1、解三角形解三角形第一章第一章1.2应用举例应用举例第一章第一章第第1课时距离问题课时距离问题课堂典例讲练课堂典例讲练2易错疑难辨析易错疑难辨析3课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习 碧波万顷的大海上，碧波万顷的大海上，“蓝天号蓝天号”渔轮在渔轮在A处处进行海上作业，进行海上作业，“白云号白云号”货轮在货轮在“蓝天号蓝天号”正南方向距正南方向距“蓝天号蓝天号”20n mile的的B处现处现在在“白云号白云号”以以10n mile/h的速度向正北方的速度向正北方向行驶，而向行驶，而“蓝天号蓝天号”同时以同时以8n mile/h的速的速度由度由A处向南偏西处向南
2、偏西60方向行驶，经过多少方向行驶，经过多少小时后，小时后，“蓝天号蓝天号”和和“白云号白云号”两船相距两船相距最近？本节将用正、余弦定理解决此类问最近？本节将用正、余弦定理解决此类问题题 1测量从一个可到达的点到一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题个不可到达的点之间的距离问题这实际上是已知三角形两个角和这实际上是已知三角形两个角和一条边解三角形的问题，用一条边解三角形的问题，用_可解决问题可解决问题正弦定理 余弦定理 3方位角方位角 从指北方向从指北方向_时针转到目标方向的水时针转到目标方向的水平角如图平角如图(1)所示所示顺 4方向角方向角 相对于某一正方向相对于某一正方
3、向(东、西、南、北东、西、南、北)的水平的水平角角 北偏东北偏东，即由指北方向顺时针旋转，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向，如图到达目标方向，如图(2)所示所示 北偏西北偏西，即是由指北方向逆时针旋转，即是由指北方向逆时针旋转到达目标方向到达目标方向 其他方向角类似其他方向角类似 5在测量上，我们根据测量的需要适当确定在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线越的线段叫做基线一般来说，基线越_，测量的精确度越高，测量的精确度越高长 1如图所示，在河岸如图所示，在河岸AC测量河的宽度测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是测量下列四组数据，较适宜的是()Aa和和c
4、Bc和和b Cc和和 Db和和 答案答案D 解析解析在在ABC中，能够测量到的边和角中，能够测量到的边和角分别为分别为b和和.2如图所示，为了测量隧道口如图所示，为了测量隧道口AB的长度，的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据给定下列四组数据，测量时应当用数据()A，a，bB，a Ca，b，D，b 答案答案C 3.如图所示，客轮以速率如图所示，客轮以速率2v由由A至至B再到再到C匀匀速航行，货轮从速航行，货轮从AC的中点的中点D出发，以速率出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知ABBC，且，且ABBC50 n mile，若两船，若两船同时出发
5、，则两船相遇之处同时出发，则两船相遇之处M距距C点点_ n mile.4在相距在相距2 km的的A、B两点处测量目标点两点处测量目标点C，若若CAB75，CBA60，则，则A、C两点之间的距离为两点之间的距离为_ km.5如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取选取A和和D两个测量点，测得两个测量点，测得ADCD，AD5 km，AB7 km，BDA60，BCD135.求两景点求两景点B与与C的距离的距离(假假设设A、B、C、D在同一平面内在同一平面内)课堂典例讲练课堂典例讲练如图，如
6、图，ACD是等边三角形，是等边三角形，ABC是是等腰直角三角形，等腰直角三角形，ACB90，BD交交AC于于E，AB2.(1)求求cosCBE的值；的值；(2)求求AE.分析分析由三角形的性质可求出由三角形的性质可求出CBE的度的度数，从而可解出数，从而可解出cosCBE的值；求的值；求AE，可，可在在ABE中利用正弦定理求得中利用正弦定理求得 可到达的两点的距离问题可到达的两点的距离问题 分析分析此题是测量计算河对岸两点间的距此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便点应注意依次解哪几个三角形
7、才较为简便 正、余弦定理在生产、生活中不正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距中的应用易到达点测距中的应用 点评点评(1)求解三角形中的基本元素，应由求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是求解，如本题选择的是BCD和和ABC(2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中法的原理，其中AB可视为基线可视为基线(3)在测量上，我们根据测量需要适当确定的在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段
8、叫做基线，如本例的线段叫做基线，如本例的CD在测量过程中，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高测量的精确度越高 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点点A、B，望对岸的标记物，望对岸的标记物C，测得，测得CAB45，CBA75，AB120 m，求河，求河的宽度的宽度如图所示，海中小岛如图所示，海中小岛A周围周围38 n mile内有暗内有暗礁，一船正向南航行，礁，一船正向南航行，在在B处测得小岛处测得小岛A在船
9、的在船的南偏东南偏东30，航行，航行30 n mile后，在后，在C处测得小岛处测得小岛在船的南偏东在船的南偏东45，如，如果此船不改变航向，继果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁续向南航行，有无触礁的危险？的危险？正、余弦定理在航海测量上的正、余弦定理在航海测量上的应用应用 分析分析船继续向南航行，有无触礁的危险，船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于取决于A到直线到直线BC的距离与的距离与38 n mile的大小，的大小，于是我们只要先求出于是我们只要先求出AC或或AB的大小，再计的大小，再计算出算出A到到BC的距离，将它与的距离，将它与38 n mile比较大比较大小即可小即可 如图
10、所示，如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警是海面上一条南北方向的海防警戒线，在戒线，在a上点上点A处有一个水声监测点，另两处有一个水声监测点，另两个监测点个监测点B、C分别在分别在A的正东方的正东方20 km处和处和54 km处某时刻，监测点处某时刻，监测点B收到发自静止目收到发自静止目标标P的一个声波，的一个声波，8 s后监测点后监测点A、20 s后监后监测点测点C相继收到这一信号在当时的气象条相继收到这一信号在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设设A到到P的距离为的距离为x km，用，用x表示表示B、C到到P的距离，并求的距离，
11、并求x的值；的值；(2)求静止目标求静止目标P到海防警戒线到海防警戒线a的距离的距离(结结果精确到果精确到0.01 km)分析分析(1)PA、PB、PC长度之间的关系可长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来以通过收到信号的先后时间建立起来(2)作作PDa，垂足为，垂足为D，要求，要求PD的长，只需的长，只需要求出要求出PA的长和的长和cosAPD，即，即cosPAB的值由题意，的值由题意，PAPB，PCPB都是定值，都是定值，因此，只需要分别在因此，只需要分别在PAB和和PAC中，求中，求出出cosPAB，cosPAC的表达式，建立方的表达式，建立方程即可程即可易错疑难辨析易错疑难辨
12、析某观测站某观测站C在城在城A的南偏西的南偏西20的方向，的方向，由城由城A出发的一条公路，走向是南偏东出发的一条公路，走向是南偏东40，在在C处测得公路上处测得公路上B处有一人，距处有一人，距C为为31 km，正沿公路向正沿公路向A城走去，走了城走去，走了20 km后到达后到达D处，处，此时此时CD间的距离为间的距离为21 km，问：这人还要走，问：这人还要走多少多少km才能到达才能到达A城？城？错解错解本题为解斜三角形的应用问题，要本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达求这人走多少路才可到达A城，即求城，即求AD的长，的长，在在ACD中，已知中，已知CD21 km，CAD60，只需再求出一个量即可，只需再求出一个量即可 辨析辨析本题在解本题在解ACD时，利用余弦定理时，利用余弦定理求求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解，产生了增解，应用正弦定理来求解课课 时时 作作 业业（点此链接）（点此链接）
