1、 组合与组合数（1）高二年级 数学主讲人 李林翰北京市第一六一中学北京市中小学空中课堂【情境与问题】（1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第 二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？（2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共 有多少种不同的选择方式？问题1：你能否用适当的符号列举两问的选择方式？设3所学校分别为A,B,C.问题1的所有情况：问题2的所有情况：（A,B），（B,A），（A,B），（A,C），（C,A），（A,C），（B,C），（C,B）.（B,C）.问题2：两问的结果是否一样？你能否从“列举”的结果或 运用“排列”的知识，说明理由.23A列举结
2、果问题3：你能否找到两个问题的内在联系，并用数学式表示？22Ax相对于问题（2），问题（1）也可以看作分成两步完成：第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2），设有 种方法；第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为 .根据分步乘法计数原理：方法数为 .22Ax2232AAx所以 ，即：问题（2）的方法数 .2322AAx 事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型.问题4：你能否类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？从3所大学中选择2所，有多少种不同的选择方式？这个问题本质是：从3个不同对象中任取出2个对象，不考虑顺序并成一组，有多少种不同的组法？像这样的计数问题：组合问
3、题（一般化，概括定义）【抽象概括，形成概念】1.组合 一般地，从 个不同对象中取出 （mn）个对象并成一组，称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合.mm组合定义的特征：（1）取出的对象互不相同的；（互异性）（2）取出后“并成一组”，即与对象的顺序无关.（无序性）可以把每一个组合都看成是一个集合.nn排列组合定义一般地，从n个不同对象中，任取m（mn）个对象，按照一定顺序排成一列.一般地，从n个不同对象中，取出m（mn）个对象，并成一组.相同点从n个不同对象中，任取m（mn）个对象不同点与对象的顺序有关（先选后排）与对象的顺序无关（只选不排）2.组合数 从 个不同对象中取出 （mn）个对象的
4、所有组合的个数，称为从 个不同对象中取出 个对象的组合数.用符号 表示.nnmmCmn组合数的计算：（排列 组合）排列问题也可以按“先选后排”分两步完成：第一步，先从n个不同对象取出m个，是组合问题，方法有 种；第二步，将选出的m个对象做全排列，有 种排法.由分步乘法计数原理，则 ，CmnAmmA=C AmmmnnmAC=Ammnnmm所以组合数Amn 从n个不同对象中取出m个做排列，方法数为 .组合数公式：（1）（连乘形式）（2）（阶乘形式）11ACA12 1mmnnmmnnnmmm!A!CA!mmnnmmnnmnmnm m特殊组合数：0!C1!0!nnn0!1（1）当 时，（注意 ）；0m
5、 1!C1!1!nnnn（2）当 时，；1m!C10!nnnn（3）当 时，.mn结合具体问题来直观解释这3个组合数的含义.对于组合数的概念以及在应用时，需注意：（1）组合数 既表示一个结果，又表示一种运算.（2）（连乘）（阶乘）通常进行具体计算，或组合数 中m较小时，使用连乘形式比较方便，Cmn11A!CA12 1!mmnnmmnnnmnmmnm m Cmn21010 9C452 1如：.当组合数中含有未知量，或需要将组合数进行“恒等变换”时，通常用阶乘的形式，可起到简化列式的效果.也可以利用信息技术软件来计算组合数.B版教材选择性必修第二册P21，了解相关方法.例1.平面内有5个点，其中任
6、意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.（1）这些点共可以连成多少条不同的线段？由题意，任意三点不共线，由两点可确定一条线段，并且是否为相同线段，与两个端点顺序无关.共有 条线段.255 4C102 1“组合”问题：(具体计算,应用连乘公式)例1.平面内有5个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.（2）以这些点为端点，共可以作出多少个不同的非零向量？任意一点为始点，另一点为终点，均可作出一个非零向量；对调起点和终点的顺序，对应的向量不同，因此要考虑顺序；连成的所有线段中，任意两条线段长度不相等，向量互不相同.“排列”问题：个非零向
7、量.25A5 420 例1.平面内有5个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.（3）以这些点为顶点，共可以组成多少个不同的三角形？以任意三个不共线的点作为顶点，都可以构成一个三角形，且是否为同一个三角形，与三个顶点的顺序无关.“组合”问题：个三角形.355 4 3C103 2 1 研究具体计数问题时：（1）先将具体问题转化为相应的数学模型.（2）注意辨析是“排列”问题，还是“组合”问题？即判断：取出对象后，是否需要考虑顺序.（重要区分标志）2355CC在之前的结果中，发现一组相等的组合数：.这里是否具有一定规律？在后面练习中继续观察例2.计算：（1）；（2
8、）.3477CC5010101010C CC501010101010 9 8 7 6C CC1 1252 12515 4 3 2 1 （2）（1）；34777 6 57 6 5 4CC3535703 2 14 3 2 1 在具体计算时，应用组合数的连乘公式计算.通过例1和例2，我们发现了三组相等的组合数：，.2355CC3477CC0101010CC共同特征：（1）两个组合数的下标相同；（2）两个上标的和等于下标.将满足这样2个特征的组合数一般化 归纳：.CCmn mnn证明：.CCmn mnn也可以从组合数的含义来解释这个等量关系!C!mnnnm m!C!n mnnnm nmnnmnm组合数
9、中含有“未知量”，应用阶乘公式展开 ，所以等式成立 表示为：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数.当确定了取出哪m个对象时，那么剩余的（nm）个对象也就确定下来了.所以取出m个对象的每一个组合，与选出剩余（nm）个对象的每一个组合是一一对应的.那么，从n个不同对象中取出m个对象的组合数 ，与从n个不同对象中取出（nm）个对象的组合数 是相等的.CmnCmnCn mn组合数性质1：.CCmn mnn(1)反映了组合数的对称性；(2)在计算组合数时，当 时，可以将计算 转化为计算 ，会更加简便.(后续练习中慢慢体会)2nm Cn mnCmn例3.一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取
10、出5个球：（1）共有多少种不同的取法？只是取出球，所以不用考虑取出球的先后顺序，因此等同于“从8个不同对象中任取5个并成一组”，是组合问题.方法数为58C8 53888 7 6CC563 2 1 588 7 6 5 4C565 4 3 2 1 适当运用组合数的性质，可起到简化计算的效果（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，只需再从剩余的7个白球中取出4个即可，组合问题，方法数为：47C37C7 6 5353 2 1 （3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？（可以从两个角度研究这个问题）法1.“不取红球”，也就是“取出的5个球均为白球”，问题
11、等同于“从7个不同白球中取出5个白球”，仍是组合问题.所以不同的取法有：种.52777 6CC212 1（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可.利用前2问的结论可以得到：种.5487CC563521法2：出现类似“不”的否定词语-排除法（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？直接法：排除法：57C5487CC545778CCC下标相同的两个组合数的和，也是一个组合数那么这样的等量关系是偶然的还是必然的？在同一问题中，从两个角度分别计算整理得到的，猜测应具备普遍性尝试问题一般化，试试能否提炼数学本质，归纳结论？原问题：一个口袋里有7个不同白球和
12、1个红球，从中取出5个球，有多少种不同的取法？假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m+1个，这样的组合共有多少个？（类比之前的计数过程，也从两个角度研究这个问题）问题可一般化为：法1.从 个对象中取出 个的组合数为 .1n1m11Cmn法2.分成两类情况：第一类，如果取出的对象中含甲，等价于“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，有 种方法.第二类，如果取出的对象中不含甲，等价于“从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”，有 种方法.根据分类加法计数原理，共有 种方法.1CmnCmn1CCmmnn可得：.（利用公式推导证明选做）111CCCmmmnnn组合数性质2：.在关
13、于一些组合数的计算或化简变换中，会经常用到.111CCCmmmnnn如，计算：3266CC法1：.32666 5 46 5CC20 15353 2 12 1 法2：.3236677 6 5CCC353 2 1 下标相同，上标相差1合二为一，化简运算【课堂小结】1.组合与组合数的概念 本节课我们从具体问题中抽象出组合的概念，通过类比排列，概括出问题的本质特征，得到组合的定义.并利用排列数公式推导出组合数的公式.【课堂小结】2.注意组合的特征：（1）“取出的对象互不相同”，即互异性；（2）“取出的对象并成一组”，即无序性.（区分排列与组合的重要标志）3.组合数的公式和性质公式：性质1：；性质2：.
14、11A!CA12 1!mmnnmmnnnmnmmnm m CCmn mnn111CCCmmmnnn主要用于化简变换，简化计算.【课堂小结】4.体会组合数性质的推导过程.在两个性质的推导过程中，我们经历了“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究出组合数的性质，感受到了从特殊到一般的探究过程，体会了转化与化归的数学思想，提升了抽象概括能力,【课堂小结】【作业】B版教材 第22页 A组：1，3；B组：3（选做）.A组 1.北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊 比赛，每两个队要比赛一场 （1）求一共有多少场比赛？并列出所有可能的情况；（2）最终产生冠、亚军各一个队，一共有多少种情况？并列 出所有可能的冠亚军情况.A组 3.计算：（1）；（2）；（3）；（4）；117C36C023C98100CB组 3.选做：利用组合数公式证明：.111CCCmmmnnn谢谢
