1、第八章第八章数学建模活动数学建模活动(一一)数学文化了解数学文化的发展与应用1.数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.2.我
2、们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程.读图探新发现现象背后的知识问题：数学建模活动研究报告的参考形式是什么呢？链接：1.课题名称.2.课题组成员及分工.3.选题的意义.4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等).5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等).6.研究结果.7.收获与体会.8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写).1走近数学建模走近数学建模2数学建模的主要步骤数学建模的主要步骤新知探究牛顿(164217
3、27)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠.然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说.那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园时，坐在一棵树下，开始埋头读他的书.正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上.这位青年不是别人，正是时年23岁的牛顿.据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么
4、力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律.问题1你认为牛顿是由“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？问题2你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？提示树上掉下苹果也许的确给了牛顿某种启示，但万有引力的诞生绝非如此简单，事实上它是几代人努力的结果.即使不把哥白尼的工作计算在内，若没有开普勒的三大定律，牛顿也无法着手，不可能得出万有引力、分析万有引力的导出过程，可以看出数学建模在发现问题、研究问题并解决问题中的作
5、用.1.数学建模的概念数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.2.数学建模的一般步骤如下(1)提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象，明确地提出问题.(2)建立模型在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设.建模的重要环节为假设.在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反
6、映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型.(3)求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解.(4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况，就要重新建模.数学建模的过程可用如图的框图表示.【例1】提出问题在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？建立模型此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.(1)每条线路都有往返双向线；(2)设4条路分别为A，B，C，D；(3)以A为起始，如允许原路调头，则有A
7、A，AB，AC，AD，如不允许原路调头，则有AB，AC，AD.求解模型第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.如允许原路调头：则N4416(种)可能；如不允许原路调头：则N4312(种)可能.检验结果如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.【例2】提出问题两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？建立模型设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时)，则有yl3x；点
8、燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R3r.检验结果为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.【例3】提出问题李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.建立模型设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，zN，然后解不定方程组.【例4】提出问题一副扑克牌有54张，从中任取多少张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的？建立模型(1)一副
9、扑克共54张牌，除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下，只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那问题来了，运气最不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？(2)假定至少要取N张扑克牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).求解模型在运气最不好的情况下，每种花色各有4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.所以N442119.检验结果即从54张扑克牌中任取19张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题，可以使解题思路清晰、便捷.【例5】提出问题甲、乙两人去
10、沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)建立模型要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？经过商议让甲走得更远(最远走42080(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.第1天甲20千米处吃1份，第2天走
11、到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.求解模型所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.检验结果从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米吗？3数学建模活动的主要过程数学建模活动的主要过程新知探究数学建模是对
12、现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程，也是推动数学发展的动力.数学建模研究过程包括选题(选择研究问题)、开题(报告研究问题的数学表达，拟解决问题的思路计划，预期结果等)、做题(包括建立模型、求解模型、得到结论等)、结题(报告研究过程和研究结果等)四个环节.问题谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的？提示数学建模的几个过程：(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息.用数学语言来描述问题.(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立：在假
13、设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构(尽量用简单的数学工具).(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计).(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型和实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程.1.课题研究的过程主要包括：选题、开题、做题、结题四个环节.2.选题的概念及相关问题(1)概念：“选题”就是选定研究的问题.(2)要选有一定的研究价值，并且是你有能力研究
14、并解决的问题.(3)选题来源：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题；研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题；关注一些现实问题、热点问题、身边问题，用数学的眼光观察世界，发现研究新问题.3.开题的概念及相关问题(1)开题的概念：“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.(2)开题主要做的工作：明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；完成开题报告.(3)一般的开题形式是开题讨论会，重点做以下两件事：第一，提交开题报告并在会上介绍，重点讲述：研究的问题是什么，选择此问题的原因及意义，建模问题的可
15、行性分析，预期研究成果，研究和解决问题的大体思路、方法与步骤，可能遇到的困难和对策.第二，参会人员对开题报告进行讨论，中肯地提出意见和建议，共同完善研究设计，可以写出相应的开题报告表.4.做题的概念及相关问题(1)做题的概念：“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.(2)在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题：建立恰当的数学模型建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时，可以用不同的数学形式，建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多，这样的模型需要完善和改进，或者完全放弃这个模型
16、.获取客观真实的数据当弄清楚与问题相关的影响因素之后，需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或实验.5.结题的概念及相关问题“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲，结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后，要写出报告.报告可以写成论文形式，也可以写成研究报告表的形式.【例1】刚泡好的茶水放置多长时间才达到最佳口感的数学建模选题观察实际情景，发现和提出问题中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 的水泡制，再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口感.那么在25 室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长
17、时间才能达到最佳饮用口感？开题显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型.(1)收集数据我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据.例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据.表1(2)分析数据茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型.为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.时间/min012345水温/85.0079.1974.7571.1968
18、.1965.10设茶水温度从85 开始，经过x min后的温度为y.根据表1，画散点图(图1).图1观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数ykax25(kR，0a1，x0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律.做题根据实际情况可知，当x0时，y85，可得k60.为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y25)的值与上一分(y25)值的比值，列出表2.表2x012345y2560.0054.1949.7546.1943.1940.10比值0.903 20.918 10.928 40.935 10.928 5结题检验模型将已知数据代入
19、式，或画出函数的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.图2【例2】关于外卖垃圾问题的分析与解决的数学建模选题餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海
20、洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.开题从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.
21、因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区约方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果商品类型饭类面类汉堡烤肉饺子菜类饮料汤类数量34 25812 4096 41611 4202 99631 84110 5887 647占比29.23%10.59%5.47%
22、9.74%2.56%27.16%9.03%6.52%根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：网站ele.me理论单月垃圾产生量根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量113 496195 355111 2541 26872 010占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%线上外卖网站理论单月垃圾产生量根据以上的数据我们可以清楚地看到：饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.在这些外
23、卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.垃圾种类 一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量302 656520 947296 6773 381192 027占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比质量(kg)未处理(kg)填埋(kg)焚烧(kg)回收(kg)12 077.208 5326.084 629 59 988.455 29940.089 909 6822.578 670 9根据我们在网络上了解的知识：大部分的塑料都是以填埋的方式处理；筷子、包装
24、纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸质量(kg)1 513.281 041.898 900.3145.64576.08未处理(kg)75.66104.19445.029.5923.04填埋(kg)75.66771.007 743.274.1134.56焚烧(kg)15.13125.03356.010.4651.85回收(kg)1 346.8241.68356.0131.49466.63做题改变填埋场形状以降低污染1.问题分析填埋作为重要的处理方式，
25、可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样.所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.2.模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形.如图：(周围为污染区)设长为a，宽为b，
26、对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么Sab2ac2bcc2ab2c(ab)c2(1)圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.(2)正三角形因此S圆形污染面积S三角形污染面积，所以圆形更好.综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案.因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积.模型优化成立.结题1.模型优点：A.该模型可以有效的减少土地污染体积；B.该模型不需要耗费大量的人力物力.2.模型缺点：A.该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；B.该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场.3.
27、我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.2.模型假设设如下变量：商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面
28、积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.3.研究的大体思路、方法与步骤(1)分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素.(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.4.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.做题1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本生产成本包装成本其他成本，故CC1C2C3，生产成本与重量W成正比，设C1k1W(k1为大
29、于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1即圆柱体侧面积.设此圆柱体的半径为R，高为L，S12RL，2.模型解释cW的简图如图所示：由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.结题对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的
30、包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。如何学好中学数学？2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知
31、条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。
