1、方差分析（方差分析（analysis of variance）问题问题为了研究三种不同教材的质量，抽取三为了研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制。经过一段时间的教学后他因素加以控制。经过一段时间的教学后进行测试，得到三种实验处理的数据如下：进行测试，得到三种实验处理的数据如下：教材教材A：70 74 72 68 71；平均数：；平均数：71教材教材B：75 80 77 68 75；平均数：；平均数：75教材教材C：70 72 66 72 70；平均数：；平均数：70总平均数：总平均数：72三种教材的效果有无显著差异
2、？三种教材的效果有无显著差异？方差分析方差分析 方差分析的必要性方差分析的必要性 多个样本的均值之差的显著性检验多个样本的均值之差的显著性检验 t 检验的误差检验的误差方差分析的目的方差分析的目的 方差分析的基本功能就在于它能对多组方差分析的基本功能就在于它能对多组平均数差异的显著性进行检验，而且可平均数差异的显著性进行检验，而且可以避免多次逐对以避免多次逐对 t 检验所造成的错误概检验所造成的错误概率的累积。率的累积。方差分析中的几个概念方差分析中的几个概念 因素：实验中的自变量称为因素（因素：实验中的自变量称为因素（factor）。）。只有一个自变量的实验称为单因素实验，用只有一个自变量的
3、实验称为单因素实验，用单因素单因素方差分析方差分析（One-Way ANOVA）。）。有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验，有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验，用用多因素方差分析多因素方差分析。水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平水平：某一个因素的不同情况称为因素的水平（level）。）。包括包括量差量差或或质别质别两类情况。两类情况。处理（处理（treatment）：按各个水平条件进行的重）：按各个水平条件进行的重复实验称为各种处理。复实验称为各种处理。方差分析的逻辑方差分析的逻辑方差分析的逻辑方差分析的逻辑 组间差异（组间差异（between-groups varianc
4、e）组内差异（组内差异（within-groups variance）组间差异对组内差异的比值越大，则各组间差异对组内差异的比值越大，则各组平均数的差异就越明显。通过对组间组平均数的差异就越明显。通过对组间差异与组内差异比值的分析，来推断几差异与组内差异比值的分析，来推断几个相应平均数差异的显著性。个相应平均数差异的显著性。方差分析的前提方差分析的前提 独立性独立性 正态性正态性 方差齐性方差齐性方差分析的数学模型方差分析的数学模型 可以解释的和不能解释的可以解释的和不能解释的 General Linear Model)()(tiiijijXXXXeijiijeX单因素完全随机设计的方差分析单
5、因素完全随机设计的方差分析 为了检验某一个因素多种不同水平间的为了检验某一个因素多种不同水平间的差异的显著性，将从同一个总体中差异的显著性，将从同一个总体中随机随机抽取的被试，再抽取的被试，再随机随机地分入各实验组，地分入各实验组，各实验组各实验组随机随机接受不同的实验处理以后，接受不同的实验处理以后，用方差分析法对这多个用方差分析法对这多个独立样本独立样本平均数平均数差异的显著性进行检验。差异的显著性进行检验。Simple randomized participants design单因素方差分析单因素方差分析(1)计算（离差）平方和计算（离差）平方和 组间平方和：组间平方和：组内平方和：组
6、内平方和：总平方和：总平方和：NTXXXSSTkinjijtkinjijii2112211)(NTnTXXnSSAkiiitikii21221)(kiiikinjijikinjijnTXXXSSEii12112211)(计算计算19215108077952)(22112211NTXXXSSTkinjijtkinjijii70151082)535053755355()(222221221NTnTXXnSSAkiiitikii122)535053755355(77952)(22212112211kiiikinjijikinjijnTXXXSSEii单因素方差分析单因素方差分析(2)计算自由度计算自
7、由度 组间自由度：组间自由度：K-1 组内自由度：组内自由度：N-K 总自由度：总自由度：N-1本例中：本例中：K-1=3-1=2 N-K=15-3=12单因素方差分析单因素方差分析(3)计算均方差计算均方差 组间方差：组间方差：MSA=SSA/(K-1)组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-K)计算计算 F 值：值：MSA/MSE计算计算 计算均方差计算均方差 组间方差：组间方差：MSA=SSE/(K-1)=70/2=35 组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-K)=122/12=10.17 计算计算 F 值：值：MSA/MSE=35/10.17=3.44 查表：查表：F(0.05,
8、2,12)=3.88方差分析表方差分析表-差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值Source SS df MS-组间差异组间差异SSAdfA MSAMSA/MSE组内差异组内差异SSEdfEMSE总差异总差异SSTdft-方差分析表方差分析表-差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值-组间差异组间差异 702353.44组内差异组内差异122 1210.17总差异总差异192 14-完全随机设计的逐对差异检验（一）完全随机设计的逐对差异检验（一）multiple comparison of the means t 检验（检验（LSD检验）检验）比较：比较：jiji
9、nnMSEXXt11)11(2)1()1(212122221121nnnnSnSnXXt完全随机设计的逐对差异检验（二）完全随机设计的逐对差异检验（二）q 检验（检验（HSD检验）检验）jijinnMSEXXq112q值表值表 三个条件：三个条件：组内方差的自由度组内方差的自由度 显著性水平显著性水平 等级数等级数 将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等将要比较的平均数从小到大排序，并分别赋予等级级R。求两两逐对比较的平均数的比较等级求两两逐对比较的平均数的比较等级 r（等级差（等级差+1），），r 就是等级数。就是等级数。多组方差的齐性检验多组方差的齐性检验 哈特莱（哈特莱（Hartle
10、y）最大）最大 F 值检验法值检验法2min2maxmaxSSFFmax值表值表 三个条件：三个条件：方差的组数方差的组数K 自由度（最大容量的样本自由度（最大容量的样本n-1）显著性水平显著性水平双因素方差分析双因素方差分析(two-factor ANOVA)(two-factor ANOVA)两个因素的情况下，因素两个因素的情况下，因素A有有a个水平，个水平，因素因素B有有b个水平，总共将有个水平，总共将有ab个处理。个处理。通过双因素方差分析，可以推断这两个通过双因素方差分析，可以推断这两个因素对平均数有无显著影响因素对平均数有无显著影响(main effect)，以及两者之间有无交互作
11、用以及两者之间有无交互作用(interaction)。交互作用交互作用 教材教法因素是否造成显著差异？教材教法因素是否造成显著差异？教材教材A教材教材B教法教法A7090教法教法B9070交互作用图解交互作用图解无交互作用双因素方差分析无交互作用双因素方差分析（1）提出假设：）提出假设：H0：A因素的各种水平之间无显著差异，因素的各种水平之间无显著差异，B因素的因素的各种水平之间亦无显著差异；各种水平之间亦无显著差异；H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异。：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异。（2）进行离差平方和的分解：）进行离差平方和的分解：SST=SSA+SSB+SSE（3）计
12、算自由度）计算自由度 组内自由度：组内自由度：(a 1)(b 1)=N a b+1 A因素自由度：因素自由度：a 1B因素自由度：因素自由度：b 1（4）计算均方差）计算均方差 MSA=SSA/(a 1)MSB=SSB/(b 1)MSE=SSE/(a 1)(b 1)（5）计算）计算F值值FA=MSA/MSEFB=MSB/MSE（6）做出统计决断）做出统计决断有交互作用双因素方差分析有交互作用双因素方差分析（1）提出假设：）提出假设：H0：A因素的各种水平之间无显著差异，因素的各种水平之间无显著差异，B因素的各种水因素的各种水平之间亦无显著差异，两因素间无交互作用；平之间亦无显著差异，两因素间无
13、交互作用；H1：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异，或两：至少有一个因素的各种水平之间有显著差异，或两因素间有交互作用。因素间有交互作用。（2）进行离差平方和的分解：）进行离差平方和的分解：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE（3）计算自由度）计算自由度 组内自由度：组内自由度：N abA因素自由度：因素自由度：a 1B因素自由度：因素自由度：b 1交互作用自由度交互作用自由度(a 1)(b 1)（4）计算均方差）计算均方差MSAB=SSAB/(a 1)(b 1)（5）计算）计算F值值 FAB=MSAB/MSE（6）做出统计决断）做出统计决断双因素方差分析双因素方差分析 计算平方和（一
14、）计算平方和（一）NTXXXSSTaibjnrijrtaibjnrijrijij211122111)(NTnTXXnSSTraibjijijaibjtijij2112112)(aibjijijaibjnrijrijaibjnrijrnTXXXSSEijij11211122111)(双因素方差分析双因素方差分析 计算平方和（二）计算平方和（二）SSAB=SSTr SSA SSBNTnXXXnSSAaiibjnrijraitiiij2121112)(NTnXXXnSSBbjjainrijrbjtjjij2121112)(双因素方差分析双因素方差分析 计算自由度计算自由度总自由度：总自由度：dft=
15、N-1组间自由度：组间自由度：dfb=k-1组内自由度：组内自由度：dfw=N-kA因素自由度：因素自由度：dfA=A-1B因素自由度：因素自由度：dfB=B-1AB自由度：自由度：dfA*B=dfb-dfA-dfB=(A-1)(B-1)双因素方差分析双因素方差分析 计算均方差计算均方差A因素方差：因素方差：MSA=SSA/(A-1)B因素方差：因素方差：MSB=SSB/(B-1)AB因素方差：因素方差：MSA*B=SSA*B/dfA*B组内方差：组内方差：MSE=SSE/(N-k)双因素方差分析双因素方差分析 计算计算F值：值：FA=MSA/MSEFB=MSB/MSEFA*B=MSA*B/M
16、SE例题例题教材教材A教材教材B总和总和教法教法A64,62,70,60(256)67,71,70,68(276)532教法教法B89,76,81,92(338)82,73,78,77(310)648总和总和5945861180例题例题教法教法1教法教法2教法教法3教法教法4总和总和教材教材183 8084(163)90 8691(176)98 9299(190)69 6370(132)661教材教材270 6171(131)84 7885(162)86 83(169)95 9096(185)647教材教材390 9491(184)54 5355(107)78 7979(157)87 8988
17、(176)624总和总和4784455164931932方差分析表方差分析表差异来源差异来源平方和平方和 自由度自由度方差方差FPA因素因素87.25243.633.88=.05B因素因素443.003147.67 13.13*.01AB3038.756506.49 45.02*.01误差误差135.001211.25总计总计3704.0023随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析 用方差分析法对多个相关样本平均数差用方差分析法对多个相关样本平均数差异所进行的显著性检验，称之为异所进行的显著性检验，称之为随机区随机区组设计的方差分析组设计的方差分析。randomized blocks d
18、esign相关样本的人数分配相关样本的人数分配 一个被试作为一个区组；一个被试作为一个区组；每一区组内被试的人数是实验处理数的每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍；整数倍；区组内以一个团体为一个基本单元。区组内以一个团体为一个基本单元。计算计算总平方和总平方和=组间平方和组间平方和+区组平方和区组平方和+误差平方和误差平方和NTXXXSSTaibjijtaibjij2112211)(NTbXXXbSSAaibjijaiti212112)(NTaXXXaSSRbjaiijbjtj212112)(例题例题 为了比较四种中学语文实验教材的教学为了比较四种中学语文实验教材的教学效果，按随机区组实验
19、设计原则，将中效果，按随机区组实验设计原则，将中学分为重点中学、普通中学和薄弱中学学分为重点中学、普通中学和薄弱中学三个区组，并分别在每个区组中随机地三个区组，并分别在每个区组中随机地抽取抽取4所学校，它们分别被随机地指派一所学校，它们分别被随机地指派一种教材。经过一年教学后通过统一考试种教材。经过一年教学后通过统一考试得到各校平均分。问四种教材的教学效得到各校平均分。问四种教材的教学效果有无显著差异？果有无显著差异？教学效果表教学效果表ABCD小计小计I91.064.583.575.5314.5II92.559.091.574.0317.0III91.554.083.571.0300.0小计
20、小计275.0177.5258.5220.5931.5平均分平均分91.6759.1786.1773.50方差分析表方差分析表-差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值-组间组间SSAdfAMSAMSA/MSE区组区组SSRdfRMSRMSR/MSE误差误差SSEdfEMSE总差异总差异SSTdfT-方差分析表方差分析表-差异来源平方和自由度方差差异来源平方和自由度方差F值值-组间组间1883.563627.8555.91*区组区组44.122 21.061.88误差误差67.386 11.23总差异总差异1993.0611-随机区组设计的逐对差异检验随机区组设计的逐对差异检验 Newman-Keul的的 q 检验法（或称检验法（或称 N-K 法）法）nMSEXXqji
