1、(完整版)三阶幻方1幻方的定义幻方的定义幻方：幻方：一般地，一般地，把把n n2 2个不同数字个不同数字依次填入由依次填入由n nn n个小方格构成的个小方格构成的正方形中。正方形中。使得横行、直使得横行、直纵列以及两对纵列以及两对角线数字之和角线数字之和都相等。都相等。这样的一个图叫这样的一个图叫做一个（做一个（n n阶）幻阶）幻方。方。各直线上各各直线上各数字之和叫数字之和叫幻和。幻和。幻方的历史幻方的历史 相传在公元前相传在公元前2323世纪大世纪大禹治水的时候，在黄河支禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个大流洛水中，浮现出一个大乌龟乌龟，人们将乌甲上背有人们将乌甲上背有9 9种花
2、点的图案图案中的花种花点的图案图案中的花点数了一下点数了一下 竟竟惊奇地发现惊奇地发现9 9种花点数正巧种花点数正巧是是1919这这9 9个数，各数位置的排个数，各数位置的排列也相当奇妙，后来人们就称列也相当奇妙，后来人们就称这个图案为洛书这个图案为洛书 我国汉朝的一本叫我国汉朝的一本叫数术记遗的书把数术记遗的书把这样的图形叫这样的图形叫“九宫九宫图图”，宋朝数学家杨宋朝数学家杨辉把类似辉把类似“九宫图九宫图”的图形的图形叫叫“纵横图纵横图”，国外数学家把它叫做国外数学家把它叫做“幻方幻方”。8 1 63 5 74 9 2幻方有多少3阶幻方只有1种4阶幻方方有880种5阶幻方有27530522
3、4种（约两 亿七千五百万）7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万）8阶幻方超过10亿种分类分类按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方偶阶幻方偶阶幻方 四阶幻方四阶幻方16 2313511 10 897612414 15 1六阶幻方六阶幻方10 1343352829 232211188301217242172261914153531131625206936343227奇阶幻方奇阶幻方 三阶幻方三阶幻方 特点：横的特点：横的3 3行、纵的行、纵的3 3列以及两对角线上各自的数列以及两对角线上各自的数字之和都为字之和都为1515。816357492 五阶幻方五阶幻方 特点
4、：横的特点：横的5 5行、行、纵的纵的5 5列以及两对列以及两对角线上各自的数角线上各自的数字之和都为字之和都为6565。17 23 181522 5714 164613 20 2110 12 19 25 311 18 24 29奇阶幻方的解法奇阶幻方的解法 我国数学家杨辉的我国数学家杨辉的续古摘奇算经续古摘奇算经对于对于3 3阶幻方阶幻方的构造方法是：的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。维挺进。”，具体操作如下图：，具体操作如下图：9423578611427538694 9 27 5 38 1 6 其结果为：其结果为：“戴九履一，左七右三，
5、二四为肩，六戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。八为足。”类似的原理可以构造类似的原理可以构造5阶、阶、7阶、阶、9阶等奇数阶幻方。阶等奇数阶幻方。下图给出了下图给出了5阶幻方的构阶幻方的构造过程造过程。1621173161284211713952218141023191524202525子斜排25242011734128165171392110181422231915621上下对易，左右相更25242011 24 720 34412 25 816 16517513 21 92110 10 18114 22 2223619215621四维挺进11247203412258161751321
6、910181142223619215 MerziracMerzirac法生成奇阶幻方法生成奇阶幻方(阶梯法）阶梯法）在第一行居中的方格内放在第一行居中的方格内放1 1，依次向右上，依次向右上方填入方填入2 2、3 3、44，如果右上方已有数字，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。则向下移一格继续填写。1816357492816357421635742163542135421342132121.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方 24 3 18 9 15 21 12 27 61.请你将311这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。345
7、67891011三阶幻方的性质三三阶阶幻幻方方规律规律1：幻和幻和=中间数中间数3 4 9 2 3 5 7 8 1 6规律规律2:与中间数对应的上下、左右、与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和对角两个数字的和=中间数中间数2 4 9 2 3 5 7 8 1 6三三阶阶幻幻方方 规律规律3：角上的数字：角上的数字=对角相邻对角相邻的两数字和的一半的两数字和的一半 4 9 2 3 5 7 8 16三三阶阶幻幻方方练习练习1：12 11 18 410166517练习练习2：3 17 51015137128例题例题2：3 12 13 108补补全全这这个个幻幻方方5177155267199151
8、37 511184146128102 1284161519 51791201035155251911 21 17132582 1711523在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。那么标有“”的方格内应填入的数是_.68在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和都等于30.58101513712911用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60202423172118221619下图是一个三阶幻方。求“？”是多少131719?8 4 8 4在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和
9、等于2176112103129 7 53 1011 6 三阶质数幻方 下面介绍下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某一个关于质数幻方的故事：有一次某国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资 1350 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了，的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了，国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的人）。数学家胸有成竹地说：人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九如果您再给我九个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由九个质数组成的三阶幻方九个质数组成的三阶幻方。”
