1、第24章 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件24.1 测 量1.能够借助刻度尺等工具进行测量；（重点）2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度；(重点)3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点）学习目标 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题你能设计出一种测量的方案吗？导入新课导入新课观察与思考要求：（1）画出测量图形；（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量 的数据)；（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.讲授新课讲授新课用不同的方案
2、进行测量旗杆影长ABCDEFDFBCEDAB标杆影长影长法比例式:人平面镜ABAECDCE平面镜法比例式:ABCDEFGHGEGFAEHF标杆法人标杆比例式:AB=AE+EBDABE1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角BAC=34；C2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3.量出测倾器的高度AD=1.5米.34你能利用你能利用这些数据这些数据算出旗杆算出旗杆的高度吗？的高度吗？测倾器法DABE1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角BAC=34；C2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3.量出测倾器的高度AD=1.5米.34BCABCACB CA C (精确到0.1米)
3、你知道计算的方法吗？DABE 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系C 我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？34本章主要探究的内容就是直角三角形中的边角关系当堂练习当堂练习（朝阳中考）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；测得DE的长就是河宽AB请你证明他们做法的正确性
4、 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性【解答】证明：如图，由做法知：在RtABC和RtEDC中，RtABC RtEDC（ASA），AB=ED，即他们的做法是正确的090,ABCEDCBCDCACBECD 课堂小结课堂小结利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例.利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等.24.2 直角三角形的性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第24章 解直角三角形1.理解直角三角形及在实际生活中的
5、应用；（重点）2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会 探究过程中的乐趣.（难点）学习目标问题1 什么是直角三角形？有一个内角是的三角形叫直角三角形 直角三角形可表示为：RtABCACB斜边直角边直角边想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？导入新课导入新课观察与思考（1）直角三角形的两个锐角_；互余（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和_斜边的 平方.等于下面我们探索直角三角形的其他性质问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？1.在RtABC中，两锐角的和AB=？AB=902.在ABC中，如果AB=90，那么ABC是直角三角形吗？是3.在RtAB
6、C中，AB、AC、BC之间 有什么关系？AB2=AC2+BC2ABC讲授新课讲授新课直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一问题引导任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？我们来验证一下！ABCD探究归纳直角三角形的性质之一在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言表述为：在RtABC中CD是斜边AB上的中线,CDADBD AB.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)CBAD12ABCD【证明】思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.E CD
7、是斜边AB的中线，AD=BD.又 DE=CD，四边形ACBE是平行四边形.又ACB=90，ACBE是矩形，CE=AB.如图，在RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.12ABCECD2121C CB BD D练一练例 RtABC中，ACB=90 ，A=30，求证：BC=AB.证明：作斜边上的中线CD，则CD=AD=BD=AB（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）A=30 B=60 CDB是等边三角形，BC=BD=AB121212CBAD直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半二1.如图，在ABC中，若BAC=120，AB=AC,ADAC于点A，BD=
8、3，则BC=_.D C A B9当堂练习当堂练习2.如图，C=90，B=15，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为_.E D C A B8cm3.如图，在ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试说明：MNDE.解：连结EM、DM.BD、CE是高，M是BC中点，在RtBCE和RtBCD中，EM=DM.又N是ED的中点，MNEDNMDEBCA，BC21DMBC21EM=性质1直角三角形两个锐角互余性质2直角三角形的勾股定理性质3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质4直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半课堂小结课堂小结24.3 锐角三角
9、函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第1课时 锐角三角函数1.理解锐角三角函数的定义；（重点）2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点）学习目标1.在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，AC=_.2.在RtABC中，C=90，A=30，AB=10cm,则BC=，理由是 .导入新课导入新课回顾与思考8530所对直角边是斜边的一半任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系能解释一下吗？ABBCBACBABCABC讲授新课讲授新课锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABCBCABBC
10、A BBACBABBC 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值 如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA 即caAA斜边的对边sin例如，当A30时，我们有2130sinsinA当A45时，我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c引出定义：如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？B对边aAC邻边b斜边c探究归纳任意画RtABC 和RtABC，
11、使得CC90，BB，那么 与 有什么关系能解释一下吗？ABCABCABACACA B 在图中，由于CC90，BB，所以RtABCRtABCBAABCBBCBACBABBC 这就是说，在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，B的对边与斜边的比也是一个固定值 当锐角B的大小确定时，B的邻边与斜边的比也是固定的，我们把B的邻边与斜边的比叫做B的余弦（cosine），记作cosB，即cosBaBc的邻边斜边引出定义：归纳1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与A
12、的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt ABC中，C90，正弦余弦sinAaAc的对边=斜边cosAbAc的邻边=斜边1cossin222222222cccbacbcaAA 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？探究归纳 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值.BC BCACAC所以如图，RtABC和RtABC，C=C=90，A=A=，问：有什么关系？由于C=C=90，A=A=，所以RtABC RtABCACBCACBC与即ACBCACBC如图,在Rt ABC中，C90，我们把锐角A的对边与邻边的比
13、叫做A的 正切，记作 tanA.一个角的正切表示定值、比值、正值.baAAA的邻边的对边tan,.AaBbCc的对边记作的对边记作的对边记作归纳ABC 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1.延伸1.如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得.DCBA解：在RtABC中，sinACBAB在RtBCD中，sinCDBBC因为B=ACD，所以sinsinADBACDAC 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正
14、弦值.当堂练习当堂练习 2.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：ABBCA sin63sin105BCAAB又86102222BCABAC,54cosABACA3tan4BCAACABC6103.如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值1517解：15cos17ACAAB88sin,1717BCkAABk88tan1515BCkAACkABC设AC=15k，则AB=17k所以2222(17)(15)8BCABACkkk4.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.完成下列填空.ABCD(1)tanA=AC()CD()(
15、2)tanB=BC()CD()BCADBDAC5.如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求：sinA、cosB的值43ABC8解：3tan4BCAAC8AC 338644BCAC 63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB在RtABC中=ab的邻边的对边AAtanA=课堂小结课堂小结sinAaAc的 对 边=斜 边cosAbAc的 邻 边=斜 边定义中应该注意的几个问题:1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA、
16、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.24.3 锐角三角函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第2课时 特殊角的三角函数值1.掌握特殊锐角的三角函数值；（重点）2.掌握30，45，60角的三角函数值的推导过程并会计 算.（难点）学习目标1.在RtABC中，C=90，cosA=,BC=8，则AB=_，AC=_，sinB=_，ABC的周长是_.2.在RtABC中，C=90，B=45，则A=_，设AB=k，则AC=_，BC=_，sinB=sin45=_，cosB=cos45=_，tanB=tan45=_.53导入新课导入新课回顾与思考1065324452
17、2k22k22221两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值30604545讲授新课讲授新课特殊角的三角函数一设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长2223aaa1sin3022aa33cos3022aa3tan3033aa3033sin6022aa1cos6022aa3tan603aa设两条直角边长为a，则斜边长222aaa2cos4522aatan451aa2sin4522aa604530、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：1222322212332331归纳：1.求下列各式的值：（1）cos26
18、0sin260（2）45tan45sin45cos解：（1）cos260sin260222321145tan45sin45cos（2）122220特殊三角函数值的运用三 2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30，并已知目高为1.65米然后他很快就算出旗杆的高度了.1.65米10米?30 你想知道小明怎样算出的吗？1.如图，在ABC中，A=30，求AB.3tan,2 3,2BACABCD解：过点C作CDAB于点DA=30，2 3AC 1sin2CDAAC12 332CD3cos2ADAAC32 332AD3tan2CD
19、BBD2323BD325ABADBD当堂练习当堂练习2.求下列各式的值：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）30tan160sin160cos解：（1）12 sin30cos30131 222 312（2）3tan30tan45+2sin603331232 313 2 31cos601(3)1 sin60tan301123312323323.在RtABC中，C90，求A、B的度数21,7ACBCBAC721解：由勾股定理71sin22 7BCAAB2222217282 7ABACBC A=30B=90 A=9030=6030、45、60角的正弦值、余
20、弦值和正切值如下表：1222322212332331对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；（为锐角）对于cos，角度越大，函数值越小.课堂小结课堂小结24.3 锐角三角函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第3课时 用计算器求锐角三角函数值1.会用计算器求锐角三角函数值；（重点）2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点）学习目标1.同学们,前面我们学习了特殊角304560的三角函数值,一些非特殊角(如175689等)的三角函数值又怎么求呢?导入新课导入新课回顾与思考 20mtantan42DCEBACADC,DC 解：由已知得，,42tanDCACA1.6
21、mDBE20m42C2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？.6.142tan20CBACAB这里的tan42是多少呢？1.求sin18第一步：按计算器 键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18=0.309 016 994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）讲授新课讲授新课用计算器求锐角三角函数值一tan第一步：按计算器 键，2.求 tan3036.第二步：输入角度值30，分值36（可以使用 键），屏幕显示答案：0.591 398 351第一种方
22、法：第二种方法：tan第一步：按计算器 键，第二步：输入角度值30.6（因为303630.6）屏幕显示答案：0.591 398 351 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角根据三角函数值求锐角度数二 例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还可以接着按 键，进一步得到A3078.97 第一步：按计算器 键，SHIFTsin第二步：然后输入函数值0.501 8屏幕显示答案：30.119 158 67（按实际需要进行精确）典例精析1用计算器求下列锐角三角函数值；（1）sin20=，cos70=；（2）tan38 =，tan802543=sin35=
23、，cos55=；sin1532 =，cos7428 =分析第1（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？拓广探索正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）归纳：1.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.6275，sinB0.0547；（2）cosA0.6252，cosB0.1659；（3）tanA4.8425，tanB0.8816.当堂练习当堂练习A=385157.3，B=388.32 A=511811.27，B=80271.72 A=781955.74，B
24、=412357.84 A2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75tan48tan15 B.tan75tan48tan15C.cos75cos48cos15 D.sin75sin48sin151.我们可以用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.课堂小结课堂小结24.4 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第1课时 解直角三角形及其简单应用1.会运用勾股定理解直角三角形；（重
25、点）2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形；（重点）3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）学习目标BACcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290acbcab导入新课导入新课观察与思考比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在RtABC中，C90，BC5.2m，AB54.5m.0
26、954.05.542.5sinABBCA所以A528 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角你愿意试着计算一下吗？ABCABC讲授新课讲授新课已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50a75.现有一个长6m的梯子，问：（1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1）？这时人是否能够安全使用这个梯子？（2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在RtABC中，已知AC2.
27、4，斜边AB6，求锐角a的度数由于4.064.2cosABACa利用计算器求得a66 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66.由506675可知，这时使用这个梯子是安全的ABC在图中的RtABC中，（1）根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？sinsin6 sin75BCABCABAABcoscos6 cos75ACAACABAAB9090907515.ABBAABC6=75已知一边和一锐角解直角三角形二在图中的RtABC中，（2）根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？222222262.45.5ABACBCBCABAC2
28、.4coscos0.4666ACAAAAB 9090906624 ABBAABC62.4由 得问题（2）可以归结为：在Rt ABC中，已知A75，斜边AB6，求A的对边BC的长 问题（2）当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8mABBCA sin75sin6sinAABBC所以 BC60.975.8由计算器求得 sin750.97ABC事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素ABab
29、cC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程1.如图，在RtABC中，C90，,解这个直角三角形.6,2BCAC解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26当堂练习当堂练习2.如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD DABC64 3解：63cos24 3ACCADAD30CAD因为AD平分BAC60,30CABB 12,6 3ABBC3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;解：根据勾股定理2222302010 13cab303tan1.5202aAb56.3A
30、909056.333.7BAABCb=20a=30c 在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(2)B72，c=14.ABCbac=14解：sinbBcsin14 sin7213.3bcB907218AcosaBccos14 cos724.33acB4.如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如图所示，依题意可知，当B=60时，答：梯子的长至少3.5米CAB（2）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边
31、cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系 222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：课堂小结课堂小结1数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.2方程思想.3转化（化归）思想.24.4 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第2课时 仰角、俯角问题1.了解仰角、俯角的概念；（重点）2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）学习目标问题1 在三角形中共有几个元素？问题2 解直角三角形的应用问题的
32、思路是怎样？导入新课导入新课观察与思考 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60 RtABD中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角讲授新课讲授新课仰角、俯角问题解：如图，a=30,=60，AD120tantanBDCD,ADADtan120 tan30BDAD3403312060tan
33、120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1mABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90BC=DC=40m在RtACD中tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2所以AB=ACBC=55.240=15.2答：旗杆的高度为15.2m.练一练1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45
34、，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100当堂练习当堂练习20 3图1图2BCBC解：依题意可知，在RtADC中所以树高为19.2+1.7220.9(米)3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.1米）.ADBECtantan52151 280 1519 2ADACD CD.米4.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于
35、（根号保留）5.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）100 13米图3图4cm222铅直线水平线视线视线仰角俯角1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.课堂小结课堂小结3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决.2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理.24.4 解直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（HS）教学课件第3课时 坡度问题1.了解坡度的概念
36、；（重点）2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）学习目标在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系:tanAabsinAaccosAbc(必有一边)abc别忽略我哦！导入新课导入新课回顾与思考水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，则斜坡CD的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52363:1i 讲授新课讲授新课
37、坡度问题lhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1 m的形式，如i=1 6.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即 i=hl3.坡度与坡角的关系tanhli坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45，则坡比是 _.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.3:1lh301：13:1练一练例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1 3，斜坡CD的坡度i=1 2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD
38、的坡角（精确到 1）.EFADBCi=1:2.52361 3i:分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；典例精析 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt ABE和Rt CDF.解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F,由题意可知EFADBCi=1:2.52361:3i BE=CF=23m，EF=BC=6m.在RtABE中13BEAEi 33 2369mAEBE 在Rt
39、DCF中，同理可得2.52.5 2357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在RtABE中，由勾股定理可得2222692372.7mABAEBE(2)斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得22 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.12.5CFFDi 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解：（1）在RtAFB中，AFB=901
40、tan1.5AFiBF 33.7 在RtCDE中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4探究归纳完成第（2）题与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hl 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是
41、得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分
42、别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1,米,）.45304米12米ABCEFD414.12,732.13当堂练习当堂练习解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米），CDEF12（米）在RtADE中，在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米）答：路基下底的宽约为22.93米 45tan4AEAEDEi)(445tan4米米 AE)(93.630tan4米米 BF45304米12米ABCEFD2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角ABC74，坝顶到坝脚的距离AB6 m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)解析 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案课堂小结课堂小结
