1、第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理知识回顾1.什么叫做线段的垂直平分线？2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线.情景导入如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,到A与B的距离,你有什么发现?获取新知知识点线段垂直平分线的性质1ABlP1P2P31.画出线段AB的中垂线l，垂足为C；在l上任取一点P1，连结P1A、P1B；量一量P1A、P1B的长，你能发现什么？
2、在l上任取一点P2，P2A、P2B的长呢？在l上任取一点P3，P3A、P3B的长呢？2.沿直线l对折线段AB，使端点与端点重合，再次观察上述线段的关系.用对称的知识说明用对称的知识说明.如图,直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求 证：PA=PB.ABPCl用全等的知识进行推理用全等的知识进行推理.证明：l AB，PCA=PCB=90.又 AC=CB,PC=PC，PCA PCB(SAS).PA=PB.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.几何语言：直线l垂直平分AB，点P在直线l上，PA=PB.BAOPMN温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的
3、方法.今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.归纳例1 如图，在ABC中，AC5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，(1)若BCD的周长为 8，求BC的长；(2)若BC4，求BCD的周长分析：由DE是AB的垂直平分线，得ADBD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求BCD的周长 例题讲解解：DE是AB的垂直平分线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为8，BCBCD的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周长BCBDCD549.【名师点睛】本题运用了转化思想，用线
4、段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长本题中AC的长、BC的长及BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个 解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：ADBC，BD=DC，AD 是BC 的垂直平分线，AB=AC 点C 在AE 的垂直平分线上，AB=CE AB=AC=CE BD=DC，AB+BD=CE+DC=DE.变式练习1 如图，ADBC，BD=DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E 变式练习2 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为C
5、D的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可得出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF，再结合（1）即可解答证明：(1)ADBC，ADCECF.E是CD的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段AF的垂直平分线，ABBFBCCF.ADCF，ABBCAD.知识点线段垂直平分线性质定理的应用2例2 已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l
6、上，试确定一点P，使得AP+BP最短.lAB解：作点A关于直线l的对称点A，连接AB,交直线l于点P，则AP+BP最短.APlABAP由作图可知，l是AA的中垂线理由如下：在l上另取一点M，连接MA,MB,MAAP=AP,AM=AM（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）AP+BP=AP+BP=ABAM+BM=AM+BM由“两点之间线段最短”可得ABAM+BM即AP+BP最短M变式练习3 如图，已知牧马人营地在M处，每天牧马人好先赶马群到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的的木马路线？营地M草地河MM（2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同
7、侧为两侧，化折线段为一条直线段；求线段和最短问题的实质：（3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决.（1）若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短；随堂演练1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()AABAD BCA平分BCD CABBD DBECDECC2.如图，线段AC的垂直平分线交线 段AB于点D，A50，则BDC()A50 B100 C120 D130B2.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是()AAMCM BAMCMCAMCM D无法确定B3.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边
8、AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .ABCDE10cm4.如图，在ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则ADE 的周长等于_A B C D E 8cm5.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.BACDAM解：如图，最短路线是A-M-B.6.已知：如图，D、E分别是AB，AC的中点，CDAB于点D，BEAC于点E.求证：AC=ABACBDE证明：如图 连结B，C.AD=BD，CDABAC=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）AE=CE，BEACAB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）AC=AB课堂小结线段垂直平分线的性质内容见垂直平分线，得线段相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等应用
