1、经济应用数学经济应用数学第五章第五章 经济总量问题分析经济总量问题分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第一节第一节 原函数问题原函数问题5应用模型应用模型2,(1,2),.x 【曲曲线线方方程程】已已知知曲曲线线上上任任一一点点切切线线的的斜斜率率为为且且曲曲线线经经过过点点求求此此曲曲线线方方程程解：解：(),()2,yF xFxx 设设此此曲曲线线方方程程为为则则22(),1,211.F xxCxyCyx 可可以以求求得得：将将代代入入解解得得：，所所以以曲曲线线方方程程为为：案例分析案例分析()30-0.2/30.Rxx【总总收收益益问问题题】某某
2、工工厂厂生生产产一一种种产产品品，日日总总收收益益的的变变化化率率（边边际际收收益益）是是日日产产量量的的函函数数（单单位位：元元 件件）,该该厂厂生生产产这这种种产产品品的的能能力力是是每每小小时时件件,问问怎怎样样安安排排生生产产才才能能使使这这种种产产品品的的总总收收入入最最大大？并并求求出出此此最最大大收收益益()0Rx 令令分析分析150 x 得得：()0.20Rx 150305 每每天天安安排排：小小时时=2250(150)R最最大大收收益益是是()()?R xR x 这这个个问问题题是是已已知知，求求的的问问题题案例分析案例分析 5.1(),(),()()()()()().yf
3、xa bF xxa bF xf xdF xf x dxF xf x 定定义义设设函函数数在在区区间间内内有有定定义义 如如果果存存在在函函数数使使得得对对任任意意的的都都有有或或，则则称称为为的的一一个个原原函函数数一、一、原函数原函数1().2().3()()f xf xF xCf x 几几点点说说明明：、如如果果在在区区间间内内连连续续，则则一一定定存存在在原原函函数数、函函数数的的原原函函数数有有无无穷穷多多个个、是是函函数数在在该该区区间间上上的的所所有有原原函函数数.5.1 5.1 原函数问题原函数问题 5.2()()(),f xIf xIf x dx 定定义义在在区区间间 上上的的
4、原原函函数数全全体体称称为为在在 上上的的不不定定积积分分，记记作作其其中中()(),Fxf x 若若()d()f xxF xCC 则则（为为任任意意常常数数）例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos二、不定积分二、不定积分任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量C C 称称为为积分常数积分常数不可丢不可丢 !xC11(1)1xC ln xC(1)dx(2)x dx1(3)dxx(4)xa dx(5)xe dx(0,1)lnxaCaaaxeC三、基本积分公式三、基本积分公式(6)sin xdx(7)c
5、osxdx 221(8)seccosdxxdxx221(9)cscsindxxdxxcosxCsin xCtan xCcotxC21(10)1dxx21(11)1dxxarcsinarccosxCxC arctanarccotxCxC()()()()f xg x dxf x dxg x dx ()()(0)kf x dx kf x dxk 四、四、不定积分的性质不定积分的性质 ()()()()f x dxf xdf x dxf x dx ()()()()fx dxf xCdf xf xC 基本积分公式和性质求函数的不定积分的工具基本积分公式和性质求函数的不定积分的工具11331332323,.
6、xxxxxC 解解 因因为为所所以以是是的的一一个个原原函函数数而而函函数数的的全全体体原原函函数数可可以以表表示示为为：cossin,cossin,cos.xxxxxC 解解 因因为为所所以以是是的的一一个个原原函函数数而而函函数数的的全全体体原原函函数数可可以以表表示示为为：1 2()f xx 例例求求函函数数的的原原函函数数.2 ()sinf xx 例例求求函函数数的的原原函函数数.例例3 3 求下列不定积分求下列不定积分(cos)sinxxsincos.xdxxC 211()xx2211(1)sin;(2);(3).1xdxdxdxxx 211.dxCxx 解：解：21(arctan)
7、1xx 21arctan.1dxxCx 例例4 4、求下列不定积分、求下列不定积分2(1)(3sin2)xxdx (2)(2)xx xdx 23 sin2x dxxdxdx312cos2.3xxxC53222x dxx dx752224.75xxC不定积分运算的几点说明：不定积分运算的几点说明：(1)求不定积分时，一定要加上积分常数；求不定积分时，一定要加上积分常数；(2)积分常数只写一个；积分常数只写一个；(3)积分结果在形式上有时不同积分结果在形式上有时不同,但实质上之差一个常数但实质上之差一个常数.例例5 5、求下列不定积分、求下列不定积分2221(1)1xdxx 222231xdxx
8、23(2)1dxx 23arctan.xxC 221(2)sincosdxxx 2222sincossincosxxdxxx 2211cossindxdxxxtancot.xxC 课堂练习课堂练习二、求下列不定积分：二、求下列不定积分：211(1)cos;(2);(3).cos2xdxdxdxxx ()ln,()?f xxxf x 一一、若若函函数数的的原原函函数数为为则则()()f xyf x dx 如如果果曲曲线线在在任任一一点点切切线线的的斜斜率率为为，则则曲曲线线方方程程为为：.221222(2,5)1,12-1.2yxdxxxCCyxx 解解：将将点点代代入入，得得因因此此，所所求求
9、曲曲线线方方程程为为由切线求曲线方程模型由切线求曲线方程模型()2,(2,5),.f xx【曲曲线线方方程程】已已知知曲曲线线上上任任一一点点切切线线的的斜斜率率为为且且过过点点求求曲曲线线方方程程(),()f xyf x dxC 已已知知边边际际为为则则经经济济函函数数为为()()C xCx dxC 总总成成本本函函数数：()()Q xQx dxC 总总产产量量函函数数：()(),CxR xx 设设边边际际成成本本函函数数和和边边际际收收益益函函数数分分别别为为和和其其中中 为为生生产产销销售售量量 则则总总成成本本函函数数和和总总收收益益函函数数分分别别为为由边际函数求经济函数模型由边际函
10、数求经济函数模型6()510.Cxx 【成成本本函函数数问问题题】已已知知生生产产某某种种产产品品的的边边际际成成本本为为，且且已已知知固固定定成成本本为为万万元元，求求总总成成本本函函数数解：解：()()C xCx dx 6()(5)C xdxx 512xxC(0)1010CC由由得得：()51210.C xxx 1=()()22,(0)200,200()2200,()2200200,()2C xCx dxdxxCCCC xxC xxC xxxx 解解 ()总总成成本本函函数数由由题题意意得得，于于是是 平平均均成成本本函函数数.()2/,2,()20-0 02,CxR xx 【最最优优利利
11、润润问问题题】已已知知某某产产品品的的边边际际成成本本为为百百元元 件件固固定定成成本本为为 万万元元 边边际际收收益益为为求求(1)(1)平平均均成成本本函函数数；(2)(2)平平均均收收益益函函数数（需需求求函函数数）；(3)(3)产产量量为为多多少少时时，利利润润最最大大？最最大大利利润润是是多多少少？2222(2)()()20-0.02200.01(0)0,0()200.01,:()200.01()200.01(3)()()-()-20018-0.01()0,900,()-0.010,(900R xR x dxx dxxxCRCR xxxR xxxR xxxxL xR xC xxxL xxLxL 总总收收益益函函数数：由由得得，平平均均收收益益函函数数（需需求求函函数数）利利润润函函数数为为：令令解解得得（件件）.)7900()9007900 百百元元所所以以，当当产产量量为为件件时时，获获得得最最大大利利润润百百元元
