两 点，若4AF ，则AOB的面积为 16定义域为R的函数( )f x同时满足以下两条性质： 存在 0 xR,使得 0 ()0
7、f x； 对于任意xR，有(1)2 ( )f xf x. 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i）若( )f x是增函数，则( )f x ； （）若( )f x不是单调函数，则( )f x . 三、解答题三、解答题共共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共（本小题共 13 分）分） 已知函数 2 ( )sin cos3cosf xxxx. （）求 ( ) 3 f的值； （）求( )f x在区间 0 2 ,上的最大值. 18.（本小题共（本小题共 14 分）分） 如图，在三棱柱 111 ABC
8、A B C中， 1 AA平面ABC， 2 BAC， 1 1AAABAC， 1 CC的中点为H. （）求证： 1 ABAC； （）求二面角 1 ABCA的余弦值； （）在棱 11 A B上是否存在点N，使得HN平面 1 A BC？若存在，求 出 1 11 A N A B 的值；若不存在，请说明理由 19.（本小题共（本小题共 13 分）分） 目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上 万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地 流失. 2020 年 5 月 1 日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类
9、标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其 它垃圾四类 .生活垃圾中有 30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸，可以挽救 17 棵大树，少用纯碱 240 千克，降低造纸的污染排放 75，节省 造纸能源消耗 4050. 现调查了北京市 5 个小区 12 月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下 表： A 小区 B 小区 C 小区 D 小区 E 小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任
10、取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中，废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率； （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，记 X 为 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的 小区个数，求 X 的分布列及期望 20.（本小题共（本小题共 13 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直 线60xy相切. （）求椭圆方程； （）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S） ，直线PS， QS分别交直线4x 于A，B两点. 求
11、证：A，B两点的纵坐标之积为定值. 21.（本小题共（本小题共 14 分）分） 已知函数 32 1(1) ( ) 32 a f xxxax . （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0(0)f,处的切线方程； （）讨论函数( )f x的单调性； （）对于任意 1 x， 2 0 2x ,，都有 12 2 ()() 3 f xf x，求实数a的取值范围. 22.（本小题共（本小题共 13 分）分） 已知 * 2nnN，给定nn个整点()x y,其中1x yn x y * N, ,. （）当2n 时,从上面的22个整点中任取两个不同的整点 1122 () ()x yxy,，求 12 xx的所有可
12、能 值； （）从上面nn个整点中任取m个不同的整点， 5 1 2 n m . （i）证明：存在互不相同的四个整点),(),(),(),( 22221111 yxyxyxyx，满足 11 y y , 2212 yyyy,； （ii）证明：存在互不相同的四个整点),(),(),(),( 22221111 yxyxyxyx，满足 2211 xxxx,. 21 yy （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 6 丰台区丰台区 20192020 学年度第一学期期末练习学年度第一学期期末练习 高三数学高三数学 参考答案及评分参考参考答案及评分参考 2
13、02001 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A A B C D D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 1 2 1215 13 7 8 14是；是 15(1 0),； 4 3 3 162x；2 sin2 x x(答案不唯一) 注：第注：第 14、15、16 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写
14、出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题共（本小题共 13 分）分） 解： （） 2 ( )sincos3cos 3333 f 2 311 3( ) 222 3 2 . .4 分（） 2 ( )sincos3cosf xxxx 1cos21 sin23 22 x x 3 sin(2) 32 x. 因为 0 2 x,，所以 4 2 333 x,. 当 2 32 x，即 12 x 时， ( )f x取得最大值 3 1 2 . .13 分 7 18.（本小题共（本小题共 14 分）分） 证明： （）因为 1 AA 平面ABC，AB 平面ABC，所以 1 AAAB. 因为 2 BAC，所以ACA
15、B. 又因为 1 ACAAA， 所以AB 平面 1 A AC. 因为 1 AC 平面 1 A AC，所以 1 ABAC. .4 分 （）由（）可知AB，AC， 1 AA两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系Axyz 因为 1 1AAABAC， 所以(0 0 0)A ， ，(10 0)B ， ，(010)C ， ， 1(0 01) A， ，. 因为 1 AA 平面ABC， 所以 1 (0 0 1)AA , ,即为平面ABC的一个法向量. 设平面 1 A BC的一个法向量为()x y z, ,n， 1 (1 01)AB , ,， 1 (0 11)AC ,， 则 1 1 0 0. AB AC ,n
16、 n 即 0 0. xz yz , 令1z ，则11xy,. 于是(1 1 1), ,n. 所以 1 1 1 3 cos 3 AA AA AA , n n n . 由题知二面角 1 ABCA为锐角，所以其余弦值为 3 3 . .10 分 （）假设棱 11 A B上存在点()N x y z, ,，使得HN平面 1 ABC. 8 由 111(0 1)A NAB，又 11 (1 0 0)AB , ,，故 1 (0)0A N, ,. 因为 1(0 11) C， ，H为 1 CC的中点，所以 1 (0 1) 2 H， ，. 所以 11 1 (1) 2 HNHAA N,- ,. 若HN平面 1 A BC，
17、则 1 10 2 HN- +n，解得 1 0 1 2 ,. 又因为HN 平面 1 A BC. 所以在棱 11 A B上存在点N，使得HN平面 1 A BC，且 1 11 1 2 A N A B . .14分 19 （本小题共 （本小题共 13 分）分） 解： （）记“该小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨”为事件A. 由题意，有 B，C 两个小区 12 月份的可回收物中废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨， 所以 2 ( ) 5 P A . .4 分 （）因为回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸， 所以 12 月份投放的废纸可
18、再造好纸超过 4 吨的小区有 B，C，共 2 个小区. X的所有可能取值为 0，1，2. 2 3 2 5 3 (0) 10 C P X C ； 11 32 2 5 63 (1) 105 CC P X C ； 2 2 2 5 1 (2) 10 C P X C . 所以X的分布列为: X 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 3314 ()012 105105 E X .13 分 9 20.（本小题共（本小题共 13 分）分） 解：解： （）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切， 所以半径b等于原点到直线的距离d， 006 1 1 bd ，即3b. 由离心率 1 2
19、e ，可知 1 2 c a ，且 222 abc，得2a . 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy . .4 分 （）由椭圆C的方程可知(2 0)S,. 若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x ， 所以 33 (1)(1) 22 PQ, ,. 则直线PS的方程为3 260xy ，直线QS的方程为3 260xy . 令4x，得(4 3)A ,-，(4 3)B,. 所以AB，两点的纵坐标之积为9. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为)0)(1(kxky, 由 22 (1) 34120 yk x xy 得 2222 (34)84120kxk xk， 依题意0恒成立. 设 112212 ()()
20、(0)P x yQ x yx x ,， 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk ,. 设(4) A Ay,(4) B By,， 由题意PSA， ，三点共线可知 1 1 422 A yy x ， 所以点A的纵坐标为 1 1 2 2 A y y x . 同理得点B的纵坐标为 2 2 2 2 B y y x . 所以 12 12 22 22 AB yy y y xx . 10 2 1212 1212 222 2 222 2 2 ()1 4 2()4 412843 4 4122 84(43) 9 4 4 9 x xxx k x xxx kkk k kkk k k 综上，A
21、B，两点的纵坐标之积为定值. .13 分 21 （本小题共 （本小题共 14 分）分） 解：解： （）当1a 时，因为 32 1 ( ) 3 f xxxx 所以 2 ( )21fxxx，(0)1 f . 又因为(0)0f， 所以曲线( )yf x在点(0(0)f,处的切线方程为yx. .4 分 （）因为 32 1(1) ( ) 32 a f xxxax ， 所以 2 ( )(1)0fxxaxa. 令( )0fx，解得xa或1x . 若1a ，当( )0fx即1x 或xa时，函数( )f x单调递增； 当( )0fx即1xa时，函数( )f x单调递减. 若1a ，则 22 ( )21(1)0f
22、xxxx ， 当且仅当1x 时取等号，函数( )f x是增函数. 若1a ，当( )0fx即xa或1x 时，函数( )f x单调递增. 当( )0fx即1ax时，函数( )f x单调递减. 综上，1a 时，函数( )f x单调递增区间为(1) ()a, , ,+，单调递减区间为(1)a,； 1a 时，函数( )f x单调递增区间为() ,； 1a 时，函数( )f x单调递增区间为() (1)a, , ,+，单调递减区间为(1)a,. .9 分 11 （） 令 2 ( )(1)0fxxaxa，解得xa或1x . 当0a 时，随x变化，( )( )fxf x, 变化情况如下表： 由表可知(0)(
23、1)ff，此时 2 (2)(1) 3 ff ，不符合题意. 当01a时，随x变化，( )( )fxf x, 变化情况如下表： 由表可得 32 11112 (0)0( )(1)(2) 62263 ff aaafaf , ， 且(0)( )ff a，(1)(2)ff， 所以只需 ( )(2) (1)(0) f af ff ， ， 即 32 112 623 11 0. 26 aa a ， 解得 1 1 3 a. 当1a 时， 2 ( )21(1)0fxxxx 在(0 2),恒成立，符合题意. 当12a时， 只需 (1)(2) ( )(0) ff f af ， ， 即 32 112 263 11 0.
24、 62 a aa ， 解得 5 1 3 a. 当2a 时，(1)(2)ff，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是 1 5 3 3 ,. .14 分 12 22 （本小题共 13 分） 解:（）当2n 时，4 个整点分别为(1 1) (1 2) (2 1) (2 2), , , , , , ,. 所以 12 xx的所有可能值2 3 4, ,. .3 分 （） （i）假设不存在互不相同的四个整点 11112222 () () () ()x yx yx yx y,， 满足 112212 yy yyyy,. 即在直线 * (1,)Nyiin i 中至多有一条直线上取多于 1 个整点，其余每条直线上至
25、多取一 个整点， 此时符合条件的整点个数最多为121nnn . 而 5 211 2 nn ， 与已知 5 1 2 mn矛盾. 故存在互不相同的四个整点 11112222 () () () ()x yx yx yx y,，满足 112212 yy yyyy,. （ii）设直线 * (1,)Nyiin i 上有 i a个选定的点. 若2 i a ，设yi上的这 i a个选定的点的横坐标为 12 i a xxx， ， ，且满足 12 i a xxx. 由 12132324341 ii aa xxxxxxxxxxxx ， 知 12 i a xxx， ， ，中任意不同两项之和至少有23 i a 个不同的值，这对于2 i a 也成立. 由于1,2,3,n中任意不同两项之和的不同的值恰有23n 个， 而 1 232352323 n i i amnnnn , 可知存在四个不同的点 11112222 () () () ()x yx yx yx y,， 满足 112212 xxxx yy,. 21 yy .13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
