1、方方 阵阵 njmiaij,2,1;,2,1 nm 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表mnnnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为一个称为一个 行行 列矩阵或列矩阵或 矩阵矩阵.nm mn记为记为 或或ijA;)(nmijaija称为矩阵的第称为矩阵的第i i行行j j列的元素列的元素.元素为实数的称为实矩阵元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵元素为复数的称为复矩阵.元素全为零的元素全为零的 矩阵，记为矩阵，记为:O:O或或m nnm0零矩阵零矩阵:行矩阵行矩阵:只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。12,na aa列矩阵列矩阵:只有一列的矩阵。只有一列的
2、矩阵。nbbb21方阵方阵:行数列数皆相等的矩阵。行数列数皆相等的矩阵。上三角方阵上三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其上方。非零元素只可能在主对角线及其上方。下三角方阵下三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其下方非零元素只可能在主对角线及其下方.对角方阵对角方阵:124aaa数量矩阵数量矩阵:kkkkEn单位方阵单位方阵:主对角线上全为主对角线上全为1 1的对角方阵的对角方阵.同型矩阵同型矩阵:行数和列数均相等的矩阵行数和列数均相等的矩阵.如果两个矩阵如果两个矩阵 是同型矩是同型矩)(),(ijijbBaA阵阵,且各对应元素也相同且各对应元素也相同,即即 ,2,1;,2,1njmibaij
3、ij 则称矩阵则称矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 两个两个 矩阵矩阵 的和的和nm ijijbBaA,矩阵的和矩阵的和:矩阵相等矩阵相等:定义为定义为.)(nmijijbaBA矩阵的数乘矩阵的数乘:定义为定义为).(ijkaAkkA 矩阵矩阵的线性运算的线性运算的运算规律的运算规律:;1ABBA ;2CBACBA ;,04BABAAA ;6lAkAkl ;7lAkAAlk .8kBkABAk ;1 )5(AA AkkAAk或或的的乘乘积积记记做做与与矩矩阵阵数数矩阵相乘矩阵相乘:smijaA )(与与nsijbB )(乘积规定为乘积规定为一个一个 矩阵矩阵nm.)(nmijcC 其中其
4、中sjisjijiijbababac 2211矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB kBABkAABk 3（其中（其中 为数）为数）;4AAEEAnmmnnm n n阶方阵的幂阶方阵的幂:kkAkn若若A A是是 阶矩阵，定义阶矩阵，定义 为为A A的的 次幂次幂,为正整数，为正整数，个个kkAAAA EA 0。规定。规定 即即.kllkAA为正整数lk,易证易证,lklkAAA转置矩阵转置矩阵:把把Am n的行与列依次互换得到另的行与列依次互换得到另矩阵矩阵n m矩阵，称为矩阵，称为一个一个ATA的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作转置矩阵
5、的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTkAkA .4TTTABAB 对称阵对称阵:设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即.AnTAA n,j,iaajiij21 A则则 称为对称阵称为对称阵.称为反对称的称为反对称的则矩阵则矩阵如果如果AAAT 反对称阵反对称阵:伴随方阵伴随方阵:ijaijAaijA 设设是行列式是行列式中元素中元素的代数的代数余子式余子式,称方阵称方阵1121112222*12nnmmnmAAAAAAAAAA*AAAAA AA EA为方阵为方阵 的伴随方阵的伴随方阵.A由由 阶方阵阶方阵 的各元素按原位置排列构成的的各元素按
6、原位置排列构成的nA行列式，叫做方阵行列式，叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或A|A).det(A运算性质运算性质;1TAA ;2AkkAn|;|3BABAAB1212nnA AAA AA)4(.ABnn对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 ,使得使得,EBAAB B则称则称 为可逆矩阵，为可逆矩阵，是是 的逆方阵。的逆方阵。AA定义定义 若方阵若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。可逆，则其逆矩阵必唯一。0A 可逆可逆A相关定理及性质相关定理及性质11AA;111kAAk(0k););，111ABB A11TTAA,;11AA.，则，则0A A*1AAA若若可逆，且
7、可逆，且，其中，其中*AA为为的伴随方阵。的伴随方阵。矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率性质及运算规律，可极大地提高运算效率.)1 0 1(nTTAA求求，设设 例例1 1故有故有，显然显然 :解解2101)1 0 1(TTTTTnTnA )(TTTT)()(.2)(11AnTnT ,1010001011 0 110 1 A因为因为.101
8、0001012 1 nnA所以所以注：对一般的注：对一般的 阶方阵阶方阵 ，我们常常用归纳的方，我们常常用归纳的方法求法求 .nAnA.2 100001010 22004AAA 求求，设设例例2 2，100010001 100001010100001010 2 A因为因为解解:.)(501501420044EEAAEA ，从而，从而故故 10001000121000100012 22004AA所以所以.100030003 例例3 3若若 阶实对称阵阶实对称阵 满足满足 ,证明证明n)(ijaA 02 A0 A证证:为对称阵为对称阵,故有故有 ,因此有因此有AAAT,02 AAAT比较比较 两端
9、的两端的 元素元素),(ii0 TAA.0)(12121 niikiniiiniiaaaaaaa),2,1(ni 由于由于 为实数为实数,故故 即即0 Aika),2,1(0niaik 1.1.利用定义求逆阵利用定义求逆阵利用定义求利用定义求 阶方阵阶方阵 逆阵，即找或猜或凑一逆阵，即找或猜或凑一个个nA 阶方阵阶方阵 ，使，使 或或 ，从而，从而 .nBEAB EBA BA 1，未写出的为未写出的为，)0(011 nnaaaaA.1 A求求例例4 4.1EABBA ，使使即即找找矩矩阵阵求求:分分析析可推测，可推测，由由 1 naaA.111 naaB.1EABAB ，只需验证，只需验证是否
10、为是否为.11 :1 naaB设设解解.11 11 naaBAEAB，故，故因为因为，满满足足且且阶阶方方阵阵为为同同设设ABBAA,B 例例4 4.BAAB 可逆并进一步证明可逆并进一步证明 EA 求证求证，故故因因为为证证BEABABA)(,)()(BEAEEA ,)(EEAEA 从而有从而有故故可可逆逆且且即即 .)(1EBEAEA ),)()(EAEBEBEA ,EBABAEBAAB 即即.BAAB 从从而而2.2.利用伴随矩阵利用伴随矩阵 求逆阵求逆阵 A.01 AbcaddcbaA，求，求，例例5 5.0 :可逆可逆，故，故因为因为解解Aad-bc|A|，从而有，从而有又又*acb
11、dA.11 acbdbcadA注：对注：对2 2阶数字方阵求逆一般阶数字方阵求逆一般,都用都用 来做，既简便又来做，既简便又迅速，但对迅速，但对3 3阶及其以上的数字方阵一般不使用阶及其以上的数字方阵一般不使用 求求其逆阵，因为若用其逆阵，因为若用 去做，计算工作量太大且容易出去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法错，而是利用下章所介绍的初等变换法.A A A3.3.利用分块矩阵求逆阵利用分块矩阵求逆阵.0,0000001111 MaaaaaMnnn，求，求，其中，其中例例6 6,00 :BAMM 分块为分块为将将解解).(11nnaBaaA ，其中其中从而从而 001
12、11ABM.010110011 nnaaa4.4.利用定义证明某一矩阵利用定义证明某一矩阵 为矩阵为矩阵 的逆阵的逆阵BA.1 ABE BAE ABBA，从而证明，从而证明是已知的，只需验证是已知的，只需验证与与分析：这类问题中矩阵分析：这类问题中矩阵或例例7 7)(0，证明，证明为正整数为正整数设设kAk.)(121 kAAAEAE因因为为证证 :)(12 kAAAEAEkkkAAAAAAAE 1212 ,EAEk .)(121 kAAAEAE故故注：注：1.1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：内容，主要包括：证明矩阵证明矩阵 可逆；可
13、逆；求逆阵；求逆阵；证明矩阵证明矩阵 是矩是矩AB2.证明矩阵证明矩阵 A 可逆，可利用可逆，可利用 A 的行列式不为零或找的行列式不为零或找一个矩阵一个矩阵 B，使，使 AB=E 或或 BA=E 等方法；对数字矩等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用阵，若求其逆阵，一般用 A*(如如2阶矩阵阶矩阵)或初等变换或初等变换(3阶及阶及3阶以上的方阵阶以上的方阵)的方法的方法来来做，有时也利用分块做，有时也利用分块矩阵来做矩阵来做.对抽象的矩阵对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定，若求其逆，一般是用定义或义或 A*来做；证明矩阵来做；证明矩阵 B 是矩阵是矩阵 A 的逆阵，只需的逆阵，只需验证验
14、证 AB=E 或或 BA=E 即可即可.A阵阵 的逆阵的逆阵.矩阵方程矩阵方程解解BAX BAX1 BXA BAX1 CAXB BCAX11 ，设设 200120312100110011 CB例例8 8.)(1ABCBCEATT，求求且且 TTTBCCCACBCEA)()(:11 由由于于解解从从而而故故 .)(BBCAT 121012001100110011)(1TBCBA 121133013以及以及 及及 ，再求，再求 及及 就麻烦多了就麻烦多了.因此，在求解矩阵方程时，一定要注因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程意先化简方程.BC1 BCE1 TBCE)(1 TTCBCE)(1
15、，满足满足，矩阵，矩阵设设EBAABABA *2*100021012.B求求例例9 9，得得：两两端端右右乘乘在在解解AEBAABA *2*:;*2*AABAAABA ，故，故因为因为EEAAA3|*1 C注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求 .)2(3ABEA 从从而而.3100031320323110001202131 B一、填空题一、填空题(8分分/题题)1)1)为为3阶方阵阶方阵,已知已知 则则 A,3EAA|A;|1A|A;|)(3|2A|38|1AA;则则且且阶方阵阶方阵设设,35342531,3)2OABtBOA t.3)已知已知
16、,35)(,33122 xxxfA则则)(Af.则则满满足足方方程程阶阶矩矩阵阵若若,032)42 EAAAn 1A.nAA则则设设,400010003)5.1008050200 )6AA的逆矩阵的逆矩阵矩阵矩阵.)(2BABA 22，阶方阵，且阶方阵，且均为均为，设设BBAAnBA 二二.证明题证明题(26分分)分）分）求解矩阵方程求解矩阵方程三三26(.0 BAAB证证明明：.021102341010100001100001010 X1)1)3,1/31/3,9,-1/3;-1/3;732)4;2)4;3)0;3)0;231 )4EA ;400010003 )5 nn;008105102100 )6 一一.三三.201431012 X
